FXQ-Chapter-02张量

1、12007.09.212目 录 引言 张量的基本概念，爱因斯坦求和约定 符号ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商法则 常用特殊张量，主方向与主分量Appendix A3引 言u 广义相对论（1915）、理论物理u 连续介质力学（固体力学、流体力学）u 现代力学的大部分文献都采用张量表示Appendix A主要参考书:W. Flugge, Tensor Analysis and Continuum Mechanics, Springer, 1972黄克智等，张量分析，清华大学出版社，2003.4张量基本概念标标 量量（零阶张量）（零阶张量）例如：质量，温度例

2、如：质量，温度 质量密度质量密度 应变能密度，等应变能密度，等其值与坐标系选取无关。其值与坐标系选取无关。 Appendix A.15 矢量矢量（一阶张量）（一阶张量） 位移，速度，位移，速度， 加速度，力，加速度，力， 法向矢量，等法向矢量，等 Appendix A.11 0 ijijije e张量基本概念6 矢矢 量量 矢量矢量u在笛卡尔坐标系中分解为在笛卡尔坐标系中分解为31 12 23 31iiuuuuiueeeeAppendix A.1其中其中u1, u2, u3 是是u的三个分量，的三个分量，e1, e2, e3是单位基矢量。是单位基矢量。张量基本概念7 矢矢 量量Appendix

3、 A.1n 既有既有大小大小又有又有方向性方向性的物理量的物理量; ;n 其分量与坐标系选取有关，满其分量与坐标系选取有关，满足坐标转换关系；足坐标转换关系；n 遵从相应的矢量运算规则遵从相应的矢量运算规则张量基本概念8矢量矢量( (可推广至张量可推广至张量) )的三种记法：的三种记法： 实体记法实体记法： u 分解式记法分解式记法： 分量记法分量记法：Appendix A.1iu31 12 23 31iiuuuuiueeee张量基本概念9Appendix A.1 指标符号用法 三维空间中任意点三维空间中任意点P的坐标（的坐标（x, y, z）可缩写成可缩写成 xi , 其中其中x1=x, x

4、2=y, x3=z。 两个矢量两个矢量a和和b的分量的的分量的点积点积(或称或称数量积数量积)为：为：31 1223 31= iiiaba ba baba b张量基本概念10爱因斯坦求和约定爱因斯坦求和约定 如果在表达式的某项中，某指标重复地出现两如果在表达式的某项中，某指标重复地出现两次，则表示要把该项在该指标的取值范围内遍历求次，则表示要把该项在该指标的取值范围内遍历求和。该重复的指标称为和。该重复的指标称为哑指标哑指标，简称，简称哑标哑标。Appendix A.131 1223 3131 12 23 31 = =iiiiiiiiuuuuua ba ba bab abiiueeeeea b

5、张量基本概念11Appendix A.1 由于由于aibi=biai，即矢量点积的顺序可以交换：，即矢量点积的顺序可以交换：由于哑标由于哑标 i 仅表示要遍历求和，故可成对地任意交仅表示要遍历求和，故可成对地任意交换。例如换。例如：= jjmma ba ba b只要指标只要指标 j 或或 m 在同项内仅出现两次，且取值范围在同项内仅出现两次，且取值范围和和 i 相同。相同。 iia ba b = b a =张量基本概念12约定： 如果不标明取值范围，则拉丁指标如果不标明取值范围，则拉丁指标i, j, k, 表示三维指标，取值表示三维指标，取值1, 2, 3; 希腊指标希腊指标, , , 均为二

6、维指标，取值均为二维指标，取值1, 2。张量基本概念13张量基本概念1 1223 31 12 23 3= = iikkuuuua baba ba bueeeea b 拉丁指标拉丁指标1 1221 12 2= uuua ba ba bueeea b 希腊指标希腊指标14张量基本概念 二阶张量二阶张量 应变应变 ，应力，速度梯度，变形梯度，等。，应力，速度梯度，变形梯度，等。 三阶张量三阶张量 压电张量，等。压电张量，等。 四阶张量四阶张量弹性张量，等。弹性张量，等。Appendix A.115二阶（或高阶）张量的来源二阶（或高阶）张量的来源 描述一些复杂的物理量需要二阶（或高阶）张量描述一些复杂

7、的物理量需要二阶（或高阶）张量 低阶张量的梯度低阶张量的梯度 低阶张量的并积低阶张量的并积 更高阶张量的缩并，等。更高阶张量的缩并，等。Appendix A.1张量基本概念16张量基本概念 应力张量应力张量Appendix A.117张量的三种记法：张量的三种记法： 实体记法实体记法： 分解式记法分解式记法： 分量记法分量记法：Appendix A.1ij11 1 112 1 213 1 321 2 122 2 223 2 331 3 132 3 233 3 3 + + e ee ee ee ee ee ee ee ee e 张量基本概念 18爱因斯坦求和约定爱因斯坦求和约定Appendix

8、A.11 12233ijjiiiinnnnT张量基本概念11 11221331nnnT21 12222332nnnT31 13223333nnnT19Appendix A.1采用指标符号后，线性变换表示为采用指标符号后，线性变换表示为111 11221331221 12222332331 13223333jjjjjjxa xa xa xa xxa xa xa xa xxa xa xa xa x 利用爱因斯坦求和约定，写成：利用爱因斯坦求和约定，写成：iijjxa x 其中其中 j 是哑指标，是哑指标，i 是自由指标。是自由指标。张量基本概念20 例如一点的应力状态要用应力张量来表示，它是具例如

9、一点的应力状态要用应力张量来表示，它是具有二重方向性的二阶张量，记为有二重方向性的二阶张量，记为 (或或 )。 矢量和标量是特殊的张量，矢量为矢量和标量是特殊的张量，矢量为一阶张量一阶张量，标量，标量为为零阶张量零阶张量。Appendix A.1张量基本概念21Appendix A.1在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项内出现两次，若在同项内出现两次则是哑指在同项内出现两次，若在同项内出现两次则是哑指标。例：标。例：,0ji jif 若若i为自由指标为自由指标,0ji jiif张量基本概念22Appendix A.1自由指标表示：若轮流

10、取该指标范围内的任何值，自由指标表示：若轮流取该指标范围内的任何值，关系式将始终成立。关系式将始终成立。例如：表达式例如：表达式 在自由指标在自由指标 i 取取1 1，2 2，3 3时该式始终成立，即有时该式始终成立，即有iijjxa x 111 11221331221 12222332331 13223333jjjjjjxa xa xa xa xxa xa xa xa xxa xa xa xa x 张量基本概念23同时取值的自由指标必须同名，独立取值的自由指同时取值的自由指标必须同名，独立取值的自由指标应防止重名。标应防止重名。 自由指标必须整体换名，即把方程或表达式中出现自由指标必须整体换

11、名，即把方程或表达式中出现的同名自由指标全部改成同一个新名字。的同名自由指标全部改成同一个新名字。Appendix A.1,0ji jif,0ji jif,0jk jkfi换成换成k张量基本概念24Appendix A.1指标符号也适用于微分和导数表达式。例如，三维指标符号也适用于微分和导数表达式。例如，三维空间中线元长度空间中线元长度 ds 和其分量和其分量 dxi 之间的关系之间的关系2222123ddddsxxx可简写成：可简写成：2dddiisxx场函数场函数 f(x1, x2, x3) 的全微分：的全微分：ddiiffxx张量基本概念25Appendix A.1可用同项内出现两对可用

12、同项内出现两对( (或几对或几对) )不同哑指标的方法来不同哑指标的方法来表示多重求和。表示多重求和。例如：例如：3311ijijijijija x xa x x 若要对在同项内出现两次以上的指标进行遍历求和，若要对在同项内出现两次以上的指标进行遍历求和，一般应加求和号。如：一般应加求和号。如：31 1 12223 3 31iiiia bca b ca b cabc 张量基本概念26Appendix A.1一般说不能由等式一般说不能由等式iiiiabac两边消去两边消去ai导得导得iibc但若但若ai可以任意取值等式始终成立，则可以通过取特可以任意取值等式始终成立，则可以通过取特殊值使得上式成

13、立殊值使得上式成立张量基本概念27Appendix A.1小结通过哑指标可把许多项缩写成一项，通过自由指标通过哑指标可把许多项缩写成一项，通过自由指标又把许多方程缩写成一个方程。又把许多方程缩写成一个方程。一般说，在一个用指标符号写出的方程中，若有一般说，在一个用指标符号写出的方程中，若有k个独立的自由指标，其取值范围是个独立的自由指标，其取值范围是1n，则这个方，则这个方程代表了程代表了nk 个分量方程。在方程的某项中若同时出个分量方程。在方程的某项中若同时出现现m对取值范围为对取值范围为1n的哑指标，则此项含相互迭的哑指标，则此项含相互迭加的加的nm个项。个项。张量基本概念28张量分析初步

14、 矢量和张量的记法，求和约定 符号ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商判则 常用特殊张量，主方向与主分量Appendix A29Appendix A.2符号ij与erst ij符号 (Kronecker delta) 定义定义(笛卡尔坐标系笛卡尔坐标系)1 ( = )0 ()ijijij(i, j=1, 2, , n) 特性特性1. 对称性，由定义可知指标对称性，由定义可知指标 i 和和 j 是对称的，即是对称的，即 ijji30Appendix A.2符号ij与erst2. ij 的分量集合对应于的分量集合对应于单位矩阵单位矩阵。例如在三维空间。例如在三

15、维空间1112132122233132331000100013. 换标符号，具有换标作用。例如：换标符号，具有换标作用。例如：2dddddddijijiijjsxxxxxx即：如果符号即：如果符号的两个指标中，有一个和同项中其它的两个指标中，有一个和同项中其它因子的指标相重，则可以把该因子的那个重指标换成因子的指标相重，则可以把该因子的那个重指标换成的另一个指标，而的另一个指标，而自动消失。自动消失。31Appendix A.2符号ij与erst 类似地有类似地有 ; ; ; ijjkikijikjkijkjkiijkikjijjkikijjkklilaaaaaaaa 32Appendix A

16、.2符号ij与erst erst符号(排列符号或置换符号) 定义定义(笛卡尔坐标系笛卡尔坐标系)110rste 当当r, s, t为正序排列时为正序排列时当当r, s, t为逆序排列时为逆序排列时当当r, s, t中两个指标值相同时中两个指标值相同时(1,2,3)及其轮流换位得到的及其轮流换位得到的(2,3,1)和和(3,1,2)称为称为正序排列正序排列。(3,2,1)及其轮流换位得到的及其轮流换位得到的(2,1,3)和和(1,3,2)称为称为逆序排列逆序排列。12rster s s t t r或或33Appendix A.2符号ij与erst 特性特性 共有共有2727个元素，其中三个元素为

17、个元素，其中三个元素为1 1，三个元素，三个元素 为为-1-1，其余的元素都是，其余的元素都是0 0 对其任何两个指标都是对其任何两个指标都是反对称反对称的，即的，即 当三个指标轮流换位时当三个指标轮流换位时( (相当于指标连续对换两相当于指标连续对换两次次) )，erst的值不变的值不变 rstsrtrtstsreeee rststrtrseee34 常用实例常用实例 三个相互正交的单位基矢量构成正交标准化基。三个相互正交的单位基矢量构成正交标准化基。它具有如下重要性质：它具有如下重要性质： 每个基矢量的模为每个基矢量的模为1，即，即eiej1 (当当ij时时) 不同基矢量互相正交，即不同基

18、矢量互相正交，即eiej0 (当当ij时时) 上述两个性质可以用上述两个性质可以用ij 表示统一形式：表示统一形式：eiej ijAppendix A.2符号ij与erst35Appendix A.2符号ij与erst 当三个基矢量当三个基矢量ei, ej, ek构成右手系时，有构成右手系时，有 ijijkkeeee 而对于左手系，有：而对于左手系，有： ijijkke eee1e3e2e1e2e3e36Appendix A.2符号ij与erst2. 矢量的矢量的点积点积：3. 矢量的矢量的叉积叉积(或称矢量积或称矢量积) ： () ()() jjkkjkjkjkjkjjkkaba ba ba

19、 ba ba beee e() ()()()jjkkjkjkijkjkiaba be a babeeeeen 如果没有特殊说明，我们一般默认为右手系。如果没有特殊说明，我们一般默认为右手系。37Appendix A.2符号ij与erst()ijkjkie a bcabe叉积的几何意义是叉积的几何意义是“面元面元矢量矢量”，其大小等于由矢，其大小等于由矢量量a和和b构成的平行四边形构成的平行四边形面积，方向沿该面元的法面积，方向沿该面元的法线方向。线方向。ijkijkjkjkica b ea b e38Appendix A.2符号ij与erstcosa ba bsinaba b()()0ab a

20、ab b39三个矢量三个矢量a, b, c的的混合积混合积是一个标量，其定义为：是一个标量，其定义为：若交换混合积中相邻两个矢量的顺序，混合积的值若交换混合积中相邻两个矢量的顺序，混合积的值反号。当反号。当a, b, c构成右手系时，混合积表示这三个矢构成右手系时，混合积表示这三个矢量所构成的平行六面体体积。若构成左手系，则为量所构成的平行六面体体积。若构成左手系，则为体积的负值。体积的负值。符号ij与erst , , ()a b c = ab ca b c40Appendix A.2符号ij与erst 由此可见符号由此可见符号ij和和erst分别与矢量代数中的点积和叉分别与矢量代数中的点积和

21、叉积有关。积有关。 利用利用(A.24)和和(A.23a)式有式有(A.23a) (A.24) () ijijijkjkie a be eabe , , () ()mmijkjkiijkmjkmiijkijkae b ce a b ce ab ca b ca b c =ee41Appendix A.2符号ij与erst 三阶行列式的值三阶行列式的值11121321222311223321321331 1223313233aaaaaaa a aa a aa a aaaa31221321 1233113223a a aa a aa a a123123ijkijkijkijke a a ae a a

22、 a42Appendix A.2符号ij与erst 三阶行列式的值三阶行列式的值111213212223123123313233ijkijkijkijkaaaaaae a a ae a a aaaa111222123333rstrstrstijkijkrstaaaaaae e a a aaaa123orosotprpsptopqrstijkijkqrqsqtaaaaaaee e a a aaaa43Appendix A.2符号ij与erst 三阶行列式的值三阶行列式的值123orosotprpsptopqrstijkijkqrqsqtee e 123opqrstee eopqrstee44Ap

23、pendix A.2符号ij与erst e-恒等式，其一般形式为：恒等式，其一般形式为： 即即 退化形式为：退化形式为：irisitijkrstjrjsjtkrkskte e26ijkrjkirijkijke ee eijkistjsktksjte e 45附录A 张量分析引论 矢量和张量的记法，求和约定 符号ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商判则 常用特殊张量，主方向与主分量Appendix A46坐标与坐标转换Appendix A.31231 1223 3( ,)iix xxxxxxreeee笛卡尔坐标系笛卡尔坐标系( (单位直角坐标系单位直角坐标系

24、) )47坐标与坐标转换Appendix A.3 笛卡尔坐标系笛卡尔坐标系( (单位直角坐标系单位直角坐标系) )坐标变化时，矢径的变化为坐标变化时，矢径的变化为 1231 1223 3( ,)iix xxxxxxreeee123123ddddddiiiixxxxxxxxxrrrrre48坐标与坐标转换Appendix A.3 任意坐标系任意坐标系坐标变化时，矢径的变化为坐标变化时，矢径的变化为 123(,)x x xr = r123123ddddddiiiixxxxxxxxxrrrrrg49坐标与坐标转换Appendix A.3 概念概念 坐标线坐标线 当一个坐标任意变化而另两个坐标保持不变

25、时，当一个坐标任意变化而另两个坐标保持不变时，空间点的轨迹，过每个空间点有三根坐标线。空间点的轨迹，过每个空间点有三根坐标线。 基矢量基矢量 矢径对坐标的偏导数定义的三个基矢量矢径对坐标的偏导数定义的三个基矢量gi (1,2,3)iiixrg50坐标与坐标转换Appendix A.3参考架参考架 空间每点处有三个基矢量，它们组成一个参考架空间每点处有三个基矢量，它们组成一个参考架或称坐标架。任何具有方向性的物理量都可以对其或称坐标架。任何具有方向性的物理量都可以对其相应作用点处的参考架分解。相应作用点处的参考架分解。对笛卡尔坐标系：对笛卡尔坐标系：iiuug112233123; ; xxxrr

26、rgege ge1231 1223 3(,)iix x xxxxxreeee51坐标与坐标转换Appendix A.3iiuug三个相互正交的单位基矢量三个相互正交的单位基矢量ei构成构成正交标准化基正交标准化基52坐标与坐标转换Appendix A.3欧氏空间中的一般坐标系欧氏空间中的一般坐标系p 现在的坐标线可能不再正交；现在的坐标线可能不再正交；p 不同点处的坐标线可能不再平行；不同点处的坐标线可能不再平行；p 基矢量的大小和方向都可能随点而异；基矢量的大小和方向都可能随点而异；p 各点处的参考架不再是正交标准化基。各点处的参考架不再是正交标准化基。 53坐标与坐标转换Appendix

27、A.3 坐标转换(A.38) ; ijijijij e ee e54坐标与坐标转换Appendix A.3将新基将新基 对老基对老基 分解：分解：转换系数：转换系数：反之：反之： i eje1 12233iiiii jj eeeeecos(,)i jijijji=eee ee e112233jjjji jieeeee(A.38) ; ijijijij e ee e55向新坐标轴向新坐标轴 投影，即用投影，即用 点乘上式两边，则左边：点乘上式两边，则左边：右边：右边： 坐标与坐标转换Appendix A.3i ei0, , ()iijjiixxx 0rerere0rr + rikkikkiixx

28、x r ee e =00()()( )ijjikkiji jixxxx0r + ree ee e(A.38) ; ijijijij e ee e56坐标与坐标转换Appendix A.300()()( )ikkikkiiijjikkiji jixxxxxxx 0r ee e =r + ree ee e由上述两式可得新坐标用老坐标表示的表达式由上述两式可得新坐标用老坐标表示的表达式 经过类似推导可得经过类似推导可得老坐标用新坐标表示的表达式老坐标用新坐标表示的表达式 0( )ii jjixxx0()ji jijxxx57坐标与坐标转换Appendix A.300( )()ii jjiji jij

29、xxxxxx坐标转换的矩阵形式坐标转换的矩阵形式(设新老设新老坐标原点重合坐标原点重合) 11 11 21 3122 12 22 3233 13 23 33xxxxxxxx 或或 11 12 13 1121 22 23 2231 32 33 33Txxxxxxxx 或或58坐标与坐标转换Appendix A.3 坐标转换的一般定义坐标转换的一般定义设在三维欧氏空间中任选两个新、老坐标系，设在三维欧氏空间中任选两个新、老坐标系， 和和 是同一空间点是同一空间点P的新、老坐标值，则方程组的新、老坐标值，则方程组定义了由老坐标到新坐标的坐标转换，称定义了由老坐标到新坐标的坐标转换，称正转换正转换其逆

30、变换为其逆变换为对对(A.53)式微分式微分ixjx ( ,1,2,3)jjixxxi j ( ,1,2,3)iijxxxi j(A.53)ddiijjxxxx 59处处不为零，则存在相应的逆变换，即可反过来用处处不为零，则存在相应的逆变换，即可反过来用 唯一确定唯一确定坐标与坐标转换Appendix A.3其系数行列式其系数行列式( (雅克比行列式雅克比行列式) )111123222123333123ijxxxxxxxxxxJxxxxxxxxxxdixdjx60坐标与坐标转换Appendix A.3 容许转换容许转换 由单值、一阶偏导数连续、且由单值、一阶偏导数连续、且J J处处处处不为零的

31、转换函数所实现的坐标转换不为零的转换函数所实现的坐标转换 正常转换正常转换 J 处处为正，把右手系转换右手系处处为正，把右手系转换右手系 反常转换反常转换 J 处处为负，把右手系转换成左手系处处为负，把右手系转换成左手系61张量分析引论 矢量和张量的记法，求和约定 符号ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律 张量代数，商判则 常用特殊张量，主方向与主分量Appendix A62分量转换规律Appendix A.4 张量的分量转换规律 张量张量，都不会因人为选择不同参考坐标系而改变其，都不会因人为选择不同参考坐标系而改变其固有性质，然而固有性质，然而其分量的值则与坐标选择密切相关其分

32、量的值则与坐标选择密切相关 所以，张量的分量在坐标转换时应满足一定的规律，所以，张量的分量在坐标转换时应满足一定的规律，以保证其以保证其坐标不变性坐标不变性63Appendix A.4 标量分量转换规律标量分量转换规律 设一个标量在新、老坐标系中的值为设一个标量在新、老坐标系中的值为 和和 t，则，则 矢量分量转换规律矢量分量转换规律 ttt , ii jjji jiaaaa分量转换规律64Appendix A.4 张量分量转换规律张量分量转换规律 以三维空间的二阶张量为例，其分解式是以三维空间的二阶张量为例，其分解式是：其中，其中，Tij 为为张量分量张量分量，eiej称为称为基矢量基矢量，

33、就是把两个，就是把两个基矢量并写在一起，不作任何运算，成为构成矢量基矢量并写在一起，不作任何运算，成为构成矢量的基。的基。分量转换规律65Appendix A.4 张量分量转换规律张量分量转换规律 即：即： ijijTTe emnm in jijTT 分量转换规律ji jieeijm imn jnTeem in jijmnT e e mni mj nijTT66Appendix A.4高阶张量的分量满足如下转换规律高阶张量的分量满足如下转换规律ijki rj sk trstrsti rj sk tijkTTTT KKKK分量转换规律67Appendix A.4注：在一个表示全部张量分量集合的指

34、标符号在一个表示全部张量分量集合的指标符号 中，中，自由指标的数目等于张量的阶数自由指标的数目等于张量的阶数K，每个自由指标的，每个自由指标的取值范围等于张量的维数取值范围等于张量的维数n，各指标在其取值范围内，各指标在其取值范围内的任何一种可能组合都表示了张量的一个分量，所的任何一种可能组合都表示了张量的一个分量，所以以n维维K阶张量共有阶张量共有nK个分量。个分量。ijkrstTT或或分量转换规律68Appendix A.4 张量方程 定义定义 每项都由张量组成的方程称为每项都由张量组成的方程称为张量方程张量方程。 特性特性 具有与具有与坐标选择无关坐标选择无关的重要性质，可用于的重要性质

35、，可用于 描述客观物理现象的固有特性和普遍规律。描述客观物理现象的固有特性和普遍规律。 分量转换规律 or : ijijklklC C 0 or ij jiff0, 69张量分析引论 矢量和张量的记法，求和约定 符号ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律 张量代数，商判则 常用特殊张量，主方向与主分量Appendix A70张量代数&商判则 相相 等等 若两个张量若两个张量 和和 相等相等 则对应分量相等则对应分量相等若两个张量在某个坐标系中的对应分量相等，则若两个张量在某个坐标系中的对应分量相等，则它们在任何其他坐标系中对应分量也相等。它们在任何其他坐标系中对应分量也相等

36、。ijijTTe eijijSSe eTSijijTSAppendix A.5.171张量代数&商判则 和、差和、差 两个同阶张量两个同阶张量 与与 之和之和( (或差或差) )是另一个同阶张量是另一个同阶张量其分量关系其分量关系ijijAAe eijijBBe eijijTTe eTABijijijTABAppendix A.5.172张量代数&商判则 数数 积积 张量张量A和一个数和一个数 (或标量函数或标量函数) 相乘得另一同维同阶相乘得另一同维同阶张量张量T其分量关系为其分量关系为=TAijijTAAppendix A.5.173张量代数&商判则 并并 积积 两

37、个同维不同阶两个同维不同阶(或同阶或同阶)张量张量A和和B的并积的并积T是一个是一个阶数等于阶数等于A、B阶数之和的高阶张量。设阶数之和的高阶张量。设则则其分量关系为其分量关系为 ijkijkAAe e elmlmBBe eijklmijklmTTAB =e e e e eijklmijklmTA BAppendix A.5.1AB BA注意：注意：74张量代数&商判则 缩缩 并并 若对基张量中的任意两个基矢量求点积，在张量将若对基张量中的任意两个基矢量求点积，在张量将缩并为低二阶的新张量。缩并为低二阶的新张量。 其分量关系为其分量关系为ijijTSijkijkijkjkjijijjj

38、TTTSSe e eeeeAppendix A.5.175张量代数&商判则ijkijkiikkkkRTTRe e eee 若在基张量中取不同基矢量的点积，则缩并的结若在基张量中取不同基矢量的点积，则缩并的结果也不同。例如若果也不同。例如若ijkijkijijjjTTSSe e eeeRSAppendix A.5.1jiijRTjijiST76张量代数&商判则 内内 积积 并积加缩并运算称为内积。例如并积加缩并运算称为内积。例如 和和 的一种内积是的一种内积是iklijkljSA BijkijkAAe e elmlmBB =e eijkijklmlmijkljiklikliklA

39、BA BSSe e ee ee e ee e eAppendix A.5.177张量代数&商判则 点点 积积 前张量前张量A的最后基矢量与后张量的最后基矢量与后张量B的第一基矢量缩的第一基矢量缩并的结果，记为并的结果，记为 ，是最常用的一种内积。是最常用的一种内积。两个二阶张量的点积相当于矩阵乘法。两个二阶张量的点积相当于矩阵乘法。A B=ijklm ijklmijkkm ijmijm ijkA BA BRRA Be e e e ee e ee e eijmijkkmRA BAppendix A.5.178张量代数&商判则 双点积双点积 对前、后张量中两对近挨着的基矢量缩并的结

40、果对前、后张量中两对近挨着的基矢量缩并的结果称为双点积，共有两种：称为双点积，共有两种：并双点积并双点积串双点积串双点积:ijkjkiiiA BTTA B =eeijkkjiiiSA BSA B =eeAppendix A.5.1iijkjkTA B=iijkkjSA B=79张量代数&商判则Appendix A.5.1 并矢并矢 把把K个独立矢量并写在一起称为并矢量，它们的并积个独立矢量并写在一起称为并矢量，它们的并积是一个是一个K阶张量。阶张量。iijjkkijkijk= abcab cTabceeee e eijkijkTab c由于矢量的并积不服从交换律，并矢量中各由于矢量的并

41、积不服从交换律，并矢量中各个矢量的排列顺序不得任意调换。个矢量的排列顺序不得任意调换。80张量代数&商判则Appendix A.5.2 商判则和任意矢量的内积和任意矢量的内积(包括点积包括点积)为为 K-1 阶张量的量一定阶张量的量一定是个是个 K 阶张量。阶张量。一个一个 K 阶张量连续地和阶张量连续地和 n 个任意矢量求内积，其缩个任意矢量求内积，其缩并的结果是一个并的结果是一个 K-n 阶张量阶张量81张量分析引论 矢量和张量的记法，求和约定 符号ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商判则 常用特殊张量，主方向与主分量Appendix A82特

42、殊张量，主方向与主分量Appendix A.6.1 常用特殊张量 零零 张张 量量 则：则： 0T0, 0ijijTT 83特殊张量，主方向与主分量Appendix A.6.1 单位张量单位张量 笛卡尔坐标系中笛卡尔坐标系中分量为分量为ij的二阶张量的二阶张量 I，即，即1 1223 3ijijIe ee ee ee e ijijijijII 且且单位张量和任意张量的点积就等于该张量本身：单位张量和任意张量的点积就等于该张量本身： I aa， I AA84特殊张量，主方向与主分量Appendix A.6.1 球形张量球形张量 主对角分量为主对角分量为 ，其余分量为零的二阶张量。它其余分量为零的

43、二阶张量。它是数是数 与单位张量的数积。即与单位张量的数积。即SIijijS85特殊张量，主方向与主分量Appendix A.6.1 转置张量转置张量 对于二阶张量对于二阶张量 ，由对换分量指标而基，由对换分量指标而基矢量顺序保持不变所得到的新张量矢量顺序保持不变所得到的新张量称为张量称为张量 T 的转置张量。的转置张量。ijijTTe eTjiijijjiTTTe ee e86特殊张量，主方向与主分量Appendix A.6.1 对称张量对称张量T ; ijjiTTTTT ; ijjiTT TT 对称张量对称张量 87特殊张量，主方向与主分量Appendix A.6.1 反对称张量反对称张量

44、 转置张量等于其负张量的张量。即满足转置张量等于其负张量的张量。即满足反对称张量的主对角张量均为零。三维二阶反对称张反对称张量的主对角张量均为零。三维二阶反对称张量的独立分量只有三个。量的独立分量只有三个。n维二阶对称张量有维二阶对称张量有 个独立分量个独立分量 ; ijjiTT *TT112n n88特殊张量，主方向与主分量Appendix A.6.1 加法分解加法分解 任意二阶张量任意二阶张量T均可分解为对称张量均可分解为对称张量 S 和反对称张和反对称张量量 A 之和：之和：TSAT12S =TTT12A=TT89特殊张量，主方向与主分量Appendix A.6.1 偏斜张量偏斜张量 任

45、意二阶对称张量任意二阶对称张量 S 均可分解为球形张量均可分解为球形张量 P 和偏斜和偏斜张量张量 D 之和：之和： SPD13iiS ijijP ijijijijijDSPS其中其中 =0 iiiiiiDS90Appendix A.6.1偏斜张量为偏斜张量为由式由式(A.90b)和和(A.90c)知，偏斜张量三个对角分量之知，偏斜张量三个对角分量之和为零和为零：;ijijijDSPDSP 1303iiiiiiDSS(A.90b)(A.90c)1 31 3iiijijkkijSPS特殊张量，主方向与主分量91特殊张量，主方向与主分量Appendix A.6.1 置换张量置换张量笛卡尔系中以笛卡

46、尔系中以erst为分量的三阶张量，又称排列张量为分量的三阶张量，又称排列张量rstrsteee e e92特殊张量，主方向与主分量Appendix A.6.1各向同性张量各向同性张量所有分量均不因坐标转换而改变的张量。所有分量均不因坐标转换而改变的张量。例如：单位张量例如：单位张量I、球形张量、置换张量等。、球形张量、置换张量等。标量是零阶的各向同性张量，而矢量则不是各向同性标量是零阶的各向同性张量，而矢量则不是各向同性的。的。93一般说，矢量一般说，矢量 a 与与 b 并不同向。对于给定的任意二并不同向。对于给定的任意二阶张量阶张量 T 能否找到某个矢量能否找到某个矢量 ，它在线性变换后能，它在线性变换后能保持方向不变，即保持方向不变，即或或特殊张量，主方向与主分量Appendix A.6.2 主方向与主分量 二阶张量可定义为一