高三高考数学国步分项分类题及析答案

1、高三高考数学国步分项分类题及析答案一四3-3导数的实际应用基础巩固强化1.(文)正三棱柱体积为V，则其表面积最小时，底面边长为()A.B. C.D2答案C解析设正三棱柱底面边长为a，高为h，则体积Va2h，h，表面积Sa23aha2，由Sa0，得a，故选C.(理)在内接于半径为R的半圆的矩形中，周长最大的矩形的边长为()A.和RB.R和RC.R和R D以上都不对答案B解析设矩形垂直于半圆直径的边长为x，则另一边长为2，则l2x4(0xR)，l2，令l0，解得xR.当0xR时，l0；当RxR时，l0.所以当xR时，l取最大值，即周长最大的矩形的边长为R，R.2已知某生产厂家的年利润y(单位：万元

2、)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A13万件 B11万件C9万件 D7万件答案C解析yx381x234，yx281(x>0)令y0得x9，令y<0得x>9，令y>0得0<x<9，函数在(0,9)上单调递增，在(9，)上单调递减，当x9时，函数取得最大值故选C.点评利用导数求函数最值时，令y0得到x的值，此x的值不一定是极大(小)值时，还要判定x值左右两边的导数的符号才能确定3(文)做一个圆柱形锅炉，容积为V，两个底面的材料每单位面积的价格为a元，侧面的材料每单位面积的价格为b元，当造价最低时

3、，锅炉的底面直径与高的比为()A. B. C. D.答案C解析如图，设圆柱的底面半径为R，高为h，则VR2h.设造价为y，则y2R2a2Rhb2aR22Rb·2aR2，y4aR.令y0并将VR2h代入解得，.(理)圆柱的表面积为S，当圆柱体积最大时，圆柱的底面半径为()A. B.C. D3·答案C解析设圆柱底面半径为r，高为h，S2r22rh，h，又Vr2h，则V，令V0，得S6r2，h2r，r.4某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与产量x的关系是R则总利润最大时，每年生产的产品是()A100 B150C200 D3

4、00答案D解析由题意，总成本为C20000100x.所以总利润为PRCP令P0，得x300，易知当x300时，总利润最大5(文)内接于半径为R的球并且体积最大的圆锥的高为()AR B2RC.R D.R答案C解析设圆锥的高为h，底面半径为r，则R2(hR)2r2，r22Rhh2，Vr2hh(2Rhh2)Rh2h3，VRhh2，令V0得hR.(理)要制做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为()A.cm B.cmC.cm D.cm答案D解析设圆锥的高为x，则底面半径为，其体积为Vx(400x2)(0x20)，V(4003x2)，令V0，解得x.当0x时，V0；当x20时，V0

5、，所以当x时，V取最大值6(2012·保定模拟)定义域为R的函数f(x)满足f(1)1，且f(x)的导函数f (x)>，则满足2f(x)<x1的x的集合为()Ax|1<x<1 Bx|x<1Cx|x<1或x>1 Dx|x>1答案B解析令g(x)2f(x)x1，f (x)>，g(x)2f (x)1>0，g(x)为单调增函数，f(1)1，g(1)2f(1)110，当x<1时，g(x)<0，即2f(x)<x1，故选B.7(文)用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为21，该长方体的最大体

6、积是_答案3m3解析设长方体的宽为x，则长为2x，高为3x(0<x<2)，故体积为V2x26x39x2，V18x218x，令V0得，x0或1，0<x<2，x1.该长方体的长、宽、高各为2m、1m、1.5m时，体积最大，最大体积Vmax3m3.(理)用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么容器的容积最大时，容器的高为_答案1.2m解析设容器的短边长为xm，则另一边长为(x0.5)m，高为3.22x.由3.22x>0和x>0，得0<x<1.6，设容器的容积为ym3，则有yx(x0.5)(3.

7、22x)(0<x<1.6)，整理得y2x32.2x21.6x，y6x24.4x1.6，令y0，有6x24.4x1.60，即15x211x40，解得x11，x2(不合题意，舍去)，高3.221.2，容积V1×1.5×1.21.8.8(文)(2011·北京模拟)若函数f(x)lnxax22x存在单调递减区间，则实数a的取值范围是_答案(1，)分析函数f(x)存在单调减区间，就是不等式f (x)<0有实数解，考虑到函数的定义域为(0，)，所以本题就是求f (x)<0在(0，)上有实数解时a的取值范围解析解法1：f (x)ax2，由题意知f (x)

8、<0有实数解，x>0，ax22x1>0有实数解当a0时，显然满足；当a<0时，只要44a>0，1<a<0，综上知a>1.解法2：f (x)ax2，由题意可知f (x)<0在(0，)内有实数解即1ax22x<0在(0，)内有实数解即a>在(0，)内有实数解x(0，)时，(1)211，a>1.(理)(20112012·黄冈市期末)对于三次函数yax3bx2cxd(a0)，给出定义：设f (x)是函数yf(x)的导数，f (x)是f (x)的导数，若方程f(x)0有实数解x0，则称点(x0，f(x0)为函数yf(x)的

9、“拐点”某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心若f(x)x3x23x，请你根据这一发现，求：(1)函数f(x)x3x23x的对称中心为_；(2)计算f()f()f()f()f()_.答案(1)(，1)(2)2013解析(1)f (x)x2x3，f(x)2x1，由2x10得x，f()×()3×()23×1，由拐点的定义知f(x)的拐点即对称中心为(，1)(2)f()f(1)f()f()2(k1，2，1007)，f()f()f()f()f()f()f()f()f()f()2×100612013.

10、9有一个容积V一定的有铝合金盖的圆柱形铁桶，已知单位面积铝合金的价格是铁的3倍，问如何设计使总造价最小？分析桶的总造价要根据铁与铝合金的用量来定，由于二者单位面积的价格不同，在保持铁桶容积不变的前提下，使总造价最小问题转化为V一定求总造价y的最小值，选取恰当变量(圆柱高h或底半径r)来表示y即变为函数极值问题解析设圆柱体高为h，底面半径为r，又设单位面积铁的造价为m，桶总造价为y，则y3mr2m(r22rh)由于Vr2h，得h，所以y4mr2(r>0)所以，y8mr.令y0，得r，此时，h4.该函数在(0，)内连续可导，且只有一个使函数的导数为零的点，问题中总造价的最小值显然存在，当r时

11、，y有最小值，即hr4时，总造价最小10(文)已知球的直径为d，求当其内接正四棱柱体积最大时，正四棱柱的高为多少？解析如右图所示，设正四棱柱的底面边长为x，高为h，由于x2x2h2d2，x2(d2h2)球内接正四棱柱的体积为Vx2·h(d2hh3)，0<h<d.V(d23h2)0，hd.在(0，d)上，函数变化情况如下表：hdV0V极大值由上表知体积最大时，球内接正四棱柱的高为d.(理)如右图所示，扇形AOB中，半径OA1，AOB，在OA的延长线上有一动点C，过点C作CD与相切于点E，且与过点B所作的OB的垂线交于点D，问当点C在什么位置时，直角梯形OCDB的面积最小分析

12、要求直角梯形OCDB的面积的最小值，需先求出梯形面积，可设OCx，进而用x表示BD，然后利用导数的方法求最小值解析如上图所示，过D作DFOA于F，可知OECDFC，所以OCCD，设OCx(x1)，在RtCDF中，CD2CF2DF2，即x2(xBD)21，所以BDx，所以梯形的面积为S(BDOC)·OB(2x)，S(2)令S0，解得x1，x2(舍去)当x时，S0；当1x时，S0.所以当x时，S取最小值即当OC时，直角梯形OCDB的面积最小.能力拓展提升11.已知非零向量a、b满足：|a|2|b|，若函数f(x)x3|a|x2a·bx在R上有极值，设向量a、b的夹角为，则cos

13、的取值范围为()A. B.C. D.答案D解析函数f(x)在R上有极值，f (x)x2|a|xa·b0有两不等实根，|a|24|a|·|b|cos4|b|28|b|2cos>0，cos<，选D.点评若f(x)为三次函数，f(x)在R上有极值，则f (x)0应有二不等实根，当f(x)有两相等实根时，不能保证f(x)有极值，这一点要特别注意，如f(x)x3，f (x)x20有实根x0，但f(x)在R上单调增，无极值即导数为0是函数有极值的必要不充分条件12如图，过函数yxsinxcosx图象上点(x，y)的切线的斜率为k，若kg(x)，则函数kg(x)的图象大致为(

14、)答案A解析ysinxxcosxsinxxcosx，kg(x)xcosx，易知其图象为A.13函数f(x)2x3x2x1的图象与x轴交点个数为_个答案1解析f (x)6x2x1(3x1)(2x1)，当x<时，f (x)>0，当<x<时，f (x)<0，当x>时，f (x)>0，f(x)在(，)上单调递增，在(，)上单调递减，在(，)上单调递增，当x时，f(x)取到极大值，当x时，f(x)取到极小值，故f(x)的图象与x轴只有一个交点14将边长为1m的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s，则s的最小值是_答案解析设DEx，

15、则梯形的周长为：3x，梯形的面积为：(x1)·(1x)(1x2)，s·，x(0,1)，设h(x)，h(x).令h(x)0，得：x或x3(舍)，h(x)最小值h8，s最小值×8.15(文)甲乙两地相距400km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100km/h，已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(km/h)的函数关系是Pv4v315v.(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式；(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值解析(1)汽车从甲地到乙地需用h，故全程运输成本为Q6000(0<v100)(2)Q5v

16、，令Q0得，v80，当v80km/h时，全程运输成本取得最小值，最小值为元(理)(2011·江苏)请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AEFBx(cm)(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值解析设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm

17、)，由已知得ax，h(30x)，0<x<30.(1)S4ah8x(30x)8(x15)21800，所以当x15时，S取得最大值(2)Va2h2(x330x2)，V6x(20x)由V0得x0(舍)或x20.当x(0,20)时，V>0；当x(20,30)时，V<0.所以当x20时，V取得极大值，也是最大值此时.即包装盒的高与底面边长的比值为.16(文)用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2m2的正四棱锥形有盖容器(如右图)设容器的高为hm，盖子边长为am.(1)求a关于h的函数解析式；(2)设容器的容积为Vm3，则当h为何值时，V最大？求出V的最大值(容器的厚度忽略不计)

18、解析(1)如右图，作PO平面ABCD，O为垂足，作OEBC于E，连结PE，则PEBC，正四棱锥的全面积为24××a×a2.所以a(h>0)(2)Va2h·(h>0)，V·.所以当0<h<1时，V>0.所以V(h)在(0,1上为增函数当h>1时，V<0，所以V(h)在1，)上为减函数故h1为函数V(h)的唯一极大值点也是最大值点，Vmax.答：当高h1m时，容积取最大值m3.(理)如图，有一矩形钢板ABCD缺损了一角(如图所示)，边缘线OM上每一点到点D的距离都等于它到边AB的距离工人师傅要将缺损的一角切

19、割下来使剩余部分成一个五边形，若AB1m，AD0.5m，问如何画切割线EF可使剩余部分五边形ABCEF的面积最大？解析由题知，边缘线OM是以点D为焦点，直线AB为准线的抛物线的一部分以O点为原点，AD所在直线为y轴建立直角坐标系，则D(0，)，M(，)所以边缘线OM所在抛物线的方程为yx2(0x)要使如图的五边形ABCEF面积最大，则必有EF所在直线与抛物线相切，设切点为P(t，t2)则直线EF的方程为y2t(xt)t2，即y2txt2，由此可求得点E，F的坐标分别为E(，)，F(0，t2)所以SDEFS(t)··(t2)·，t(0，所以S(t)·，显然

20、函数S(t)在(0，上是减函数，在(，上是增函数所以当t时，SDEF取得最小值，相应地，五边形ABCEF的面积最大此时点E、F的坐标分别为E(，)，F(0，)此时沿直线EF划线可使五边形ABCEF的面积最大1函数f(x)的定义域为R，导函数f (x)的图象如图所示，则函数f(x)()A无极大值点、有四个极小值点B有三个极大值点、两个极小值点C有两个极大值点、两个极小值点D有四个极大值点、无极小值点答案C解析设f (x)与x轴的4个交点，从左至右依次为x1、x2、x3、x4，当x<x1时，f (x)>0，f(x)为增函数，当x1<x<x2时，f (x)<0，f(x)

21、为减函数，则xx1为极大值点，同理，xx3为极大值点，xx2，xx4为极小值点2函数f(x)excosx的图象在点(0，f(0)处的切线的倾斜角的余弦值为()A B.C. D1答案C解析f (x)excosxexsinx，f (0)1.设f(x)在点(0，f(0)处切线的倾斜角为，则tan1，(0，)，cos.3设函数f(x)x3x2tan，其中，则导数f (1)的取值范围为()A2,2 B，C，2 D，2答案D解析f (x)sin·x2cos·x，f (1)sincos2sin.，.sin，f (1)，2，故选D.4某工厂要围建一个面积为128m2的矩形堆料场，一边可以用

22、原有的墙壁，其他三边要砌新的墙壁，要使砌墙所用的材料最省，堆料场的长、宽应分别为_答案16m8m解析设场地宽为xm，则长为m，因此新墙总长度为y2x(x0)，y2，令y0，x>0，x8.因为当0x8时，y0；当x8时，y0，所以当x8时，y取最小值，此时宽为8m，长为16m.即当堆料场的长为16m，宽为8m时，可使砌墙所用材料最省5(2011·陕西文)设f(x)lnx，g(x)f(x)f (x)(1)求g(x)的单调区间和最小值；(2)讨论g(x)与g()的大小关系；(3)求a的取值范围，使得g(a)g(x)<对任意x>0成立解析f(x)lnx，f (x)，g(x)

23、lnx.g(x)，令g(x)0得x1，当x(0,1)时，g(x)<0，(0,1)是g(x)的单调减区间；当x(1，)时，g(x)>0.(1，)是g(x)的单调增区间，因此当x1时g(x)取极小值，且x1是唯一极值点，从而是最小值点所以g(x)最小值为g(1)1.(2)g()lnxx令h(x)g(x)g()2lnxx，则h(x)，当x1时，h(1)0，即g(x)g()，当x(0,1)(1，)时h(x)<0，h(1)0，所以h(x)在(0，)单调递减，当x(0,1)时，h(x)>h(1)0，即g(x)>g()，当x(1，)时，h(x)<h(1)0，即g(x)&l

24、t;g()，综上知，当x(0,1)时，g(x)>g()；当x1时，g(x)g()；当x(1，)时，g(x)<g()(3)由(1)可知g(x)最小值为1，所以g(a)g(x)<对任意x>0成立等价于g(a)1<，即lna<1，解得0<a<e.所以a的取值范围是(0，e)6学习曲线是1936年美国康乃尔大学T.P.Wright博士在飞机制造过程中，通过对大量有关资料、案例的观察、分析、研究，首次发现并提出来的已知某类学习任务的学习曲线为：f(t)·100%(其中f(t)为该任务的程度，t为学习时间)，且这类学习任务中的某项任务满足f(2)6

25、0%.(1)求f(t)的表达式，计算f(0)并说明f(0)的含义；(2)已知2x>xln2对任意x>0恒成立，现定义为该类学习任务在t时刻的学习效率指数，研究表明，当学习时间t(1,2)时，学习效率最佳，当学习效率最佳时，求学习效率指数相应的取值范围解析(1)f(t)·100%(t为学习时间)，且f(2)60%，则·100%60%，解得a4.f(t)·100%·100%(t0)，f(0)·100%37.5%，f(0)表示某项学习任务在开始学习时已掌握的程度为37.5%.(2)令学习效率指数y，则y(t>0)，现研究函数g(t)t的单调性，由于g(t)1(t>0)，又已知2x>xln2对任意x>0恒成立，即2ttln2>0，则g(t)>0恒成立，g(t)在(0，)上为增函数，且g(t)为正数y(t>0)在(0，)上为减函数，而y|t1，y|t2，即y(，)，故所求学习效率指数的取值范围是(，)7(2012·延边州质检)已知函数f(x)x2axlnx，aR.(1)当a1时，求f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在1,