一阶微分方程的常数变易法的应用探析

1、一阶微分方程的常数变易法的应用探析The exploration of linear ordinary differential equation of first order with method of leading variables作 者：刘 * 专 业：数学与应用数学 指导老师：杜 * * 完成时间：2010年9月1号摘 要常数变易法是作为求解一阶线性方程的解法给出的。本文先介绍一阶线性非齐次微分方程的常数变易法，然后讨论四种形式的一阶非线性微分方程的常数变易法，包括齐次方程、贝努力方程和黎卡提方程等的常数变易法。 Method of leading variables is me

2、thod of solving linear ordinary differential equation of first order. This paper first introduces first-order differential equations of nonhomogeneous linear method, and then discuss variation of four types of first order nonlinear differential equation of variation, including homogeneous equation,

3、the bayesian equation and li CARDS carry equation of variation law. 关键词：一阶线性； 一阶非线性； 常数变易法 Key words: A linear ; First-order nonlinear ; Method of leading variables目 录1、一阶线性非齐次微分方程的常数变易法42、一阶非线性微分方程的常数变易法52.1 齐次方程52.2 贝努力方程：52.3 黎卡提方程：62.4 形如的微分方程8目前，由于常微分方程应用的广泛性，人们基本满足于各类型方程的各自求解方法。基于此，常微分方程课程可以说是

4、各类型的孤立技巧与方法的汇编，从内容联系上势必感到松散。因此，把握解常微分方程的方法，在学习此类课程时，不仅仅是记住一些解法，更重要的是强调思维方法的训练。由于常数变易法是求解微分方程的一种很重要的方法,且常应用于一阶线性微分方程的求解，因此本文对这一部分的内容做一系统整理。在数变易法中，将常数换成u(x)就可以得到非齐次线性方程的通解。1、一阶线性非齐次微分方程的常数变易法为求解一阶非齐次线性微分方程 （1）先解对应的其次线性微分方程 (2)用分离变量法可得（2）的通解： （其中c是任意常数） （3）然后从这通解出发，把这通解中的任意常数编译成的未知函数，得到 （4）于是： （5）将（4）和

5、（5）代入方程（1），得：即：，所以，所以：所以，（1）的通解为： （其中c是任意常数） 例1 解：首先求线性齐次方程的通解。 再应用常数变易法求线性非齐次微分方程的通解，为此，在上式中把常数c变易成待定函数，即令：，代入原方程得：化简得到：，上式两边积分得：于是，原方程的通解为2、一阶非线性微分方程的常数变易法个别的一阶非线性微分方程，可用常数变易法求解，下面介绍四类一阶非线性微分方程的常数变易法。2.1 齐次方程 （6） 对这种方程的解法，在一般教科书中都是首先把它化为可分离变量方程，然后根据可分离变量方程的解法去解，在这里我们可以直接用常数变易法求解。根据常数变易法，先求出原方程“对应”

6、的齐次方程：的通解：再令： （7）代入（6），有:即：，即：两边积分就可以求出,然后再代入（7），便得原方程的通解。例2：求方程的通解。解：将方程改写为 可以求得，它“对应”的齐次线性方程的通解为：再令：，代入原方程可得：，即两边积分得 （其中是任意常数）代回原变量，得原方程的通解为 （其中是任意常数）2.2 贝努力方程： （8）形如的方程称为伯努利方程,其中p(x),Q(x)为x的连续函数,(n0,1),对于贝努力方程，在一般的教科书上都是先把它化为线性方程，然后根据线性方程的求解方法去解，在这里我们直接用常数变易法去求解。根据常数变易法，先求它“对应”的齐次线性方程的通解：令： 代入（8）

7、得，即： 解得：所以，（8）的通解为利用此公式可求出任一伯努利方程的通解。例3、求方程的通解。解：可以判断，此方程为贝努力方程，这里，原方程“对应”的齐次方程为，其通解为：，令，代入原方程化简得：即：，即： 所以原方程的通解为： （其中c为任意常数）2.3 黎卡提方程： （9） 一般来说，这一类方程一般来说没有初等解法，不过，若知道其一特解，经变换后，方程就变为贝努力方程，因而可解。这里直接用常数变易法求一类特殊的黎卡提方程的解：，（a、b、c是实常数，且）根据常数变易法，先求它“对应”的齐次线性方程的解，再令 （10）代入原方程，有：分离变量得到：两边积分，求出，然后代入（10）可以得原方程

8、的通解。例4、求方程的通解。解：在这里由于，故原方程属于上述黎卡提方程，其中，。原方程“对应”的齐次线性方程通解为：令 代入原方程有：即：即： 即：两边积分得： （其中A是任意常数）所以得到： 所以原方程的通解为： （其中为任意常数）2.4 形如的微分方程 （11） 先求得（11）“对应”的方程的通解为：再令：，代入原方程化简后得：，由此解出后，便得（11）的通解为利用此公式可以求得的通解。例5、求的通解。解：先解方程，它的解是或。可令原方程的解为，代入方程得： 即 所以原方程的通解为 （其中为任意常数）参考文献1、王高雄、周之铭、朱思铭等.常微分方程教程（第三版）M.北京:高等教育出版社.2

9、006.18-642、任永泰、史希福.常微分方程M.沈阳：辽宁人民出版社.1984.4-163、张学元.变系数二阶线性微分方程的一个新的可解类型J.大学数学,2003,19(1):96-98.4、李鸿祥.两类二阶变系数线性微分方程的求解J.高等数学研究,2002,5(2):10-13.5、罗亚平,陈仲.微分方程M.南京:南京大学出版社,1987.6、复旦大学数学系.常微分方程M.上海:上海科学技术出版社,1987.7、胡劲松.求一类二阶非齐次欧拉方程的特解J.重庆工学院学报,2003,17(4):49-51.8、四川大学数学系.高等数学M.北京：人民教育出版社，1979：35-46致 谢 在本文的成文过程中，