导数及其应用84815

1、高中数学总复习教学案第4单元 导数及其应用导 数导数几何意义导数的运算法则曲线的切线函数的单调性函数的极值、最值多项式的导数一、知识结构 应用二、重点、难点教学重点：运用导数方法判断函数的单调性和运用导数的几何意义解决曲线的切线方程问题。教学难点：灵活运用导数知识解决实际问题三、关注的问题对导数概念的理解不到位，对复合函数求导不准确，对函数单调区间、极值、最值过程不够熟悉，导致不能灵活解决导数有关问题。四、高考分析及预测 导数属于新增内容，是高中数学知识的一个重要的交汇点，命题范围非常广泛，为高考考查函数提供了广阔天地，处于一种特殊的地位，不但一定出大题而相应有小题出现。主要考查导数有关的概念

2、、计算和应用。利用导数工具研究函数的有关性质，把导数应用于单调性、极值等传统、常规问题的同时，进一步升华到处理与自然数有关的不等式的证明，是函数知识和不等式知识的一个结合体，它的解题又融合了转化、分类讨论、函数与方程、数形结合等数学思想与方法，不但突出了能力的考查，同时也注意了高考重点与热点，这一切对考查考生的应用能力和创新意识都大有益处。§4.1导数的概念及运算新课标要求1. 了解导数概念的某些实际背景瞬时速度,加速度等),掌握函数在一点处的导数的定义及其几何意义,理解导函数的概念.2. 熟记基本导数公式,掌握两个函数和、差、积、商的求导法则,了解复合函数的求导法则,会求某些简单复

3、合函数的导数.重难点聚焦重点:理解导数的概念及常见函数的导数难点:理解导数与复合函数的导数.高考分析及预测在高考中,常以选择或填空的形式考查导数的概念,及几何意义,也以解答题的形式考查与切线有关的综合性题目,难度不大.再现型题组1.函数的图像是折线段ABC,其中A.B.C的坐标分别为,则，.2. 在高台跳水运动中,t秒时运动员相对于水面的高度为,则运动员在1秒时的瞬时速度为,此时运动状态是3.过P(-1,2)且与曲线在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是 .4.求下列函数的导数 (1) (2) (3) 巩固型题组5.函数的图像在点M处的切线方程是,=.6.已知曲线求 (1).曲线在P(1,1

4、)处的切线方程. (2).曲线过点Q(1,0)的切线方程. (3).满足斜率为-的切线的方程.提高型题组7.已知直线y=kx与y=lnx有公共点,则k的最大值为.8在下列四个函数中，满足性质：“对于区间（1，2）的任意恒成立的是（ ）. A B C D 9. 设函数的导数是，则数列的前n项和为（ ）A B C D反馈型题组10.,若则a=.11.若曲线的一条切线与垂直,则的方程为12.曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为.13设则( ) A sinx B sinx C cosx D -cosx14.点P是曲线上任一点，则点P到直线的距离的最小值是。4.2函数的单调性与导数新课标要求1.

5、借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系。2. 能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间。重点、难点聚焦1. 在确定函数的单调区间时，应首先考虑所给函数的定义域，函数的单调区间应是定义域的子集。2. 当求出函数的单调区间（如单调增区间）有多个时，不能把这些区间取并集。3. （或）是在某一区间上为增函数（或减函数）的充分不必要条件。高考分析及预测 函数的单调性是函数的一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，用导数判断函数的单调性是新课标的要求。在2008年的高考中，绝大部分地区都在此考点命题。，估计在2009年的高考中，仍将是热点，应高度重视。题组设计再现型题组1.在

6、某个区间（a,b）内，如果，那么函数在这个区间内；如果，那么这个函数在这个区间内。2.函数的单调递增区间单调递减区间。巩固型题组3.求函数的单调区间。4. 已知函数在实数集R上单调递增，求的取值范围。提高型题组5. 已知函数 （1）求的单调递减区间； （2）若在区间2，2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值6.设函数，其中，求的单调区间。反馈型题组7.下列函数中,在上为增函数的是（ ） ABCD8.函数的单调增区间为（ ）A. B. C. D.9.若函数的递减区间为，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.10以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是（

7、）A、B、C、D、11.若在区间内有且则在内有（ ）A. B. C. D.不能确定12.已知函数. （1）设,讨论的单调性； （2）如对任意恒有，求的取值范围。13. 设函数，已知是奇函数。（）求、的值。（）求的单调区间与极值。§4.3 函数的极值、最值及优化问题新课标要求1、结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；2、会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性3通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用重点难点聚焦1、重点：结合函

8、数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；2、难点：体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性命题趋势1、 该节是2009年高考考查的热点，主要考查导数在研究函数性质方面的应用，包括求函数的最值、极值，实际问题中的优化问题等。2、导数内容和传统内容中有关函数的单调性，方程根的分布，解析几何中的切线问题等有机结合，设计综合性试题，在这方面多下工夫。题组设计再现型题组1、函数在区间上的最小值为（ ）A B C D2、函数有（ ）A极大值，极小值 B极大值，极小值C极大值，无极小值 D极小

9、值，无极大值3、已知对任意实数，有，且时，则时（ ） A BC D4、已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则5、设，当时，恒成立，则实数的取值范围为。巩固型题组6、已知函数在与时都取得极值(1)求的值与函数的单调区间；(2)若对，不等式恒成立，求的取值范围。7、统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：已知甲、乙两地相距100千米（）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？提高型题组8、已知在区间0,1上是增函数,在区间上是减函数

10、,又()求的解析式;()若在区间(m0)上恒有x成立,求m的取值范围。9、已知定义在正实数集上的函数，其中设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同。（I）用表示，并求的最大值；（II）求证：（）。反馈型题组10、函数的最大值为（ ）A B C D11、对于上可导的任意函数，若满足，则必有（ ）A B. C. D. 12、若函数在处有极大值，则常数的值为；13、函数在时有极值，那么的值分别为 ，。14、用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？15、设函数（）求的最小值；（）若对恒成立，求实数的取

11、值范围4.4定积分概念及微积分原理新课标要求1、 了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念。2、 了解微积分定理的含义。重点难点聚焦1、定积分几何意义：表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积的相反数2、微积分基本定理如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间a,b上的一个原函数，则此公式进一步揭示了定积分与原函数之间的联系。3、定积分的计算定义法：分割近似代替求和取极限利用定积分几何意义微积分基本公式换元法与分部积分法4、定积分的基本应用：（1）定积分在几何上的应用计算平面图形的面积（2）定积分在物

12、理上的应用：变速直线运动的路程，变力作功。高考分析及预测本部分知识以选择、填空题为主考查定积分的几何意义、基本性质和微积分基本定理题组设计再现型题足1、下列等于1的积分是（ ）A B C D2、已知自由落体运动的速率，则落体运动从到所走的路程为（ ）A B C D3、曲线与坐标周围成的面积（ ）A4 B2 C D34、=（ ）A B2e C D5、求由围成的曲边梯形的面积时，若选择为积分变量，则积分区间为（）A0，B0，2 C1，2D0，16、如果1N力能拉长弹簧1cm，为将弹簧拉长6cm，所耗费的功是（ ）A0.18 B0.26 C0.12 D0.2巩固型题组7、计算下列定积分的值（1）；（

13、2）；（3）； （4）8、求由曲线与，所围成的平面图形的面积提高型题组9、设y=f（x）是二次函数,方程f（x）=0有两个相等的实根，且=2x+2.（1）求y=f（x）的表达式；（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积.（2）若直线x=t（0t1把y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值.10、抛物线y=ax2bx在第一象限内与直线xy=4相切此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S求使S达到最大值的a、b值，并求Smax反馈型题组11求曲线与轴所围成的图形的面积12一物体按规律xbt3作直线运动，式中x为在时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方试求物体由

14、x0运动到xa时，阻力所作的功【归纳小结】1定积分的概念，要抓住定义中的本质内容，分割、近似、求和、取极限，并能解释定义和有关性质的几何意义，帮助加深和理解。2定积分应用主要表现在：（1）求平面图形的面积（2）变速直线运动的路程（3）变力作功。应通过足够例子熟练运用定积分表示一些几何、物理量。第4单元 导数及其应用45分钟单元综合测试题一、选择题1、函数f(x)=x3+ax+1在（-,-1）上为增函数，在（-1，1）上为减函数，则f(1)为( )A B.1 C. D.-12、已知二次函数的导数为，对于任意实数有则的最小值（ ）     

15、0;                   3、设函数是上以5为周期的可导偶函数，则曲线在的切线的斜率为（ ）                            4设在内单调递增，则是的（）充分不必

16、要条件 必要不充分条件 充分必要条件  既不充分也不必要条件5、曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ）A B C D6、在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是（ ） A3B2 C1D0二、填空题7、若函数有且仅有一个极值点，求实数的取值范围8、已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则_9、已知曲线，则_。10、P是抛物线上的点，若过点P的切线方程与直线垂直，则过P点处的切线方程是_。 三、解答题11、设，令，讨论在内的单调性。 12、如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，

17、下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为（I）求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；（II）求面积的最大值 §4.1导数的概念及运算答案或提示再现型题组1 答案或提示 2；2基础知识聚焦 函数在某一点处的导数的定义为及其变形,特别注意函数值的增量与自变量的增量.几何意义表示曲线在点处的切线的斜率.2答案或提示-3.3m/s以3.3m/s的速率下降。基础知识聚焦 此题考察导数的物理意义,速度是位移对时间的导数3. 答案或提示 基础知识聚焦此题考察函数在某一点处的切线方程的求法。即求切线的斜率4答案或提示（1） （2） （3）基础知识聚焦要熟记常见函数的求导公式及导数运

18、算的法则。在求复合函数的导数时关键是分清函数的复合关系逐步求导直到最后，把中间变量转变为自变量的函数。5 . 解点M在上又点评 切点既在曲线上又在切线上,以及切线得我斜率为,这三点往往用在解与切线有关的题目.6.解(1),P(1,1)是切点曲线在P处的切线方程是(2)显然Q(1,0)不在曲线上,则可设过该点的切线的切点是,则该切线的斜率是.则切线的方程为将Q(1,0)代入上面方程得,故所求方程为.(3).设切点得坐标为A,则切线得斜率为,解得所以切线方程为点评 不管是求函数图像在某点处得切线方程还是求过某点得切线方程,首先都要求(或设)切点得坐标,得出切线得斜率,在解决问题.7.解：求k的最大

19、值就是求相切时切线的斜率设切点为,则,点评 把所求问题转化为与切线有关的问题.8.选A.解 由,即-1<k<1,A中,当时满足题意.B中 不满足题意C中,当x=2时,不满足题意.D中不满足题意.点评本题考查函数的性质及导数的应用.9.解选A.由题意得所以数列的前n项和为：点评 本题考查函数的导数的定义及数列的求和反馈型题组10答案或提示11答案或提示y=4x-312. 答案或提示13. . 答案或提示A14. . 答案或提示 4.2函数的单调性与导数（解答部分）再现型题组1. 解答：单调递增 单调递减【评析】与为增函数的关系。能推出为增函数，但反之不一定。如函数在上单调递增，但，是

20、为增函数的充分不必要条件。时，与为增函数的关系。若将的根作为分界点，因为规定，即抠去了分界点，此时为增函数，就一定有。当时，是为增函数的充分必要条件。与为增函数的关系。为增函数，一定可以推出，但反之不一定，因为，即为或。当函数在某个区间内恒有，则为常数，函数不具有单调性。是为增函数的必要不充分条件。2. 解答：单调递增区间 单调递减区间【评析】函数的单调递增区间是两个区间，但是不能写成。有关函数单调区间的合并主要依据是函数在单调递增，在单调递增，又知函数在处连续，因此在单调递增。巩固型题组3. 解答：函数的定义域为令则>0或.函数的单调递增区间为和.令则<0.且函数的单调递减区间为

21、和另解：可以结合函数的图像与性质来解决。【评析】依据导数在某一区间内的符号来确定函数的单调区间，体现了形象思维的直观性和运动性，解决这类问题，如果仅利用函数单调性的定义来确定函数的单调区间，则运算复杂且难以找准。4.解答1： 因为f (x)=2x-a 令2x-a<0得x<a2要使f(x)在(，1)上是减函数,解答2： 因为f (x)=2x-a要使f(x)在(，1)上是减函数, 只要f (x)2x-a在(，1)上恒小于0即 2x-a0 在(，1)上恒成立.即 a>2x在(，1)上恒成立.因为x<1 所以2x<2 因此a2【评析】主要考查，与函数单调性的关系提高型题组

22、5.解答：（1）令所以函数的单调递减区间为（，1）和（3，+）（2）因为所以因为在（1，3）上>0，所以在1，2上单调递增，又由于在2，1上单调递减，因此f（2）和f（1）分别是在区间2，2上的最大值和最小值于是有22+a=20，解得a=2。故因此f（1）=1+392=7，即函数在区间2，2上的最小值为7。【评析】函数的单调性与极值最值结合是高考中的重点.6.解答:由已知得函数的定义域为，且（1）当时，函数在上单调递减，（2）当时，由解得、随的变化情况如下表0+极小值从上表可知当时，函数在上单调递减.当时，函数在上单调递增.综上所述：当时，函数在上单调递减.当时，函数在上单调递减，函数在

23、上单调递增.【评析】考查应用导求函数的单调性，对常用函数的导数公式一定要熟练掌握。反馈型题组7.解答：B8解答：D【评析】注意单调区间不要用并集。9.解答：A【评析】在求函数的单调递减区间时注意对a进行分类讨论，且是函数单调递减区间的子集。10.解答：C【评析】利用数形结合在解决导数与函数的单调性问题上有很重要的作用.11.解答：A【评析】是函数单调递增的充分不必要条件。12.解答：（1）的定义域为，对求导得.当时，在和上均大于0，所以在上为增函数.当时，在上为增函数.当时，令解得当变化时，和的变化情况如下表：在上为增函数，在为减函数.（2）当时，由（1）知：对任意恒有当时，取则由（1）知当时

24、，对任意恒有且得综上当且仅当时，对任意恒有【评析】注意运用导数求解函数的单调区间的一般步骤已知（1）分析 的定义域； （2）求导数 （3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间函数解析式中有参数时，注意对参数的分类讨论.13. 【解析】：（），。从而是一个奇函数，所以得，由奇函数定义得；（）由（）知，从而，由此可知，和是函数是单调递增区间；是函数是单调递减区间；在时，取得极大值，极大值为，在时，取得极小值，极小值为。§4.3函数的极值、最值及优化问题（解答部分）再现型题组1、【提示或答案】D 得而端点的函数值，得 【基础知识聚焦】考查利用导

25、数求最值2、【提示或答案】C ，当时，；当时， 当时，；取不到，无极小值 【基础知识聚焦】考查利用导数求极值3、【提示或答案】B,所以为奇函数，为偶函数。那么 为偶函数，为奇函数。利用对称性，故选B。【基础知识聚焦】考查函数的单调性和奇偶性以及导数在这方面的作用。4、【提示或答案】32 解得：为极大值，为极小值。计算， 【基础知识聚焦】考查函数在必区间上的最值问题5、【提示或答案】时，【基础知识聚焦】考查利用导数求最值巩固型题组6、 解：（1）由，得，函数的单调区间如下表：­极大值¯极小值­所以函数的递增区间是与,递减区间是；（2），当时，为极大值，而，则为最大值

26、，要使恒成立，则只需要，得。【点评】在利用导数求极值的过程中要注意严格按步骤。 7、解：（I）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时， 要耗油（升）。 答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。 （II）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升， 依题意得 令得 当时，是减函数； 当时，是增函数。当时，取到极小值 因为在上只有一个极值，所以它是最小值。 答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。【点评】在利用导数求最值的过程中要注意严格按步骤，注意格式规范，步骤完整。提高型题组8、解：（），由已知，即解得

27、，（）令，即，或又在区间上恒成立，【点评】 考查导数在函数求最值的作用，注意体会导数的优越性，注意总结这一类问题的解决方法。9、解：（）设与在公共点处的切线相同，由题意，即由得：，或（舍去）即有令，则于是当，即时，；当，即时，故在为增函数，在为减函数，于是在的最大值为（）设，则故在为减函数，在为增函数，于是函数在上的最小值是故当时，有，即当时，【点评】本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力。课堂小结1、函数的极值和最值是有区别和联系的：函数的极值是一个局部概念，而最值是某个区间上的整体概念，函数的极值可以有多个，而函数的最值最多有一个。2、在求可导函数

28、的最值时，不必讨论导数为零的点是否为极值点，而直接将导数为零的点与端点处的函数值比较即可。反馈型题组10、A 11、C 12、6 13、4，-1114、解：设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为.故长方体的体积为从而令V（x）0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.当0x1时，V（x）0；当1x时，V（x）0，故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。从而最大体积VV（x）9×12-6×13（m3），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3。15、解：

29、（），当时，取最小值，即（）令，由得，（不合题意，舍去）当变化时，的变化情况如下表：递增极大值递减在内有最大值在内恒成立等价于在内恒成立，即等价于，所以的取值范围为4.4定积分概念及微积分原理答案部分再现型题组1、C 2、C 3、D 4、D 5、B 6、A巩固型题组7【提示或答案】（1）（2）（3） （4） 如图是圆面积：积分是图中阴影部分的面积 =8【提示或答案】【点评】定积分计算题为近几年高考的考查重点。提高型题组9【提示或答案】解：（1）设f（x）=ax2+bx+c，则f（x）=2ax+b，又已知f（x）=2x+2a=1，b=2.f（x）=x2+2x+c又方程f（x）=0有两个相等实根，判别式=44c=0，即c=1.故f（x）=x2+2x+1.（2）依题意，有所求面积=.（3）依题意，有，t3+t2t+=t3t2+t，2t36t2+6t1=0，2（t1）3=1，于是t=1.【点评】：本题考查导数和积分的基本概念.10【提示或答案】解 依题设可知抛物线为凸形，它与x轴的交点的横坐标分别为x1=0，x2=b/a，所以(1)又直线xy