奥数讲义 工程问题

1、 奥数专题第一讲 工程问题（1）【学习方法指导】学习奥数能够锻炼孩子的思维能力。对于小升初的孩子们来说，奥数的学习还能增加升学的筹码。记笔记这方法其实很普遍也很简单，但恰恰是很多同学不容易做到的，记笔记有很多好处，一是可以把老师的精华记录下来方便复习，二是练习学生的书写能力，三是可以让学生养成边听边写的学习能力，这对于提高学习效率是非常有效的。错题本很多孩子都马虎，但有些马虎其实是同学对知识点理解不清晰造成的，这类的题目一定要记录下来。还有的是出题者故意设计的陷阱，这也可以记录下来，定时复习，久了之后很多马虎自然而然地就避免了。题目分类本和错题本一样，专门记录自己做过的试题，分类指的是将自己做

2、过的试题分为几大类，一类是极其简单，自己一看就会的。一类是有一定难度，需要思考找到突破口的，还有一类就是难度很大，需要综合运用很多知识并进行推理才能解答的，后两类都应该是我们的记录重点。在对试题分类的过程中同学自然地就增强了对试题的进一步理解。旧题新解不定时的翻翻原来做过的试题，但是重点是思考有没有新的解题思路和解题技巧。这样不断地增加思考有利于形成学生思考习惯的形成，也有利于学生发散思维的形成，多角度考察问题的思路，并随时利用新学知识去解决问题。学习讨论定期地和我分享好试题，好方法，好技巧，好经验，学习到新的东西，提高学习效率，培养合作精神，增强协调能力。小学奥数工程问题试题专项练习（一）&

3、#160; 【知识点】工程问题：顾名思义，工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。其实，这类题目的内容已不仅仅是工程方面的问题，也括行路、水管注水等许多内容。在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是：工作量=工作效率×工作时间，工作时间=工作量÷工作效率，工作效率=工作量÷工作时间。工作量：指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用数1表示，也可工作效率：指的是干工作的快慢，其意义是单位时间里所干的工作量。单位时间的选取，根据题目需要，可以是天，也可以是时、分、秒等。工作效率的单位是一个复合单位，表示成“工作量/天”，或“工作量/时”等。但在不引起

4、误会的情况下，一般不写工作效率的单位。【典型例题】例1 单独干某项工程，甲队需100天完成，乙队需150天完成。甲、乙两队合干50天后，剩下的工程乙队干还需多少天？分析与解：以全部工程量为单位1。甲队单独干需100天，甲的工作效例2 某项工程，甲单独做需36天完成，乙单独做需45天完成。如果开工时甲、乙两队合做，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了18天才完成任务。问：甲队干了多少天？分析：将题目的条件倒过来想，变为“乙队先干18天，后面的工作甲、乙两队合干需多少天？”这样一来，问题就简单多了。答：甲队干了12天。例3 单独完成某工程，甲队需10天，乙队需15天，丙队需20天。开始三个队一

5、起干，因工作需要甲队中途撤走了，结果一共用了6天完成这一工程。问：甲队实际工作了几天？分析与解：乙、丙两队自始至终工作了6天，去掉乙、丙两队6天的工作量，剩下的是甲队干的，所以甲队实际工作了例4 一批零件，张师傅独做20时完成，王师傅独做30时完成。如果两人同时做，那么完成任务时张师傅比王师傅多做60个零件。这批零件共有多少个？分析与解：这道题可以分三步。首先求出两人合作完成需要的时间，例5 一水池装有一个放水管和一个排水管，单开放水管5时可将空池灌满，单开排水管7时可将满池水排完。如果一开始是空池，打开放水管1时后又打开排水管，那么再过多长时间池内将积有半池水？例6 甲、乙二人同时从两地出发

6、，相向而行。走完全程甲需60分钟，乙需40分钟。出发后5分钟，甲因忘带东西而返回出发点，取东西又耽误了5分钟。甲再出发后多长时间两人相遇？分析：这道题看起来像行程问题，但是既没有路程又没有速度，所以不能用时间、路程、速度三者的关系来解答。甲出发5分钟后返回，路上耽误10分钟，再加上取东西的5分钟，等于比乙晚出发15分钟。我们将题目改述一下：完成一件工作，甲需60分钟，乙需40分钟，乙先干15分钟后，甲、乙合干还需多少时间？由此看出，这道题应该用工程问题的解法来解答。答：甲再出发后15分钟两人相遇。小学奥数工程问题试题专项练习（一）参考答案与试题解析一、填空：1（3分）工程队6天完成一项工程的，

7、照这样计算，完成全部工程要15天考点：简单的工程问题1923992分析：首先求出一天完成这件工程的几分之几（工作效率），再求出全部完成需要的时间即可解答：解：1÷（÷6），=1÷，=15（天）；答：完成全部工程要15天故答案为：15点评：此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，解答时往往把工作总量看作“1”，再利用它们的数量关系解答2（3分）打一篇稿件，甲单独打要10小时，乙要12小时，甲乙工作时间的比是5：6，工作效率的比是6：5考点：比的意义；简单的工程问题1923992分析：（1）求甲乙工作时间的比，用甲的工作时间比乙的工作时间，化简即可

8、；（2）求工作效率的比，把这份稿件的总量看做单位“1”，根据题意，甲的工作效率为，乙的工作效率为，二者相比即可解答：解：（1）10：12=5：6；答：甲乙工作时间的比是5：6（2）：=6：5；答：工作效率的比是6：5故答案为：5：6，6：5点评：由此，我们得出结论：甲乙工作效率的比等于他们工作时间比的反比3（3分）做同样的零件，甲要小时，乙要小时，甲乙工作时间的比是4：3，工作效率的比是3：4考点：简单的工程问题1923992分析：甲乙工作时间的比是：，根据比的化简方法化成最简整数比，把工作量看作单位“1”根据工作量÷工作时间=工作效率，再求出甲乙的工作效率的比解答：解：甲乙工作时间

9、的比是：=（24）：（24）=4：3；甲乙工作效率的比是：（1）：（1）=6：8=3：4；故答案为：4：3，3：4点评：此题主要根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系，和比的化简方法解决问题4（3分）加工一批零件，甲要12天，乙的工作效率是甲的，甲乙同时加工一共要6天考点：简单的工程问题1923992分析：把这批零件的数量看作单位“1”，甲12完成，那么甲每天完成这批零件的，又知乙的工作效率是甲的，由此可以求出乙的工作效率=，再根据工作量÷工作效率之和=共同用的工作时间，列式解答解答：解：甲12完成，那么甲每天完成这批零件的，1÷（），=1÷（），=1，=1

10、×，=6（天）；答：甲乙同时加工一共要6天故答案为：6点评：此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，解答时要注意从问题出发，找出已知条件与所求问题之间的关系，再从已知条件回到问题即可解决问题5（3分）甲乙同时加工一批零件要20天，已知甲乙工作效率的比是5：4，乙单独加工要45天考点：简单的工程问题1923992分析：要求乙单独加工需要几天，必须先求出乙的工作效率，已知甲乙同时加工一批零件要20天，已知甲乙工作效率的比是5：4，把这批零件的数量看作单位“1”，甲乙的工作效率和是，乙的工作效率是=，再根据工作量÷工作效率=工作时间解答解答：解：1÷

11、（），=1÷（）；=1÷，=45（天）；答：乙单独加工要45天故答案为：45点评：此题属于工程问题，工作量没有给出具体的数量，把工作量看作单位“1”，再根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系解答二、应用题6一项工程，甲单独做要12天，乙要10天，丙要15天甲乙丙同时做要多少天？甲乙丙同时加工多少天能完成工程的一半？甲乙丙同时加工多少天这项工程还剩？如果甲先做5天，乙丙接着做，还要多少天？如果甲丙合作做4天后，再由乙做，完成任务时一共用了多少天？考点：简单的工程问题1923992分析：根据题意，把这项工作的总量看作单位“1”，那么甲、乙、丙的工作效率分别是、，三人合做需

12、要的时间为1÷（+），计算即可；要求甲乙丙同时加工多少天能完成工程的一半，用除以三人效率之和即可；这项工程还剩，也就是完成了，用除以三人效率和即可；甲先做5天，做了这项工程的×5=，还剩，这时乙丙合做，求需要的时间，用除以乙丙效率和即可；甲丙合作做4天后，还剩1（+）×4=，这由乙来做，需要的时间是÷=4（天），再加上甲丙合作做的4天，共8天解答：解：1÷（+），=1÷，=4（天）；答：甲乙丙同时做要4天÷（+），=÷，=×4，=2（天）；答：甲乙丙同时加工2天能完成工程的一半（1）÷（+），=

13、÷，=×4，=3（天）；答：甲乙丙同时加工3天这项工程还剩（1×5）÷（+），=（1）÷，=×6，=（天）；答：还要多少天天1（+）×4÷+4，=1×4×10+4=1×10+4，=×10+4，=4+4，=8（天）；答：完成任务时一共用了8天点评：此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，解答时要注意从问题出发，找出已知条件与所求问题之间的关系，选择正确的关系式解答7一个水池安有甲乙两个水管，单开甲水管8小时可以把空池注满，单开乙水管12小时可以把空池注满，同

14、时打开两个水管，多少小时可以把空池注满？考点：简单的工程问题1923992分析：把这个水池的容积看成单位“1”，甲水管的工作效率是，乙水管的工作效率是，它们的和是合作的工作效率，用工作量除以合作的工作效率就是需要的工作时间解答：解：1÷（），=1÷，=（小时）；答：小时可以把空池注满点评：此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，解答时往往把工作总量看做1，再利用它们的数量关系解答830立方米木料，单做桌子可以做50张，单做凳子可以做200把，如果同时做桌凳，可以做多少套？（两种方法解）考点：整数、小数复合应用题1923992分析：方法一，根据除法的意义可

15、知，做一张桌子需要30÷50=0.6立方米木料，做一个凳子需要30÷200=0.15立方米的木料，则做一套桌凳需要0.6+0.15=0.75立方米木料，所以果同时做桌凳，可以做30÷（0.6+0.15）套方法二，将这些木料看做单位“1”，单做桌子可以做50张，单做凳子可以做200把，则做一张桌子要用掉全总木料的，做一张凳子要用掉全部木料的，则做一套桌凳需要用掉全部木料的+，所以同时做桌凳，可以做1÷（+）套解答：解：方法一，30÷（30÷50+30÷200）=30÷（0.6+0.15），=30÷0.75，

16、=40（套）答：可以做40套方法二，1÷（+）=1÷，=40（套）答：可以做40套点评：完成本题要注意第二种方法不用具体的数量解答，而是把具体的数量看做单位“1”9一项工程，甲单独做要20天，乙要30天，其间甲乙各休息了几天，结果16天才完成任务，已知甲休息了3天，乙休息了几天？考点：简单的工程问题1923992分析：由题意可知，甲乙的工作效率分别为，；16天才完成任务，甲休息了3天，则实际甲工作了163=13天则甲完成了总工作量的×13=，则乙完成了总工作量的1=所以乙工作了=10.5天，则乙休息了1610.5=5.5天解答：解：161×（163）&#

17、247;=161×13÷，=161×30，=16×30，=1610.5，=5.5（天）答：乙休息了5.5天点评：明确这一过程中甲工作了13天，并根据工作效率×工作时间=工作量求出甲完成的工作量是完成本题的关键10周五爸爸拿回了两份稿件回家，为了赶交稿件，兄妹二人决定利用星期六帮爸爸打完稿件，具体情况如下：哥哥打甲稿件要3小时，打乙稿件要6小时；妹妹打甲稿件要8小时，打乙稿件要4小时，问：如何巧妙安排能使打完稿件的时间最短？考点：最优化问题1923992分析：由题意可知，哥哥打甲稿件较快，妹妹打乙稿件较快因此可分工让哥哥打甲稿件，妹妹打乙稿件由于

18、哥哥打甲稿件3小时完成，妹妹打乙稿件4小时完成，则哥哥完成时，妹妹还有没有打完，则这可和哥哥合打由于妹妹每小时打全部的，哥哥每小时打全部的，所以这还需要打÷（+）=小时，所以共需3+=3小时解答：解：根据题意，可分工让哥哥打甲稿件，妹妹打乙稿件哥哥完成后，再和妹妹合打乙稿件剩下的部分（1×3）÷（+）+3=（1）÷+3，=×+3，=+3，=3（小时）答：让哥哥打甲稿件，妹妹打乙稿件哥哥完成后，再和妹妹合打乙稿件剩下的部分用时最少，需要3小时点评：完成本题的关键要注意哥哥打完后，要和妹妹合打剩下的部分，这样用时最少作业详解1.某工程甲单独干10天完成，乙单独干15天完成，他们合干多少天才可完成工程的一半？2.某工程甲队单独做需48天，乙队单独做需36天。甲队先干了6天后转交给乙队干，后来甲队重新回来与乙队一起干了10天，将工程做完。求乙队在中间单独工作的天数。3.一条水渠，甲、乙两队合挖需30天完工。现在合挖12