关于图形旋转探究实践的课例与反思

1、关于图形旋转探究实践的课例与反思松江四中 牟善民图形的平移、翻折、旋转是初中数学几何图形的三种基本运动形式，是初中数学的重要内容之一。这类问题常常要运用“动”的思路去观察、分析、推理、猜想、探究相关图形的位置变化情况或图形的有关性质，对提高数学思维能力与发展空间观念有着重要的作用，也是近年中考试题的一个热点。这部分题目的主要解题思路是在图形的平移、翻折、旋转等运动变化中寻找变量和不变量，把握规律、探求关系，把图形的对称性与分类讨论的思想结合起来。图形的平移、翻折、旋转有一个重要的性质：任何图形经过移、翻折、旋转后，除了图形的位置发生变化外，图形的形状、大小保持不变，这个性质在解决图形运动的有关

2、问题中常用。 针对上述原因，在初三数学第一轮基础知识复习后，进行第二轮专题复习时，针对本学校身为农村中学，学生的基础较差，灵活运用知识的能力不强，设计了本节课的内容，重点是解决图形运动形式中的旋转问题。我首先为同学们准备了一道填空题。一、 引入 如图，是等腰直角三角形，是斜边，点是外一点，将绕点逆时针旋转后，使点与点重合，得到。如果=3，那么的长等于 师：请同学们观察图形，说说有什么特点？生1：与重合。师：如何求的长度？生2：线段是一条边，=3师：好，在中，我们还知道哪些条件？生3：绕点逆时针旋转后，能与重合，则=3师：非常好！但是想求出的长是不是缺少条件呀？生4：直角三角形！师：是吗？哪个同

3、学说一说原因？生5：是直角三角形！因为绕点逆时针旋转后与重合，所以=90°师：回答的很好！为什么有些同学刚才没有想到呢？实际上大家对图形观察不细心，你们再观察一下图形，在图形的旋转问题中叫什么？生6：是旋转角！师：对！那么同学们计算一下结果生7：师：好！我们从这道题的解决中可以看到，当图形发生变化时，一定要抓住图形的基本要素，这样才有利于解决问题。下面我们再看一看这个图形，经过旋转后还有哪些不变的量？（老师重点启发学生在旋转过程中寻找边和角的不变量，注重发散性提出问题）生8：=，=，= 生9：=，=生10：，的面积=的面积师：回答得非常好，在解决有关旋转问题时，要注意相应的边角关系。

4、图形经过平移、翻折、旋转后，除了图形的位置发生变化外，图形的形状、大小保持不变，这个性质在解决图形运动的有关问题中常用。老师用几何画板作出图形（电脑演示动画，强化知识）师：我们今天要研究的就是图形旋转的相关问题。二、变式1师：同学们，如果把上题中的条件改动一下，“是等腰直角三角形”改为“是等边三角形”，会有什么结论？（如下图）（学生画图，进行自我探究，计算结果并总结）师：请同学们结合自己的作图说一说结论生11：绕点逆时针旋转后与重合，旋转角是60°。师：好的，结论是什么？生12：是等边三角形，得到=3师：很好，我们重新观察图形，你还有那些结论？生13：=，=生14：如果=，那么可以看

5、作绕点逆时针旋转的结果，师：非常好！希望同学们在后面的学习中多动脑，多思考。（调动学生积极性，引发兴趣，激发学生的求知欲。通过老师营造课堂氛围，激发学生因惑质疑，产生发现问题的欲望与兴趣；同时创设问题情境，使学生置身于发现问题的情境中，进入发现者的角色，从而激发学生的兴趣、热情。）生15：老师，如果把“点是外一点”改成“”会出现什么情况？师：问题提得好！下面我们共同来探究这个问题。变式2如图，已知和为等边三角形，绕点逆时针旋转不同的角度，探究在不同位置时，图形中有哪些不变量？请同学们自己动手画图，自行选定某个旋转角度。 (学生分小组探究完成，让学生自我寻找图形特点，适当分成若干小组，积极发挥团

6、队作用，培养学生团队合作的意识)师：请各个小组展示自己的成果生16：我们小组画的图形(图一)，结论不是一个。图一 图二 图三 师：好的，有多少结论都可以讲出来。生16：我们组的结论有，=，=，=,生17：我们小组画的图形（图二），结论更多，, =，=，=, 生18：如果把与的交点令为点M，与的交点令为点N（图三），则有NM，MN，N=M，M=N，N=M，M=N，生19：还有，MM，M，NN，生20：还有一些成比例的线段：M：M=M：M=：，M：=：师：同学们回答的非常好！下面老师演示一下，看看自己是否还有发现？老师用几何画板作出旋转变化，同时小结（电脑演示动画，强化知识）图1 图2 图3 图4

7、图5 图6 图7 图8图9 图10 图11 图12图13 图14 图15 图16生21：刚才老师演示的图形中，有几个我们以前见过。师：对呀，上面的图形中，有一些图形在三角形全等以及三角形相似内容中，我们都接触过，关键是要抓住图形基本特点，掌握规律。例如下图，我们刚才的结论中有=，也可以提出问题：证明=+等等。同学们看看如何证明？（在经历了图形的若干旋转后，寻求一个特殊情况下的新结论=+，调动学生积极性，引发兴趣，激发学生的求知欲。）师：（启发学生）同学们，你们观察一下图形，这个图形有什么特点？生22：这是我们刚才见过的一个图形。师：好，那么如何解决这个问题呢？生23：可以参照上面的题目，能够得

8、到师：你回答的非常好，哪位同学接着讲讲？生24：和全等后，可以得到=师：回答正确，但是我们还没有解决问题呀？生25：由于为等边三角形，可得=，又=生26：（抢答）所以=+（从上面的问题可以看出，学生的思维多数情况停留在表面，比较直观。对于简单图形的变换学生能够比较容易看出图形特点，并且与以往知识很顺利的联系起来，解决起来没有太多的困难，图形相对复杂，学生往往不能很好的观察、分析，与以往学习的知识不能协调、联系，出现了解决问题的困难。这也恰恰反映出学生在数学思想、方法的培养上存在欠缺。数学思想反映数学的基本观点和解决问题的基本方法，可以从宏观上、方向上指导我们解决问题，尤其是有些题目的条件比较隐

9、蔽，条件与结论之间的联系比较迂回曲折，有时难于入手，只有能熟练驾驭数学思想方法，才能有合理的解题策略和行之有效的解题思路。）师：好，通过上面问题提醒我们在图形的旋转变化中注意寻找不变的量，把握规律、探求关系，更有利于顺利解决问题。下面同学们可以实验一下，从刚才的图116中寻找不同的结论，每个小组提出一个问题，找另一个小组来回答。（小组学生派代表回答，教师点评）师：现在请同学们回顾前面内容，你是否有一些发现？生27： 解题思路相同，基本上是先有三角形全等，进而得到结论。师：回答很好！从上述问题中我们可以得出经验：在今后解决问题时针对已有的图形特点先画一画、猜一猜，看看“它象什么”？运用知识的迁移

10、，依靠化归的数学思想来解决问题，一定会收到较好的效果。（挖掘内在联系，根据化归思想的导向功能，鼓励学生按一定的模式去探究运用，在教学中引导学生开展探究性活动，实际上是立足于教学内容，引导学生自主参与开展，对某些数学问题的深入探讨，也是培养学生创新精神和实践能力的重要途径。它有利于培养学生对数学的情感，增强学生学习的自信心和克服困难的意志力；有利于加深学生对所学知识的理解，掌握解决问题的方法和策略，提高解决问题的能力；有利于培养学生的自主学习意识和合作精神，促进学生的全面发展探究性活动无论从教学内容，还是从教学形式、教学方法上讲，都是对常规课堂教学的一种发展和补充，使数学教学更加开放和更加具有活

11、力。）变式3已知和为等腰三角形，绕点逆时针旋转，探究在不同位置时，图形有那些不变的量？图一 图二 图三生28：当和为等腰三角形时，如图二，结论有，=，=，=, ，生29：图三中仍然有，=，=，=, ，生30： 还有，：=：=：，师：回答的好！本节课我们探究了在和中，绕着点旋转不同位置时的不变量， 同时也对等边三角形、等腰三角形及任意三角形的情况做了分类探究，希望同学们体会旋转的重要性质，在今后的学习中加以运用。课下各小组运用本节课方法对和为任意三角形时旋转的问题，以及正方形的旋转问题进行探究，看看哪一个小组做得最出色！课后问题：1、如图，已知在和中，绕点逆时针旋转，探究在不同位置时，图形有那些

12、不变的量？（当和为任意三角形时，图形也由特殊回到了一般，原来的三角形全等问题转变为三角形相似的问题，原来的线段相等转变为线段成比例，结论也发生了变化。另外，让学生体会三角形全等是三角形相似的特例这一知识点，让学生感受到数学研究中的辨证思想。）2、如图，正方形和正方形，正方形绕点旋转，探究在各个位置时，图形有那些不变的量？反思：新教材的基本出发点是促进学生全面、持续、和谐的发展，其基本理念是突出体现普及性、基础性和发展性，关注学生的情感、态度、价值观和一般能力的培养，通过教授数学知识，使学生获得作为一个公民所必须的基本数学知识和技能，为学生的终身可持续发展打下良好的基础。新教材首先对我们的教育观

13、念提出了挑战，要求我们不再作为知识的权威，将预先组织好的知识体系传授给学生，而是充当指导者、合作者和助手的角色，与学生共同经历知识探究的过程。因此，要求我们要立足学生终身发展以及参与未来竞争的需要，切实转变教育思想，树立以育人为本的观念，适应时代发展和科技进步的要求，着力培养学生的创新精神和实践能力，促进学生的全面发展。一、设计思路1、本节课的设计理念是“以学生自主探究为主，以老师适当引导为辅”，基于“双基”的要求，力求让学生们跳一跳够得着。因此在教学设计中采取环环相扣，逐步深入的方法，考虑到充分发挥学生的主体作用，让学生自主思考，小组协作，老师在教学过程中作适当引导、小结，教学内容围绕旋转角

14、、旋转图形中的不变量进行探究，从边边相等发散到角角相等、面积相等；从等边三角形的情形发散到等腰三角形，再到任意三角形，最后回家作业探究正方形的变化规律。2、利用探究课这一形式，有利于数学思想的渗透，本节课涉及到如化归、类比、归纳、分类等数学思想，让学生感知这些思想对解决问题的作用，对提高学生数学学习的能力具有很大帮助。另外，在探究学习的过程中让学生提出问题、分析问题、解决问题，使他们真正参与到教学活动中，对于培养学生的数学学习能力会收到非常好的效果。同时兼顾培养学生的发散思维，为后续学习打下良好的基础。二、课后感受1、切实转变教学思想，丰富自身的知识内涵在常规教学活动中，我个人的观点认为教学思

15、想的转变是用好教材、提高教学质量的重要前提。只有教学观念与新教材基本理念相吻合，进而研究新教材和新的教学方法，从而逐渐过渡到熟练地驾驭新教材，才能变挑战为机遇，更好地使用新教材，使新教材充分发挥其作用。在实际教学中，开展探究性活动，既是对我的教学观念和教学能力的挑战，也是培养学生创新精神和实践能力的重要途径探究性活动无论从教学内容，还是从教学形式、教学方法上讲，都是对常规课堂教学的一种发展和补充，使日常教学活动更加开放和更加具有活力。要想达到这一目的，首先就要求精确把握教材的精髓，熟练驾驭教材，创造性地使用教材，能够善于利用、挖掘这些例题的功能，引导学生进行探究，培养学生解决实际问题的能力。其

16、次促进我学习先进教学理念，掌握现代教育技术的功能；同时需要不断提高自己课堂艺术和技巧，培养学生学习兴趣、激发学生求知欲等等。本节知识是有关图形的平移、翻折、旋转等运动形式中的旋转问题，是近年中考试题的一个热点问题，涉及到的知识、方法、思想较多，有探究性学习、化归的思想方法，以及三角形全等、三角形相似及等边三角形、等腰三角形、等腰直角三角形等相关知识。此外，除去课堂上所讲述的解题方法，有些问题还有其他方法。上述知识，要求我必须成竹在胸，这样才能更有利于教学。2、注重数学思想方法的培养，提高学生的解题能力初中数学教学中数学思想和方法占有重要地位。在常规教学活动中，我注重挖掘教材中的知识点和典型例题

17、中所蕴含的数学思想和方法，依靠数学思想指导数学思维，进而提高学生的解题能力。想做到这一点，我的感受是在数学教学中，乃至数学课外活动中探索选择适当的途径进行渗透。新教材也注重了知识的引入和生成过程的编写，因此我感觉应当改变那种害怕浪费课堂时间，片面追求提高学生方法运用能力的做法，可以结合教学内容，设计出利于学生参与认知的教学环节，把结论的形成过程、方法的探索过程、结论的推导过程等充分暴露在学生面前，让学生的学习过程成为自己探索和发现的过程，真正成为认知的主体，增强求知欲，从而提高学习能力。如化归的数学思想是解决问题的一种基本思路，以本节课应用的化归思想为例：最初阶段可让学生知道在一定条件下把未知

18、转化为已知，把新知识转化为已掌握的旧知识来解决的思想和方法；中间阶段，可根据化归思想的导向功能，鼓励学生按一定的模式去探索运用，到了后面已基本掌握了化归的思想和方法，并有了一定的运用基础和经验，可鼓励学生大胆开拓，创造运用。本节课中学生在引入后复习巩固所学相关知识及解决问题的基本方法，到变式1加以应用，进而进入到变式2的灵活运用自主探究。学生在自主探究过程中强化了化归的思想和方法。在具体教学实践中，我总是在问题出现时一再要求学生思考：“它象什么”？启发学生运用知识的迁移，依靠化归的数学思想来解决问题，收到了较好的效果。3、开发学生的探究潜能，培养学生的创新思维数学学习是再创造、再发现的过程，必

19、须要有主体的积极参与才能实现。新教材也将数学知识形成的基本过程和基本方法贯穿始终，这是培养数学思想和创造性思维的重要方式。在实际教学中，我也是围绕这一点，从学生的实际出发，结合教学内容，设计出有利于学生参与的教学环节，引导学生通过实践、思考、探索和交流，获得数学知识，发展数学思维，提高创新能力。本节课在引入中应用已有的图形特点让学生先画一画、猜一猜，先获得一个感性的猜想，再应用数学推理加以证明，整个教学过程都是在学生的尝试、猜想、论证中展开的，既自然又吸引了学生，而且学生在这个过程中收获了成功的喜悦，提高了学习数学的兴趣，为培养创新思维打下良好的基础。在这一过程中，多媒体适当的运用，展现几何图

20、形的动态变化，可以引发学生思维的连续展开，探究活动的深入思考，进一步开发了学生的创新潜能。学生通过自己探究获取的知识往往比教师传授给他的记得更牢，而且在这一类比探究的过程中学生会自觉或不自觉的发现各个不同位置之间内在的联系和区别，形成一个知识的脉络。由等边三角形到等腰三角形，再到任意三角形的情况做了分类探究。另外，在课外练习中让知识更加开放，由三角形问题引申到四边形，让学生有一个更全面的认识。在探究性活动的教学中，尽量充分发挥现代教育技术的功能，把抽象的问题利用媒体直观形象的展现给学生，帮助他们更好的理解问题老师用几何画板作出旋转变化，强化了学生对知识理解的完整性。此外，我感觉开展探究性的学习

21、有利于学生把握知识系统和建构知识网络，形成良好的认知结构。因此，在学习完一章或一门学科以后，我积极引导学生开展对本章、本学科的知识内容、系统结构进行归纳整理的探究活动，开展对数学题目的解题通法与规律的整理探究，对数学结论延伸与拓展的发散探究等。 对于实施探究性学习，我的感受是必须体现学生的主体地位，让学生亲自参与探索研究的全过程，给学生充分的活动空间和时间，这样才能达到活动的目的，使探究活动不流于形式本节课的大部分时间基本上交给学生开展探究活动，我仅仅体现在导的作用 ，真正把探究活动落到实处。4、有效发挥教师的情感作用，激发学生的学习热情在我们正常的课堂教学中，常有学生对学习数学不感兴趣，而导致教学效果欠佳。我个人的观点认为主要是老师在课堂教学中，偏重于语言信息与行为信息的传递，忽视了情感信息这个要素在课堂教学信息系统