chapter5弹性力学

1、 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 1Chapter 5 弹性力学问题的建立弹性力学问题的建立000zzyzxzyzyyxyxzxyxxfzyxfzyxfzyx0102101zrzzzrzrzrrrr zrrfrzrrfrzrrfrzrr0,ijjif5-1 弹性力学基本方程弹性力学基本方程1、平衡方程、平衡方程在直角坐标系中：在柱坐标系中：简记为： 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 2在球坐标系中0311sin102311sin10211sin1fctgrrrrfctgrrrrfctg

2、rrrrrrrrrrrrrrxwzuzwzvywyvyuxvxuzxzyzyxyx)(21,jiijijuuzwyvxur2、几何方程：、几何方程：在直角坐标系中：简记为：体积应变在柱坐标系中3zuruurruzzrrr1zuruurzururuurrzzrzzrr11zuurrrurzr11体积应变在球坐标系中ruurctguuurrurrrr1sin11rrrrurrurruurrurrur1)(sinsin1)(sin1sinsin1122uururrrr体积应变 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 其中为工程弹性常数3、物理方程（本构

3、方程、广义虎克定律）：、物理方程（本构方程、广义虎克定律）：4)(1)(1)(1yxzzxzyyzyxxEEEzxzxyzyzxyxyGGG111zzyyxx222zxzxzxyzyzyzxyxyxy222ijijij2,E)2(1EG以应力分量表示应变分量：以应变分量表示应力分量：简记为：其中、为拉梅系数。12211EGEzyx体积应变。 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 5ijijdU0ijijijijUU*00以应变能密度函数和应变余能密度函数表示应力和应变：令应变能应变余能0*0UUijij则4、边界条件：、边界条件：外力边界条件：

4、zzyzxzyzyyxyxzxyxxTnmlTnmlTnml简记为：ijjiTl位移边界条件：wwvvuu简记为：iiuu 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 5、应变协调方程：、应变协调方程：6zyxzyxyxzyxzxzyxzyxzzxzyyzyxxyxyzxyzzzxyzxyyyzxyzxxzxxzyzzyxyyx222222222222222222222 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 7讨论：1为物体处于弹性状态时，弹性力学基本方程有：平衡方程：3个；几何方程：6个；物理方程：

5、6个共15个基本方程，可以在给定的边界条件下求解15个未知量：位移分量：u,v,w3个应变分量：6个应力分量：6个zxyzxyzyx,zxyzxyzyx,2弹性力学的基本方程组一般地控制了弹性体内应力、应变和位移之间相互关系的普遍规律。考虑具体边界条件的定解问题则具体给出了各边值问题的特定规律。 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 3一般情况下,求解弹性力学问题要求给出以下一些基本条件.a、弹性体的几何形状，物理性质。b、作用于弹性体上的体力和面力。c、弹性体受约束的情况。85-2. 求解弹性力学问题的基本方法求解弹性力学问题的基本方法 应用

6、弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 2位移法求解的主要方程：位移法求解的主要方程：以位移分量为基本未知量时，1应力分量zwyvxuuuuiiijjiijij,其中2平衡方程（拉梅方程）02,iiifu展开为：1提出：提出： 按基本未知量划分：考虑到弹性力学问题基本方程中应力，应变和位移分量之间的关系,可以位移分量为基本未知量求解，或以应力分量为基本未知量求解，分别称之为位移法和力法。按求解技术划分：考虑到弹性力学问题的复杂性，对于一些较为典型的问题，可以用解析法求解。但对于大量的弹性力学问题，要采用近似法或数值方法求解。如有限差分法，有限单元法等

7、。9000222zyxfuzfuyfux2222222zyx其中 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 3外力边界条件：zyxTnzwmywzvlxwzuTnzvywmyvlxvyuTnzuxwmyuxvlxu)2()()()()2()()()()2(3力法求解的主要方程：力法求解的主要方程：以应力分量为基本未知量时，协调方程为(Beltrami-Michell方程)：10 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 211121112111222222222zfyfxfzzfyfxfyzfyfxfx

8、zyxzzyxyzyxx)(11)(11)(11222222yfxfyxxfzfxzzfyfzyxyxyzxzxyzyz其中zyx常体力下，有0,12ijij*注意：无论是位移法还是力法求解弹性力学问题，需要在严格的边界条件下求解复杂的偏微分方程组，在数学上往往是比较困难的。对于一些典型问题，常采用逆解法和半逆解法。11 5-3. 弹性力学解的唯一性定理弹性力学解的唯一性定理 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 1、提出：、提出： 1对偏微分方程而言，解的适定性问题是非常重要的。所谓适定性，包括：存在性存在性、稳定性稳定性、唯一性唯一性。弹性

9、力学问题的控制方程是偏微分方程组，也要讨论解的适定性。2由于弹性力学问题求解的复杂性，常采用逆解法和半逆解法，认为选取的解答只要满足基本方程和边界条件，就是正确的解。这只有在解是唯一性这样一个前提下才能成立。2、适定性讨论：、适定性讨论： 1解的存在性：存在性仅从数学上探讨是不容易的，但对于弹性力学问题，从物理上看，这是很自然的，因为有了受力和约束，弹性体就会存在应力、应变和位移。2解的稳定性：稳定性是指当定解条件有微小变动时，解也只作微小变动。稳定性的讨论不论在数学上还是在物理上都是很复杂的，这里只能先做肯定的认可。12 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY O

10、F SOLIDS 3解的唯一性唯一性定理：受力作用和边界位移约束的弹性体处于平衡时，其应力、应变和位移的解是唯一的。证明：采用反证法。假设可能存在两组解：这两组解对应于同一边界条件和受力情况。ijijiijijiuu则这两组解的差：必然满足体力为零的平衡方程：以及外力为零的外力边界条件：和位移为零的位移边界条件：ijijijijijijiiiuuu中在Vjji0,上在边界10iT上在边界20iu这里为弹性体的全部边界，为外力边界，为位移边界。211213 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 显然，解对应于不受外力作用、边界上不产生位移的弹性力

11、学问题，它们只能是零解。因为若是非零解，则弹性体内有变形能存在，而变形能是外力作功的结果。由于外力功为零，故产生矛盾。ijijiu,ijijiu,5-4 叠加原理叠加原理1、弹性力学问题解的可叠加性：由于弹性力学基本方程和边界条件都是线性的，所以可叠加性成立。即，对于同一弹性体，在两组不同的受力情况下的两组解，当两组受力叠加成一组受力时，其解便是前两组解的叠加。2、叠加原理的证明：设弹性体受力：ijijiiiuFT, , , ijijiiiuFT14 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 外力边界条件：jjiilTjjiilT叠加：0) ()(

12、,iijjijiFFjjijiiilTT)() (结论：。F，FTT，FT，FTiiiiijijiiijiiij下的解是则下的解是下的解是若, ,平衡方程0,ijjiF0,ijjiF3、讨论：1叠加原理成立的条件：小变形、线弹性本构方程。2对非线性问题和大变形情况，叠加原理不能适用。3叠加原理对弹性力学问题和其它线性问题有非常广泛的应用，很多情况下是解决问题的重要途径。155-5.圣维南圣维南(Saint Venant)原理：原理：1、提出：求解弹性力学问题时，对应于不同的边界条件，弹性体内则有不同的应力场和位移场。在解决实际问题时，往往边界条件比较复杂，如果完全按实际情况处理，可能根本无法求

13、出解答。但是通过将边界条件加以较少的改变就有可能求出解答来。那么，边界条件改变应遵循什么规则，改变边界条件后求出的解答与实际情况的符合程度如何？2、圣维南原理：如果作用在物体表面较小区域上的一组外力被作用于同一区域上的静力相当静力相当的另一组外力所代替，这种载荷的变化只引起局部的应力和应变的改变，而离此区域较远的物体其它部分的应力和应变基本上没有作变化。所谓“静力相当”系指两组不同分布的力具有相同的合力或合力偶。*注意:圣维南原理的应用条件 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 16例题：图示橡皮立方块放在同样大小的刚性盒内，上面用刚性盖密封后

14、加均匀压力q设橡皮与盖盒间无摩擦力，且不考虑体力。求：橡皮受力后的位移场和应力分布。zw02,iiiFu 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 解一：分析：由于橡皮周围四壁均为刚性，则由对称性知u =v=0，w=w(z)zz0qyx体积应变由拉梅方程：0200000222222222222zwuzwFuzzywzywFuyzxwzxwFuxzyx恒等恒等有17由边界条件：Z =0，W =0则C2=0得W =C1Z考虑外力边界条件：Z =Z0处022zwqz222211qCqCdzdwzz则 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 由积分：W=C1Z+C2考虑zqw2于是有qzEw1121或应力分量：qqqqqzzyyxx22122122000 xwzuzvywxvyuzxyzxyqqq12212,131max32118 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 主应力和最大切应力为：解二：由题意知：yxzxyzxyyx0广义虎克定律给出：0)(10)(