定积分的应用63534

1、第六章 定积分的应用回顾：曲边梯形面积的求法设曲边梯形是由直线轴及顶部曲线围成（如图），求曲边梯形的面积。第一步：分割。在区间内任意插入个分点，将任意分割成个小区间，即将曲边梯形任意分割成个小曲边梯形。记每一个小区间的长度记为；第二步：近似替代。在第一个小区间内任意取一点，以小矩形的面积近似替代小曲边梯形的面积：；第三步：求和。曲边梯形的面积；第四步；求极限。令，当时，所有小矩形的面积和无限逼近于曲边梯形的面积。即从上面的过程发现：（1）曲边梯形的面积A与的变化区间有关；（2）面积A对区间具有可加性：；（3）；则曲边梯形的面积，相当于将区间分成个小区间，任取一个小区间记为，相对于这个小区间的曲

2、边梯形的面积，然后以为被积表达式在上作定积分得将此方法推广到一般情形，就是微元法。第一节 定积分的元素法若所求的量Q符合下列条件：（1）Q与的变化区间有关；（2）Q对区间具有可加性；（3）那么，Q就可以用定积分来表示，其方法为：第一步：将区间分成个小区间，任取一个小区间记为，求出相应于这个小区间的部分量（也称为Q的元素）；第二步：以Q的元素为被积表达式在上作定积分得例如：（1）曲边梯形的面积：在上任意一点上的面积微元就是以为长，为宽的矩形的面积，从而有 （2）变速直线运动的路程：在上任一时刻的运动速度是，运动时间是，则在时间内物体运动的路程微元，从而在上运动的总路程（3）电量计算：在上任一时刻

3、的电量微元是时刻上的电流乘时间，即，从而在时间段上的总电量为第二节 定积分在几何上的应用一、平面图形的面积1直角坐标情形（1）由曲线和及直线围成的平面图形的面积为：（2）由曲线和（）及直线（）围成的平面图形的面积为：例：求两条抛物线，所围成图形的面积。提示：求出两曲线的交点分别为，方法一（视曲线为上下型）：方法二（视曲线为左右型）：例：求抛物线与直线围成图形的面积。提示：求出抛物线与直线的交点坐标为A（2，-2），B（8，4）方法一（视曲线为左右型）：方法二（视曲线为上下型）：综合可得：利用定积分求平面图形面积和步骤为：第一步：作草图，求曲线的交点；第二步：确定积分变量和积分限；第三步：利用相

4、应的公式计算。（3）曲边由参数方程给出，则围成的图形的面积为：例：求椭圆的面积。提示：椭圆的参数方程为第一象限部分的面积为所以，椭圆的面积2极坐标情形由曲线和射线围成的图形的面积例：求双纽线所围成图形的面积。（）提示：在第一象限内此曲线在0点处的切线与轴成角，所以，第一象限部分图形的面积等于全面积的，例：求心脏线围成图形的面积提示：令轴上方图形的面积为，则心脏线围成图形的面积为二、体积1旋转体的体积（1）由连续曲线、直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的立体的体积为由连续曲线、直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的立体的体积为例：求底半径为，高为的圆锥的体积提示：以圆锥的顶为坐标原点，

5、高所在的直线为轴（如图）直线OA的方程为旋转体的体积为例：求椭圆围绕轴旋转一周所得椭球体的体积。提示：椭球体可以视为上半椭圆围绕轴旋转一周所得，其体积为：注：当时，得球体的体积2平行截面积为已知的立体的体积设已知立体为封闭曲面所围成，且已知垂直于某一直线的平面在该立体上所截得的面积，如果取此直线为轴，且立体位于平面之间，则过点作垂直于轴的平面截该立体所得平面的面积为，那么，此立体的体积为例：求以半径为的圆为底，以平行于该圆且长度等于该圆直径的线段为顶，高为的正劈锥体的体积。提示：取底圆所在平面为平面，圆心为原点，并使轴与正劈锥的顶平行，底圆方程为，过轴上的点作垂直于轴的平面，截正劈锥得等腰三角

6、形。截面的面积为，于是所求正劈锥体的体积为例：一平面经过半径为的圆柱体的底圆中心，并与底面所成角度为，求平面截圆柱体所得立体的体积。提示：取这个平面与圆柱体的底面交线为轴，底面上过圆中心且垂直于轴的直线为轴，那么，底圆的方程为，立体中过轴上的点且垂直于轴的截面是一个直角三角形，它的两条直角边长分别为和，即和，因而截面的面积为，于是所求立体的体积为三、平面曲线的弧长1定义：设A，B是曲线弧的两个端点，在弧上依次任意插入个分点：依次连接相邻的分点得一折线，则第个小曲线弧的弧长，从而弧的长为令，若存在，则称此极限为曲线弧的长度，也称此曲线弧是可求长的。2计算（1）曲线在上的弧长为例：求曲线的弧长提示：（2）曲线()的弧长为例：求摆线的一拱（）的长度提示： （3）曲线的弧长为例：求阿基米德螺线相应于一段的弧长提示： 四、旋转曲面的面积母线()绕轴旋转一周而成的旋转曲面的面积例：求绕轴旋转一周而成的旋转抛物面的面积提示： 第三节 定积分在物理上的应用1变力沿直线作的功设物体在水平力作用