总习题十二高等数学同济大学第六版本

1、 总习题十二 1. 填空: (1)xy¢¢¢+2x2y¢2+x3y=x4+1是_阶微分方程; 解 是3阶微分方程. (2)若M(x, y)dx+N(x, y)dy=0是全微分方程, 则函数M、N应满足_; 解 . (3)与积分方程等价的微分方程初值问题是_; 解 方程两边对x求导得y¢=f(x, y). 显然当x=x0时, y=0. 因此与积分方程等价的微分方程初值问题是 y¢=f(x, y), . (4)已知y=1、y=x、y=x2是某二阶非齐次线性微分方程的三个解, 则该方程的通解为_. 解 容易证明非齐次线性微分方程的任意两个解

2、的差是对应齐次线性微分方程的的解. 因此y1=x-1和y2=x2-1都是对应齐次线性微分方程的的解. 显然y1与y2是线性无关. 所以非齐次线性微分方程的通解为 y=C1(x-1)+C2(x2-1)+1. 2. 求以下列各式所表示的函数为通解的微分方程: (1)(x+C)2+y2=1(其中C为任意常数); 解 将等式变形 , 两边对x求导得 , 从而1-y2=y2y¢2, 即所求微分方程为y2(1+y¢2)=1. (2)y=C1ex+C2e2x(其中C1、C2为任意常数). 解 两边对x求导得 y¢=C1ex+2C2e2x=y+C2e2x , 即 y¢=

3、y+C2e2x,× × ×(1)再求导得 y¢¢=y¢+2C2e2x. × × ×(2)(2)-(1)´2得 y¢¢-2y¢=y¢-2y, 即所求微分方程为y¢¢-3y¢+2y=0. 3. 求下列微分方程的通解: (1); 解 将方程变形为 , 即. 其通解为 , 即原方程的通解为. (2) xy¢ln x+y=ax(ln x+1); 解 将方程变形为 , 其通解为 ,即原方程的通解为. (3); 解 将方程变形为

4、, 其通解为 , 即原方程的通解为. (4); 解 将方程变形为 , 即, 其通解为 , 即原方程的通解为. (5); 解 因为 , , 所以原方程可写成 , 从而原方程的通解为 . (6) yy¢¢-y¢2-1=0; 解 令y¢=p, 则, 原方程化为 , 或 , 其通解为 . 于是 , 即(C=C12), 积分得 , 化简得原方程的通解. (7) y¢¢+2y¢+5y=sin2x; 解 齐次方程y¢¢+2y¢+5y=0的特征方程为r2+2r+5=0, 其根为r1, 2=-1±2i

5、. 因为f(x)=sin2x, l+wi=2i不是特征方程的根, 所以非齐次方程的特解应设为 y*=Acos2x+Bsin2x, 代入原方程得 (A+2B)cos2x+(B-4A)sin2x=sin2x, 比较系数得, , . 因此原方程的通解为 . (8) y¢¢¢+y¢¢-2y¢=x(ex+4); 解 齐次方程y¢¢¢+y¢¢-2y¢=0的特征方程为r 3+r2-2r=0, 其根为r1=0, r2=1, r3=2. 齐次方程y¢¢¢+y

6、62;¢-2y¢=0的通解为y=C1+C2ex+C3e-2x . 原方程中f(x)=f1(x)+f2(x), 其中f1(x)=xex, f2(x)=4x. 对于方程y¢¢¢+y¢¢-2y¢=xex, 因为l=1是特征方程的根, 故其特解可设为 y1*=x(Ax+B)ex, 代入y¢¢¢+y¢¢-2y¢=xex得 (6Ax+8A+3b)ex=xex, 比较系数得, , 故. 对于方程y¢¢¢+y¢¢-2y&#

7、162;=4x, 因为l=0是特征方程的根, 故其特解可设为 y2*=x(Cx+D), 代入y¢¢¢+y¢¢-2y¢=4x得 -4Cx+2C-2D=4x, 比较系数得C=-1, D=-1, 故y2*=x(-x-1). 因此原方程的通解为 . (9) (y4-3x2)dy+xydx=0; 解 将原方程变形为 , 或, 其通解为 , 即原方程的通解为x2=y4+Cy6. (10). 解 令, 则y=u2-x2, , 故原方程化为 , 即. 这是齐次方程, 因此令, 则u=xz, , 则上述齐次方程化为 , 即, 分离变量得 , 积分得 ,

8、 即 2z3-3z2+1=Cx-3. 将代入上式得 2u3-3xu2+x3=C, 再代入, 得原方程的通解. 4. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解: (1) y3dx+2(x2-xy2)dy=0, x=1时y=1; 解 原方程变形为 , 即 , 或 , 其通解为 , 即原方程的通解为 y2=x(2ln y+C). 由y|x=1=1, 得C=1. 故满足所给初始条件的特解为y2=x(2ln y+1). (2) y¢¢-ay¢2=0, x=0时y=0, y¢=-1; 解 令y¢=p, 则原方程化为 . 分离变量得 , 两边积分得 , 即.代入

9、初始条件y¢(0)=-1得C1=1, 故 . 方程两边积分得 . 代入初始条件y(0)=0得C2=0. 因此满足所给初始条件的特解为. (3) 2y¢¢-sin2y=0, x=0时, y¢=1; 解 令y¢=p, 则原方程化为 . 分离变量得 2pdp=sin2ydy , 两边积分得 . 代入初始条件y¢(0)=1得, 因而 , 即 y¢=sin y . 分离变量得 , 两边积分得 . 代入初始条件得C2=0. 因此满足所给初始条件的特解为. (4) y¢¢+2y¢+y=cos x, x=0时y

10、=0, . 解 齐次方程y¢¢+2y¢+y=0的特征方程为 r2+2r+1=0, 其根为r1, 2=-1. 齐次方程y¢¢+2y¢+y=0的通解为y=(C1+C2x)e-x. 因为f(x)=cos x, l+wi=i不是特征方程的根, 所以非齐次方程的特解应设为 y*=Acos x+Bsin x, 代入原方程得 -2Asin x+2Bcos x=cos x, 比较系数得A=0, . 故. 从而原方程的通解为 . 将初始条件代入通解得 , 解之得C1=0, C2=1. 因此满足所给初始条件的特解为. 5. 已知某曲线经过点(1, 1),

11、 它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标, 求它的方程. 解 设点(x, y)为曲线上任一点, 则曲线在该点的切线方程为 Y-y=y¢(X-x), 其在纵轴上的截距为y-xy¢, 因此由已知有 y-xy¢=x, 即. 这是一个一阶线性方程, 其通解为 , 即方程的通解为y=x(C-ln x). 由于曲线过点(1, 1), 所以C=1. 因此所求曲线的方程为y=x(1-ln x). 6. 已知某车间的容积为30´30´6m3, 其中的空气含0.12%的CO2(以容积计算). 现以含CO20.04%的新鲜空气输入, 问每分钟应输入多少, 才能在30

12、min后使车间空气中CO2的含量不超过0.06%?(假定输入的新鲜空气与原有空气很快混合均匀后, 以相同的流量排出). 解 设每分钟应输入的空气为a m3, t时刻车间中CO2的浓度为x(t), 则车间中CO2的含量(以体积计算)在t时刻经过dt min的改变量为 30´30´6 dx=0.0004adt-axdt, 分离变量得 , 由于x>0.0004, 故两边积分得 , 即 . 由于开始时车间中的空气含0.12%的CO2, 即当t=0时, x=0.0012, 代入上式得C=0. 0008. 因此. 由上式得. 由于要求30min后车间中CO2的含量不超过0.06%

13、, 即当t=30时, x£0.0006, 将t=30, x=0. 0006代入上式得a=180ln 4»250. 因为, 所以x是a的减函数, 考试当a³250时可保证x£0.0006. 因此每分钟输入新鲜空气的量不得小于250m3. 7. 设可导函数j(x)满足 , 求j(x). 解 在等式两边对x求导得 j¢(x)cos x-j(x)sin x+2j(x)sin x=1, 即 j¢(x)+tan xj(x)=sec x. 这是一个一阶线性方程, 其通解为 =cos x(tan x+C)=sin x+Ccos x. 在已知等式中,

14、令x=0得j(0)=1, 代入通解得C=1. 故j(x)=sin x+cos x . 8. 设函数u=f(r), 在r>0内满足拉普拉斯(Laplace)方程 , 其中f(r)二阶可导, 且f(1)=f ¢(1)=1. 试将拉普拉斯方程化为以r为自变量的常微分方程, 并求f(r). 解 因为, 所以 , . 同理可得 , . 于是 . 因此拉普拉斯方程化为 , 即. 令, 则以上方程进一步变成 , 即, 其通解为 , 即. 由于f ¢(1)=1, 即r=1时, 所以C1=1, . 在方程的两边积分得 . 又由于f(1)=1, 即r=1时u=1, 所以C2=2, 从而,

15、 即. 9. 设y1(x)、y2(x)是二阶齐次线性方程y¢¢+p(x)y¢+q(x)y=0的两个解, 令 , 证明: (1)W(x)满足方程W ¢+p(x)W=0; 证明 因为y1(x)、y2(x)都是方程y¢¢+p(x)y¢+q(x)y=0的解, 所以 y1¢¢+p(x)y1¢+q(x)y1=0, y2¢¢+p(x)y2¢+q(x)y2=0,从而 W ¢+p(x)W=(y1¢y2¢+ y1y2¢¢- y1¢