异面直线的夹角专题教师

1、异面直线所成角的几种方法异面直线所成角的大小，是由空间任意一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的准确选定角的顶点，平移直线构造三角形是解题的重要环节本文举例归纳几种方法如下，供参考方法一：抓异面直线上的已知点过一条异面直线上的已知点，引另一条直线的平行线(或作一直线并证明与另一直线平行)，往往可以作为构造异面直线所成角的试探目标例1：如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是？ 解：连B1G，则A1EB1G，知B1G F就是异面直线A1E与GF所成的角在B1GF中，由余弦定理，得

2、 cosB1GF0， 故B1G F90°练习1.1：在空间四边形ABCD中，ADBC2，E，F分别为AB、CD的中点，EF，求AD、BC所成角的大小练习1.2：长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2cm，AA1=4cm，求异面直线BD1与AD所成的角的余弦值？方法二：抓异面直线(或空间图形)上的特殊点考察异面直线上的已知点不凑效时，抓住特殊点(特别是中点)构造异面直线所成角是一条有效的途径.例2：设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DEAB于E(如图)现将ADE沿DE折起，使二面角ADEB为45°，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M、N的连线与AE所成

3、角的大小为多少？解：取AE中点G, 连结GM、BGGMED，BNED，GMED，BNED GMBN，且GMBNBNMG为平行四边形，MN/BGA的射影为BAB面BCDEBEABAE45°，又G为中点，BGAE即MNAEMN与AE所成角的大小等于90度练习2.1：S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图SASBSC，BMANCS且ASBBSCCSA，M、N分别是AB和SC的中点求异面直线SM与BN所成的角的余弦值证明：连结CM，设Q为CM的中点，连结QN 则QNSMQNB是SM与BN所成的角或其补角连结BQ，设SCa，在BQN中BN NQSMa BQCOSQNB练习2.2：如图，在直三

4、棱柱ABCA1B1C1中，BCA90°，M、N分别是A1B1和A1C1的中点，ACBNMA1C1B1若BCCACC1，求NM与AN所成的角的余弦值解：连接MN，作NGBM交BC于G，连接AG，易证GNA就是BM与AN所成的角设：BCCACC12，则AGAN，GNB1M，cosGNA.练习2.3：如图，在正方体中，E、F分别是、CD的中点求与所成的角。证明：取AB中点G，连结A1G，FG， 因为F是CD的中点，所以GFAD，又A1D1AD，所以GFA1D1，故四边形GFD1A1是平行四边形，A1GD1F。设A1G与AE相交于H，则A1HA是AE与D1F所成的角。因为E是BB1的中点，所

5、以RtA1AGABE, GA1A=GAH,从而A1HA=90°,即直线AE与D1F所成的角为直角。方法三：平移(或构造)几何体有些问题中，整体构造或平移几何体，能简化解题过程.例3：如图，平面，且，则异面直线PB与AC所成角的正切值为多少？解：将此多面体补成正方体，与所成的角的大小即此正方体主对角线与棱所成角的大小，在RtPDB中，即.练习3.1：正ABC的边长为a，S为ABC所在平面外的一点，SASBSCa，E，F分别是SC和AB的中点求异面直线SA和EF所成角练习3.2：已知正方形ABCD的边长为1，PD平面ABCD，PD=3（1）求PB与平面ABCD所成角的大小；（2）求异面直

6、线PC与BD的夹角大小作业：一、 选择题1分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是 （ ）（A）不平行的直线 （B）不相交的直线（C）相交直线或平行直线 （D）既不相交又不平行直线2已知EF是异面直线a、b的共垂线，直线lEF，则l与a、b交点的个数为 （ ）（A）0 （B）1 （C）0或1 （D）0，1或23两条异面直线的距离是 （ ）（A）和两条异面直线都垂直相交的直线 （B）和两条异面直线都垂直的直线（C）它们的公垂线夹在垂足间的线段的长 （D）两条直线上任意两点间的距离4设a, b, c是空间的三条直线，下面给出三个命题： 如果a, b是异面直线，b, c是异面直线，则a, c是异面直

7、线； 如果a, b相交，b, c也相交，则a, c相交； 如果a, b共面，b, c也共面，则a, c共面上述命题中，真命题的个数是 （ ）（A）3个 （B）2个 （C）1个 （D）0个ABCSEF5异面直线a、b成60°，直线ca，则直线b与c所成的角的范围为 （ ）（A）30°，90° （B）60°，90° （C）30°，60° （D）60°，120°6如图:正四面体SABC中，如果E，F分别是SC，AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于 （ ）（A）90°（B）45°（C

8、）60°（D）30°ABCDD1C1B1A1MN7在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是 （ ）（A）（B）（C）（D） 8右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中， BM与ED平行； CN与BE是异面直线； CN与BM成角；DM与BN垂直以上四个命题中，正确命题的序号是 （ ）（A） （B） （C） （D）9梯形ABCD中AB/CD，AB平面，CD平面，则直线CD与平面内的直线的位置关系只能是 （ ）（A）平行 （B）平行和异面 （C）平行和相交 （D）异面和相交10在空间四边形ABCD中，E、F分别

9、为AB、AD上的点，且AE ：EFAF ：FD1 ：4，又H、G分别为BC、CD的中点，则 （ ） （A）BD/平面EFGH且EFGH是矩形 （B）EF/平面BCD且EFGH是梯形（C）HG/平面ABD且EFGH是菱形 （D）HE/平面ADC且EFGH是平行四边形二、填空题11如图，在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点， G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点，将ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为 12在四面体ABCD中，若AC与BD成60°角，且ACBDa，则连接AB、BC、CD、DA的中点的四边形面积为 BACDA13在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC3，AA14，则异面直线AB1与 A1D所成的角的余弦值为 14把边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折起，使A、C的距离等于a，如图所示，则异面直线AC和BD的距离为 三、 解答题15已知AB、BC、CD为不在同一平面内的三条线段，AB，BC，CD的中点P、Q、R满足PQ2，QR，PR3，求AC与BD所成的角16已知P为ABC所在平面外的一点，PCAB，PCAB2，E、F分别为PA和BC的中点（1）求证：EF与PC是异面直线；（2）EF与PC所成的角；（3）线段EF的长17如图