定积分的概念与微积分基本定理

1、第4讲定积分的概念与微积分基本定理【2013年高考会这样考】1考查定积分的概念，定积分的几何意义，微积分基本定理2利用定积分求曲边形面积、变力做功、变速运动的质点的运动路程【复习指导】定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物理问题等基础梳理1定积分(1)定积分的定义及相关概念设函数yf(x)定义在区间a，b上用分点ax0x1x2xn1xnb.把区间a，b分为n个小区间，其长度依次为xixi1xi，i0,1,2，n1. 2微积分基本定理如果F(x)f(x)，且f(x)在a，b上可积，则F(b)F(

2、a)，其中F(x)叫做f(x)的一个原函数3定积分的应用(1)定积分与曲边梯形的面积定积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积这要结合具体图形来定： 作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数vv(t)(v(t)0)在时间区间a，b上的定积分，即sv(t)dt.一种思想定积分基本思想的核心是“以直代曲”，用“有限”的步骤解决“无限”过程的问题，其方法是“分割求近似，求和取极限”，利用这种方法可推导球的表面积和体积公式等恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始以及微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就三条性质(1)常数可提到积分号外；(2)和差的积分等于积分

3、的和差；(3)积分可分段进行一个公式由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算双基自测1(2011·福建)等于()A1 Be1 Ce De1解析(ex2x)dx(e1)1e.答案C2(2011·湖南)由直线x，x，y0与曲线ycos x所围成的封闭图形的面积为()A. B1 C. D.解析Scos xdx20cos xdx0.答案D3(2011·山东)由曲线yx2，yx3围成的封闭图形面积为()A. B. C. D.解析由得交点坐标为(0,0)，(1,1)，因此所求图形面积为S(x2x3)dx.答案A4如图，在一个长为，

4、宽为2的矩形OABC内，曲线ysin x(0x)与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是()A. B. C. D.答案A5(人教B版教材习题改编)汽车以v(3t2)m/s作变速直线运动时，在第1 s至第2 s间的1 s内经过的路程是_解析s(3t2)dt×4410(m)答案6.5 m考向一定积分的计算【例1】计算下列积分 解(1)dxln 2.(2)0sin2dx0dx0.(3)(cos xex)dx(sin xex)|1e.(4)y由图形可知： (1)利用微积分基本定理求定积分，其关键是求出

5、被积函数的原函数，求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆运算，因此应注意掌握一些常见函数的导数(2)根据积分的几何意义可利用面积求积分(3)若yf(x)为奇函数，则af(x)dx0.【训练1】 解0sin2dx0dx0.可利用面积求得1dx因此原式.考向二利用定积分求面积【例2】求右图中阴影部分的面积审题视点 观察图象要仔细，求出积分上下限，找准被积函数解解方程组得，或 618. 求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤(1)画出图形，确定图形的范围，通过解方程组求出交点的横坐标定出积分的上、下限；(2)确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置；(3)写出平面图形面积的定积分的表达式

6、；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积【训练2】 求曲线y，y2x，yx所围成图形的面积解由得交点A(1,1)；由得交点B(3，1).考向三定积分的应用【例3】一质点在直线上从时刻t0(s)开始以速度vt24t3(m/s)运动求：(1)在t4 s的位置；(2)在t4 s内运动的路程审题视点 理解函数积分后的实际意义，确定被积函数解(1)在时刻t4时该点的位置为(t24t3)dt(m)，即在t4 s时刻该质点距出发点 m.(2)因为v(t)t24t3(t1)(t3)，所以在区间0,1及3,4上的v(t)0，在区间1,3上，v(t)0，所以t4 s时的路程为 |4 (m)，即质点

7、在4s内运动的路程为4 m. 由sv0tat2通过求导可推出vv0at，反之根据积分的几何意义，由vv(t)(v(t)0)可求出ta，b时间段内所经过的路程【训练3】 已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶，甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示)那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是()A在t1时刻，甲车在乙车前面Bt1时刻后，甲车在乙车后面C在t0时刻，两车的位置相同Dt0时刻后，乙车在甲车前面解析可观察出曲线v甲，直线tt1与t轴围成的面积大于曲线v乙，直线tt1与t轴围成的面积，故选A.答案A难点突破8积分的综合应用定积分的考查在试卷中不是必然出现的，一般以