全部计数原理

1、选 2-3第一章 计数原理标准内容：分类加法计数原理、分步乘法计数原理、排列、组合、二项式定理 通过计数原理的教学，使学生掌握两个基本计数原理、排列、组合、二项式定理及其应用，会解决简单的计数问题；体验计数与现实生活的联系，充分体会两个基本计数原理在解决实际问题时的工具作用。标准要求：（1） 分类加法计数原理、分步乘法计数原理通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题。（2） 排列与组合通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题。（3） 二项式定理能

2、用计数原理证明二项式定理；会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。教学建议：关于计数原理的教学，应注意以下问题：1 教学中，应通过实例，引导学生总结出分类加法计数原理和分步乘法计数原理，理解排列、组合的概念。2 教学中，引导学生根据计数原理分析、处理问题，而不应机械地套用公式。同时，应避免繁琐的、技巧性过高的计数原理。3 在二项式定理的教学中，可以介绍我国古代数学成就“杨辉三角”，以丰富学生对数学文化价值的认识。内容解析：（1） 分类加法计数原理、分步乘法计数原理A级水平参考案例：案例1. 高一级某班有男生19人，女生23人。（1） 若要从中任选一人参加学生代表大会，有多少种不同的选法？

3、（2） 若要选一名男生和一名女生参加，有多少种不同的选法？案例解析：（1） 要从全班当中任选一人参加，可以从男生中选一人，有19种选法，或者也可以从女生中选一人，有23种选法，因此共有19+23=42种不同的选法。（2） 若要选一名男生和一名女生参加，可以先从男生中选一人，有19种，然后再从女生中选一人，有23种选法，因此共有1923=437种选法。标准要求能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题，这就要求学生弄清两个原理的联系与区别。分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是研究完成一件事，共有多少种方法，它们的区别在于完成的方式不同：分类加法计数原理是

4、“分类”完成，任何一类办法中的任何一种方法都能独立完成这件事；分步乘法计数原理是“分步”完成，各个步骤相互依存，每个步骤都完成了，才能完成这件事。B级水平参考案例：案例2.某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）现在栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_种（以数字作答）案例解析：第1部分与其它部分都相邻，因此第一步先种第1部分有四种不同种法；第二步，把其余5部分分成3组，有2、35、46，3、25、46，24、36、5，24、35、6，25、36、4共5类分法，每一类有种不同的种法，根据分类加法计数原理共有+=种不同种植方法。.这道

5、题主要考查分类加法计数原理与分步乘法计数原理的运用以及分析解决问题的能力。要注意分步与分类不是绝对的，有时“类”中有“步”，有时“步”中有“类”，要结合具体问题认真体会思考。（2） 排列与组合A级水平参考案例：案例3. 3位老师与4位学生站成一排合影留念（1）共有多少种不同的排队方法？（2）若同学甲不能站在两端，有多少种不同的排队方法？（3）若同学甲不站左端，同学乙不站右端，有多少种不同的排队方法？（4）若3位老师站在正中间，有多少种不同的排队方法？（5）若3位老师都不相邻，有多少种不同的排队方法？案例解析：这类排队问题，可看成7个元素占据7个位置，即只要把7个元素依次排入7个位置，就是完成了

6、一件事，其中位置： 元素：甲、乙、丙（1）7个人站成一排，与顺序有关，可认为是分步完成的，即共有=5040种不同的排列方法；（2）同学甲不站两端，从元素的观点来看，同学甲是特殊元素；从位置的观点来看，第1位和第7位是特殊位置。按照特殊优先的原则及逆向思维，有下面的解法1、解法2和解法3。解法1 从有限条件的特殊位置入手（即位置分析法），分步完成。第一步，先排第1位和第7位，从除甲以外的其余6个人中任选2人排人，有种排法；第二步，再把余下的5人排入中间的五个位置，有种排法。根据分步乘法计数原理，共有=3600种不同的方法。解法2 从有限条件的特殊元素入手（即元素分析法），分步完成。第一步，先排甲

7、，甲只能站除第1位和第7位之外的其余5个位置，有5种排法；第二步，再把余下的6人排人剩下的6个位置，有种排法。根据分步乘法计数原理，共有5=3600种不同的方法。解法3 还可以用逆向思考的方法（排除法）。7个人站成一排，共有种不同的排列，甲站在左端或右端的方法种数为2，所以共有-2=3600种不同的方法。 以上三种方法也是解决排列的问题的最主要的方法，代表了两种基本的思路：正向思考与逆向思考。正向思考时，一般用分步或分类的思想将较复杂的问题进行分解，如上述解法1和解法2；逆向思考时，用集合的观点看，就是从问题所涉及的集合在全集中的补集入手，体现正难则反的策略。（3） 同学甲不站左端，乙不站右端

8、，这也是有限制条件的排列问题，并且两个位置的限制有交叉的部分。解法1 利用分类的思想，采用位置分析法：按先排第一个位置可划分为两类，即第一位排乙同学，有种方法；或第1位排除甲、乙外的其余5人，有种方法。故共有+=3720种不同的方法；解法2 还可以用排除法：（4）3位老师站在正中间，有种不同的排法；（5）3位老师都不相邻，可以用插空法，分两步完成；第一步，先排4位同学，有种方法；第二步，再把3位老师排入4位同学形成的包括两端的5个空位中，有种方法。由分布乘法计数原理，共有种不同的排法。标准是将排列、组合作为计数原理的一个应用实例，要求学生在推导排列数公式、组合数公式过程中进一步理解计数原理的思

9、想；用排列数公式和组合数公式解决实际问题时，也不要只是片面的将问题归纳为排列、组合两类，而是引导学生学会用计数原理来分析问题。本例除了第（1）个问，都是有限制条件的排列问题，按元素的性质分类，按事件发生的连续过程分步，是处理问题的基本思想。B级水平参考案例：案例4. 5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有一名老队员,且1、2号中至少有1名新队员的排法有_种.(以数作答) 案例解析：本题考查了有限制条件的排列组合问题以及分类讨论思想.（1）两老一新时, 有种排法;（2）两新一老时, 有种排法,即共有48种排法. 标准通

10、过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题。学生要注意把具体问题转化或化归为排列或组合问题；通过分析确定运用分类加法计数原理还是分步乘法计数原理；避免“选取”时重复和遗漏；对于较难的问题可以用间接法或分类讨论的思想划分成比较简单的情形来解决。（4） 二项式定理A级水平参考案例：案例5.在的展开式中，的幂的指数是整数的项共有A3项 B4项 C5项 D6项案例解析：该题考查了二项式定理知识，对于二项式来讲，通项公式为，幂的指数若是整数的话，当且仅当能被6整除，的取值集合为，其中6的倍数为0，6，12，18，24，故选C 标准要求会用二项式定理解决

11、与二项展开式有关的简单问题。二项式定理揭示了二项式的正整数次幂的展开法则，也是进一步研究概率中二项分布的知识准备，学习二项式定理还可以深化对组合数的认识。本例是利用二项展开式的通项研究展开式的特定项，一般都是先写出通项再按题意列出关于的方程来解决，学生还要注意系数与二项式系数的区别。B级水平参考案例：案例6. 在（x）2006 的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x时，S等于（ ）A.23008 B.-23008 C.23009 D.-23009案例解析：设（x）2006a0x2006a1x2005a2005xa2006则当x时，有a0（）2006a1（）2005a2005（）a200

12、60 （1）当x时，有a0（）2006a1（）2005a2005（）a200623009 （2）（1）（2）有a1（）2005a2005（）23009¸223008，故选B 本例考查了二项式定理的灵活应用，培养了学生分析、归纳、发现事物内在规律的能力及严密的逻辑思维能力。二项式定理可以解决许多问题：如证明一些简单的组合等式；近似计算、整除问题、及余数问题；由于二项展开式是恒等式，还可利用“附值法”解决关于二项式系数的系数和的问题。选修 1-2第一章 统计案例标准内容：独立性实验、回归分析 通过统计案例的教学，使学生巩固必修课程的统计基础知识，了解解决特殊问题的统计过程及一些常用的统计

13、方法；能够使用常用的统计方法解决一些特殊的统计问题；进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想，认识统计方法在决策中的作用。标准要求：通过典型案例，学习下列一些常见的统计方法，并能初步应用这些方法解决一些实际问题。通过对典型案例（如“肺癌与吸烟有关吗？”等）的探究，了解独立性检验（只要求列联表）的基本思想、方法及初步应用。通过对典型案例（如“人的体重与身高的关系”等）的探究，进一步了解回归的基本思想、方法和初步应用。教学建议：关于统计案例的教学，应注意以下问题：1统计案例的教学中，应鼓励学生经历较为系统的数据处理的全过程，培养他们对数据的直观感觉，认识统计方法的特点（如统计推断可能犯错误、估

14、计结果有随机性等），体会统计方法应用的广泛性。应尽量给学生提供一定的实践活动机会，可结合数学建模的活动，选择一些案例，引导学生亲自实践。统计案例的教学重点是使学生感受统计分析的思想，了解统计学对社会生活和科学研究的重要性。（只要求学生了解独立性检验和回归分析两种统计方法的基本思想及其初步应用，对于其理论依据不作要求，避免学生单纯记忆和机械套用公式进行计算。）2在列联表独立性检验的教学中，教师应指导学生关心如何选用一个量，用它的大小来说明独立性是否成立，从直观上关注其方法的合理性，至于最后选取的量及其大小的界定超出了高中的范围，可以只告诉其结果，使之能够操作即可。3线性回归分析是在数学3（必修）

15、的基础上，进一步认识线性回归的方法及其可靠性。教学中要引导学生通过实例，从感性到理性逐层深入地对线性相关程度进行检验的统计量（相关系数），从而建立线性回归分析的基本算法步骤。对为什么相关系数可以估计相关的程度只要求从直观上加以感受，不必介绍理论依据。4教学中，应鼓励学生使用计算器（机）等信息技术手段来处理数据，有条件的学校还可以运用一些常见的统计软件解决实际问题。可以安排以抽样方法为主要内容的实习作业，培养学生解决实际问题的能力。内容解析：A级水平参考案例：案例5. 在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人。女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主

16、要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动。（1）根据以上数据建立一个2×2的列联表；（2）判断性别与休闲方式是否有关系。案例解析：（1）2×2的列联表 性别 休闲方式看电视运动总计女432770男213354总计6460124（2）假设“休闲方式与性别无关” 计算 因为，所以有理由认为假设“休闲方式与性别无关”是不合理的， 即有97.5%的把握认为“休闲方式与性别有关” 标准要求通过对典型案例的探究，了解独立性检验（只要求列联表）的基本思想、方法及初步应用。本章是在必修3学习统计的基础上，通过对典型案例的讨论，了解回归分析的基

17、本思想和独立性检验的基本思想，使用一些常用的统计方法，进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想，认识统计方法在决策中的作用。B级水平参考案例：案例6. 某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：性别 专业非统计专业统计专业男1310女720为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到因，所以判定主修统计专业与性别有关系，则这种判断出错的可能性为 案例解析： 5% 本章教学内容的特点是通过一个个实际案例，让学生经过探究逐步理解独立实验与回归分析这种统计方法的基本思想、方法及及应用，并逐步体会到这些统计方法在解决实际问题中的思想和方法。本例结合实

18、际，考查了如何用来判断A，B的独立性。模块 2-3第三章 统计案例标准内容：独立性实验、回归分析通过统计案例的教学，使学生巩固必修课程的统计基础知识，了解解决特殊问题的统计过程及一些常用的统计方法；能够使用常用的统计方法解决一些特殊的统计问题；进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想，认识统计方法在决策中的作用。标准要求：通过典型案例，学习下列一些常见的统计方法，并能初步应用这些方法解决一些实际问题。通过对典型案例（如“肺癌与吸烟有关吗？”等）的探究，了解独立性检验（只要求列联表）的基本思想、方法及初步应用。通过对典型案例（如“人的体重与身高的关系”等）的探究，进一步了解回归的基本思想、方

19、法和初步应用。教学建议：关于统计案例的教学，应注意以下问题：1统计案例的教学中，应鼓励学生经历较为系统的数据处理的全过程，培养他们对数据的直观感觉，认识统计方法的特点（如统计推断可能犯错误、估计结果有随机性等），体会统计方法应用的广泛性。应尽量给学生提供一定的实践活动机会，可结合数学建模的活动，选择一些案例，引导学生亲自实践。统计案例的教学重点是使学生感受统计分析的思想，了解统计学对社会生活和科学研究的重要性。（只要求学生了解独立性检验和回归分析两种统计方法的基本思想及其初步应用，对于其理论依据不作要求，避免学生单纯记忆和机械套用公式进行计算。）2在列联表独立性检验的教学中，教师应指导学生关心

20、如何选用一个量，用它的大小来说明独立性是否成立，从直观上关注其方法的合理性，至于最后选取的量及其大小的界定超出了高中的范围，可以只告诉其结果，使之能够操作即可。3线性回归分析是在数学3（必修）的基础上，进一步认识线性回归的方法及其可靠性。教学中要引导学生通过实例，从感性到理性逐层深入地对线性相关程度进行检验的统计量（相关系数），从而建立线性回归分析的基本算法步骤。对为什么相关系数可以估计相关的程度只要求从直观上加以感受，不必介绍理论依据。4教学中，应鼓励学生使用计算器（机）等信息技术手段来处理数据，有条件的学校还可以运用一些常见的统计软件解决实际问题。可以安排以抽样方法为主要内容的实习作业，培养学生解决实际问题的能力。内容解析：A级水平参考案例：案例5. 某地区羊患某种病的概率是0.4，且每只羊患病与否是彼此独立的。今研制一种新的预防药，任选5只羊做实验，结果这5只羊服用此药后均未患病。问此药是否有效。初看起来，会认为这药一定有效，因为服药的羊均未患病。但细想一下，会有问题，因为大部分羊不服药也不会患病，患病的羊只占0.4左右。这5只羊都未患病，未必是药的作用。分析这问题的一个自然想法是：若药无效，随机抽取5只羊都不患病的可能性大不大。若这件事发生的概率很小，几乎不会发生，那么现在我们