导数和变化率

1、§3.1 变化率与导数 编制：曲平平学习目标：1.理解平均变化率的概念;了解平均变化率的几何意义;会求函数在某点处附近的平均变化率.2.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念;理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵;会求函数在某点的导数.3.了解平均变化率与割线斜率之间的关系;理解曲线的切线的概念;通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题.重点难点: 1理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵;会求函数在某点的导数.2通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题.课前准备：1. 什么是直线的斜率，用公式

2、如何表示.2.请同学们回忆一下我们在物理中学的平均速率，瞬时速率的概念及意义.学习过程：（一）平均变化率的概念：问题1.在百米赛跑中小明从9：30起跑，9：31结束。则小明在百米赛跑中的平均速率是多少？问题2.在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度(单位:)与起跳后的时间(单位:)存在函数关系.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态。平均变化率概念1. 上述问题中的函数关系用来表示，那么问题中的的变化率可用式子表示,我们把这个十字称为函数从到的平均变化率.2.若设, (这里看作是对于的一个“增量”可用代替,同样)则平均变化率为思考: 观察函数的图象平均变化率表示什么?（二）

3、导数的概念：1.瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢？比如,时的瞬时速度是多少？考察附近的情况:趋近于时,平均速度有什么样的变化趋势？结论: 当趋近于时,即无论从小于的一边,还是从大于的一边趋近于时,平均速度都趋近于一个确定的值.从物理的角度看,时间间隔无限变小时,平均速度就无限趋近于史的瞬时速度.因此,运动员在时的瞬时速度是为了表述方便,我们用表示“当,趋近于时,平均速度趋近于定值”归纳: 局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限,从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值.2.导数的概

4、念从函数在处的瞬时变化率是: 我们称它为函数在出的导数,记作即说明: (1)导数即为函数在处的瞬时变化率; (2),当时,所以3.典例分析例1 (1)求函数在处的导数.(2)求函数在附近的平均变化率,并求出该点处的导数.例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第时,原油的温度(单位:)为,计算第时和第时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.4.随堂练习：（1.）质点运动规律为,求质点在的瞬时速度.（2.）求曲线在时的导数.（三）导数的几何意义：1.曲线的切线及切线的斜率如图3.1-2,当沿着曲线趋近于点时,割线的变化趋势是什么？图3.1-2我们发现,

5、当点沿着曲线无限接近点即时,割线趋近于确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线.问题: (1)割线的斜率与切线的斜率有什么关系？ (2)切线的斜率为多少？容易知道,割线的斜率是,当点沿着曲线无限接近点时,无限趋近于切线的斜率,即2. 导数的几何意义：我们知道,导数表示函数在处的瞬时变化率,反映了函数在附近的变化情况,导数的几何意义是什么呢？函数在处的导数等于在该点处的切线的斜率,即.3.导函数：由函数在处求导数的过程可以看到,当时,是一个确定的数,那么,当变化时,便是的一个函数,我们叫它为的导函数.记作:或,即.注: 在不致发生混淆时,导函数也简称导数.4.函数在点处的导数、导函数、

6、导数之间的区别与联系(1)函数在一点处的导数,就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限,它是一个常数,不是变数.(2)函数的导数,是指某一区间内任意点而言的,就是函数的导函数.(3)函数在点处的导数就是导函数在处的函数值,这也是求函数在点处的导数的方法之一.5.典例分析例3： (1)求曲线在点处的切线方程.归纳: 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:求出点的坐标;求出函数在点处的变化率得到曲线在点的切线的斜率;利用点斜式求切线方程.6.课堂练习（1.）求曲线在点处的切线.（2.）求曲线在点处的切线. 小结：课后作业：教师根据学生情况自选学法指导：林佳瑞谈变化率与导数的学习方法本节主要学习函数的变化率、导数的概念以及导数的几何意义，概念比较多，我认为学习本节知识应注意以下几个方面：（1）理解平均变化率与瞬时变化率之间的关系；（2）理解