平面向量的数量积及运算律

1、平面向量的数量积及运算律年级_ 班级_ 学号_ 姓名_ 分数_总分一二三得分阅卷人一、选择题(共15题，题分合计75分)1.对任意向量ab,|a|·|b|与a·b的大小关系是A.|a|·|b|<a·b B.|a|·|b|>a·b C.|a|·|b|a·b D.两者大小不确定2.设|a|=12,|b|=9,a·b=-54,则a与b的夹角为A.45° B.135° C.60° D.120°3.边长为的正三角形ABC中,设=c,=a,=b,则a·b+

2、b·c+c·a等于A.0 B.1 C.3 D.-34.a、b是非零向量，a·b=|a|b|是a、b共线的A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不必要也不充分条件5.已知|a|=1,|b|=,且(a-b)与a垂直，则a与b的夹角是A.60° B.30° C.135° D.°6.已知|a|=2,|b|=1,a与b之间的夹角为，那么向量m=a-4b的模为A.2 B.2 C.6 D.127.已知a、b是非零向量，则|a|=|b|是(a+b)与(a-b)垂直的A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条

3、件 D.既不充分也不必要条件8.已知a、b为两个单位向量，下列四个命题正确的是A.a=b B.a·b=0 C.|a·b| D.ab9.若|a|=2,|b|=,a与b的夹角为60°,则a·b等于A. B. C.1 D.210.已知ABC，=a,=b，当a·b时，ABC为A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等腰直角三角形11.下列叙述不正确的是A.向量的数量积满足交换律 B.向量的数量积满足分配律 C.向量的数量积满足结合律 D.a·b是一个实数12.设向量a和b的长度分别为4和3,夹角是60°,则|a+b|等于

4、A.37 B.13 C. D.13.有四个式子:b·a=0;0·a=0;0|a·b|=|a|·|b|,其中正确的个数为A.4个 B.3个 C.2个 D.1个14.已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为60°，则(a+2b)·(a-3b)等于A.72 B.-72 C.36 D.-3615.|a|=3,|b|=4,向量a+b与a-b的位置关系为A.平行 B.垂直 C.夹角为 D.不平行也不垂直得分阅卷人二、填空题(共13题，题分合计52分)1.设a+b=2i8j，ab=8i+16j,那么a·b= .2.已知a、b的同向单位向

5、量分别为a、，向量a、b的夹角为，则a·_.3.若ab，则a·b= .4.在ABC中，已知|=|=4，且·=8，这个三角形的形状为 .5.已知向量a、b的夹角为，|a|=2,|b|=1,则|a+b|·|a-b|= .6.对任意向量a、b，|a·b|与|a|b|的大小关系为 .7.已知|a|=6,e为单位向量，它们之间的夹角为45°，则a在e方向上的投影为 .8.在ABC中，a=5,b=8,C=60°，则·= .9.已知|a|=3,|b|=4,且a与b的夹角为150°，则(a+b) .10.已知|a|=2,

6、|b|=5,a·b=-3,则|a+b|=,|a-b|= .11.设|a|=3,|b|=5,且a+b与ab垂直，则 .12.已知a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j,其中i、j是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量，那么a·b= .13.已知ab、c与a、b的夹角均为60°，且|a|=1,|b|=2,|c|=3,则(a+2b-c) .得分阅卷人三、解答题(共32题，题分合计339分)1.已知|a|=6,|b|=8,且ab，求a·b.2.已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为120°，求：(1)a·b(2)a2（3）(2a-

7、b)·(a+3b)3.已知一个平行四边形的三个顶点分别为( 3,-2)、（5,2）和（-1，4）求它的第四个顶点的坐标.4.与为两个不共线的向量，AB=2+k，CB=+3，CD=2-，若 求k的值.5.在OAB中，记OA=，OB=，M、N分别在边OA、OB上，且OM=，ON=（），记AN与BN的交点为P，试用与表示.6.设|a|=2sin，|b|=4cos，a与b的夹角为，求a·b的值.7.设a是非零向量，且bc，求证：a·b=a·c的充要条件是a(b-c)8.求证：直径上的圆周角为直角已知：如下图所示，AC为O的一条直径，ABC是圆周角求证：ABC=9

8、0°.9.已知（a+b）(2ab),(a2b)(2a+b)，求a、b的夹角的余弦值.10.已知：|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为求：(1)a·b(2)a(3)b11.已知|a|=1,|b|=,(1)若ab,求a·b;(2)若ab的夹角为60°,求|a+b|;(3)若a-b与a垂直,求a与b的夹角12.设m、n是两个单位向量，其夹角为60°，求向量a=2m+n与b=2n-3m的夹角.13.对于两个非零向量a、b，求使|a+tb|最小时的t值，并求此时b与a+tb的夹角.14.已知a、b都是非零向量，且a3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂

9、直，求a与b的夹角.15.已知O是ABC所在平面内一点，且满足+=+=+，求证：O是ABC的垂心.16.非零向量与不共线，若AB =2+3, BC =6+23,CD=4-8，则A、B、D三点共线.17.用向量的方法证明：三角形三中线交于一点，且此点与各顶点的距离等于相应中线长的.18.已知三点：A(2,1),B(3,4)，C(1,4) ，P为平面内一点是PA +PB+PC =O 求P点坐标.19.在四边形ABCD中，E，F分别为对角线AC、BD的中点，记AB=，BC=，CD=。求EF（用、表示）.20.已知向量=（x,y）与向量=(y,zy-x)的对应关系记作=f()（1）求证：对于任意向量、

10、及常数m,n恒有f(m+n)=mf()+nf().（2）若=(1,1),=(1,0)用坐标表示f()和f().（3）求使f()=(p、q)(p、q为常数)的向量的坐标.21.已知点O（0,0）A(1,2)B（4，5）OP=OA+tAB（tR）（1）要使P点在x轴、y轴、第二象限t分别应取什么值？（2）四边形OABP是否有可能是平行四边形？如可能，求出相应的t的值，如不可能说明理由.22.已知|=10，=（3，-4）/，求.23.在正六边形ABCDEF中，记AB=，BC=，试用，表示、.24.ABC中A（-3，7）B（2，5），又知AC边中点在x轴上，BC边中点在y轴上，求顶点C的坐标及ABC的

11、重心G的坐标.25.已知a、b都是非零向量，且a+3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直，求a与b的夹角.26.已知：在ABC中，ABc，BCa，ACb，AB上的中线CDm，求证：a2b2c22m2.27.已知点P（2，3）分P1P2为，其中P1（4,y）P2(x,1)又知|P1P|=4，求x，y及的值.28.ABC的三顶点分别为A(1,2) B(2,3) C(3,1) 把ABC按向量=（m,n）平移，得到，若的重心为G'（3，3），求的坐标及.29.已知四点A（-3，12）B（3，-4），C（5，-4）D（5，8）求AC与BD的交点P的坐标，并求直线AC分BD所得的比入及P分

12、BD所得的比.30.如下图所示OAB中，4=，2=，AD与BC的交点为M。（1）用、表示.（2）过M点作直线与OA、OB边分别交于E、F点，若=p·=q，求证：=1.31.已知正方形ABCD过B作直线BEAC，E是在BE上，且CE=AC，直线CE交直线AB于F，用向量证明：AF=AE.32.已知A（0，8），B（-4，0）C（5，-3）点D分AB为，E点在BC上，使ABC面积的一半，求E点坐标.平面向量的数量积及运算律答案一、选择题(共15题，合计75分)1.668答案：C2.674答案：B3.675答案：D4.676答案：A5.683答案：D6.684答案：B7.685答案：C8.

13、877答案：D 9.878答案：A 10.879答案：A 11.883答案：C 12.669答案：C13.670答案：D14.884答案：B15.885答案：B二、填空题(共13题，合计52分)1.673答案：-632.677答案：3.678答案：±|a|b|4.679答案：等边三角形5.686答案： 6.880答案：|a·b|a|b|7.881答案： 38.882答案： 9.886答案： 10.887答案：11.888答案：±12.687答案：-6313.873答案：11三、解答题(共32题，合计339分)1.663答案： 482.665答案：(1)a·

14、;b=（2）ab-（3）（a-b）·(a+3b)=3.1234答案：(1)若为平行四边形ABCD，D（-3,0）(2)若为平行四边形ABCD，D(1,8)(3)若为平行四边形ADBC，D（9,-4）4.1235答案：k=-85.1236答案：OP=6.662答案：解：a·b=7.666答案：见注释8.671答案：见注释9.672答案：cos=10.681答案：(1)(2)36(3)1611.874答案：(1)-(2)(3)45°12.875答案： 120°13.876答案： 90°14.907答案：a与b的夹角为6O°15.1198答案：见注释16.1220答案：见注释17.1221答案：见注释18.1222答案：P (2,3)19.1223答案：20.1226答案：(1)见注释(2)f()=(1,2-1)=(1,1) f()=(0,0-1)=(0,-1)