裴光亚评课完全版

1、评课者的情怀裴 光 亚 （武汉市教科院）评课，需要什么？需要理论修养，教学经验，批判精神，表达艺术。没有理论，就没有标准；没有经验，无以体会执教者的心路；没有批判精神，就不可能把作为客体的课和作为主体的执教者引向深刻；没有表达的艺术，我们就不能让人理解以至心悦诚服。理论修养，教学经验，批判精神，表达艺术，都是我们所需要的，但不是最重要的。最重要的是什么呢？是一种情怀，这种情怀，就是对执教者的理解，以及与执教者一起对课的共同追求，在这种追求中所表现的宽容和扶持，大爱无痕。1.一个故事上世纪末，某中学举行研究课，主题是“在教学中如何渗透数学思想方法”。执教者很年轻，曾发表过多篇文章，讲的课题是按教

2、学进度确定的。他立足于把这个课题中的思想方法提炼出来，并呈现给学生。这是一个尝试。课后由一位担任某种教研职务的先生点评。这位点评者在抽象的肯定之后，话锋一转，以无可辩驳之势，历数了一串问题。比如：从本课挖掘出来的这些方法是否恰当？数学思想方法是自然渗透，还是如此这般作为概念来教？同时特别强调：一个重视数学思想方法的课绝对不会给所教的内容贴上思想方法的标签。当时，在座的大概有50多位来自所在区内外的同行，致使学校领导都有些尴尬。以后，我也偶尔看到执教者发表的文章，随后他的身影就从人们的视野中消失了。时至今日，一想起这件事，我就感到非常难过。我很后悔：当时，我为什么没有走上台去，为这位年轻的教师辩

3、护？我也同意，数学思想方法应该自然渗透，但我们为什么不容许青年教师尝试一下：作为“概念”来教？我也同意，给学习内容贴上思想方法的标签不妥，但我们为什么不能首先肯定一位教师从教学内容中挖掘思想方法的努力？我也同意，从课本中确立的数学思想方法是否恰当可以商榷，但恰当的标准是什么？难道探索的精神不比“恰当与否”判断更加珍贵？除了“不恰当”之外，难道就没有恰当，我们为什么不从肯定“恰当”出发？还有，一个研究课，难道不应该容许在所谓“恰当”之前存在种种的“不恰当”吗？可惜，这些诘问，都成了事后诸葛亮。高中数学课程标准颁布后，当我们看到“常用逻辑用语”、“推理与证明”等课题，再来反思这节课时，该说些什么呢

4、？这些内容原来都分散并渗透在其它章节中，现在除了分散渗透之外，居然独立成章了。如此看来，所谓“把思想方法当概念来教，贴标签的”的非议，是不是应该重新审视一下呢？我们也许可以重新审视，但我们有机会让十几年前的执教者听到这种审视的声音吗？我们该如何为这桩“历史的错案”平反。这事件，给我的启示是：每一位要求或者接受我点评的执教者，都是值得我尊重的。没有不存在美的教学，只有没有发现美的点评；没有不使点评者受益的执教者，只有感悟能力不够而吸纳机制迟钝的点评者。一位教研工作者研究的热情、思考的问题、智慧与成果，都是靠教师的课滋养的。在课面前，我们永远是学生。这是评课者应该具备的基本态度。评课的前提是理解，

5、首先要致力于读懂执教者，洞析他在教学设计中的种种努力，并力求总结出规律性的东西。这些规律性的东西，包括执教者有意和无意的探索；意识到和没有意识到理念；研究过和没有研究过的环节。从理解出发，这是评课的基本前提。而理解，不仅包括理解执教者的意图，还包括理解执教者的需求。什么叫理解需求呢？我们用下面的观点来回答。评课的境界不是试图改变执教者，而是顺应他，努力发现他的亮点，并提升他。塑造执教者的风格，是评课的最高境界。评课当然要指出问题，指出问题是为了使作为客体的课和作为主体的执教者更加完善，发现问题的目的是为了解决问题，因此评课应该是建设性的。当我们指出问题而又无法提出建设性意见时，应该理解为：这不

6、是执教者的失缺，而是教学本身的难点，由此把它作为教研课题提出来。也就是说，立足点不在批评执教者，而在于关注我们共同的教研话题。上述大致可以作为对所提问题的回答。执教者需要建设性的意见；执教者希望通过课的展示来提升自己；执教者大概不希望“两点论”成为责难的利器，而希望指向研究方向，即变责难为课题；执教者需要尊重、认可和自我实现。评课的基本目标是：满足执教者的这些需求。把满足执教者需求作为评课的基本目标，体现的就是“以人为本”的基本理念。评课者要注意检讨自身的局限性。上述故事中关于“贴标签”的非议，在一定程度上反映了认识的局限性。不是说“贴标签”的非议没有道理，但真理向前跨进一步，就可能走向谬误。

7、对课的看法，我们曾经有过多少局限。曾几何时，我们对“不能如期执行教案”是那样的不能容忍，而认识到“预设与动态生成”的关系，不就是第八次课程改革以来的事吗？我们一直强调“在学好概念的基础上掌握数学的规律”，现在有一些提法，“不追求（严格的）形式化定义”，“不追求对概念的抽象表述”，我们在对概念的处理上难道就没有差异？还有，现在的很多理念，难道就没有时代的局限性？当我们认识到自己的局限性时，懂得理解他人，敬畏真理，评课的境界也就升华了。2.案例一：不被某些“专家”容忍的气氛人们经常否定这样的场面：老师提问，学生齐答。对此，我们当然可以置疑：是要表面的活跃，还是要独立思考？是讲究热闹，还是脚踏实地？

8、其实，这样置疑本身就有问题，因为他把两者对立起来，诱使人们否定前者而肯定后者。难道活跃就不能独立思考，热闹就不能脚踏实地？其实，我们应该关心的不是这种场面的对否，而是它产生的背景，它在何时何种情况下产生？比如，对于初中学生，为了振奋精神、激扬活力，我们需要营造这样的场面；为了形成某种竞争态势，我们需要这样的场面；为了引起学生的思考、实现师生的理性对话，我们常常也需要这样的场面；为了把握整体对基本问题的熟练及其灵活反应，我们似乎也需要这样的场面；甚至，不为什么，仅仅为了打破“万马齐喑”的局面，我们也需要这样的场面。当然，这种场面也有很多弊端，比如，它容易流于形式，止于浅薄，导致浮躁。注意，我们说

9、的只是容易，并非必然。由此看来，一味赞赏和一概否定，都是不妥的。那么面对一个具体的场面，我们应该怎么做呢？我们首先应该从背景上寻找它的合理性，即便是合理性不成立，也比一个沉闷的课堂要好。他为课堂的活跃启用了一种“仪式”，教学是要一些仪式的。在此基础上，我们再来研究，这种场面应该用于何处，应该注意什么。在这个评点的过程中，评课者并没有否定执教者，但执教者会反思自己，最终心悦诚服地否定自己，并在否定自己的过程中提升自己。3.案例二：对“偏离主题”的同情有一个课题叫做“探索勾股定理”。一位教师是这样讲的，分两条线展开。一条线是：关于勾股定理的传说，从三千多年前赵爽的“弦图”，到2002年世界数学家大

10、会的会标，以至人们希望与太空对话“语言”设想。另一条线是：关于它的证明，从引导学生拼图开始到赵爽、刘徽，到毕达哥拉斯，到美国第二十任总统伽菲尔德等，重在介绍他们的证法。但如何体现“探索”二字？似乎没有。本课题不是“勾股定理”，而是“探索勾股定理”，关键是“探索”。那么对这样一节“偏离主题”的课该如何点评呢？请看下面：“这节课的课题是：探索勾股定理。如何探索？特别是如何引导初中生探索？这样的路径，执教者没有找到。我和我的同行们都没有找到。当我们探寻那种所谓理想路径而不果的时候，执教者另辟溪径，设计了这样的方案。那就是，讲勾股定理的起源，意义，千百年来数学家、普通百姓以至国家元首那经久不衰的热情，

11、甚至讲人类试图与太空对话的设想和传说。这些，都给了学生极大的震撼。面对这些，谁还会无动于衷，不去主动的探索它？教师就这样激起了学生主动探索的愿望，还有什么比这更重要呢？“为了讲这节，教师收集了很多课程资源，这是难能可贵的。但在这种种资源中，我们还没有发现通过一节课来探索勾股定理的线索，可见，这仍然是一个值得我们不懈努力的课题。难怪一位学者要说：你想考验一位数学教师吗？那就请他讲勾股定理。”你看，这样的评述，并没有回避问题。其特点是，表达了对执教者的同情，那种没有找到“探索”路径的焦虑，以及对不得已而选择的认同。点评没有对执教者说三道四，难道执教者从中不能体会缺失“探索”要素的不足吗？整个点评充

12、满了对执教者的激励和对理想课例的期盼。诚然，进一步，我们还可以提出一些设想。比如下面的思考：设置情境，让学生感受已知直角三角形两边求一边的必要性；（现实的需要）讨论已知直角三角形两边能否求出第三边；（根据直角珠三角形全等的条件知，理论上可行）由,确定目标，希望得到关于直角三角形三边的一个公式。以下探究这个公式：研究特殊情形，如画出直角边为3、4；5、12；1,1等的直角三角形，测量出斜边。根据所得结果，猜测三边间的关系；（由于情况太特殊，公式的可性度不高，需要进一步检验）研究一般情况。画出任一个直角三角形，测量并计算，检验猜想是否成立；（有了一定的可性度，但仍不能作为定理，故需要证明）关于证明

13、的探索。如何证明？注意，即两边的平方和等于第三边的平方。它的几何意义是，两个正方形的面积和等于第三个正方形的面积。它启示我们，可以以三边为边作三个正方形来证明。这个过程可概括为：从必要性出发，思考理论上的可行性，明确研究方向，通过由特殊到一般的实践活动得到猜想，进而证明这个猜想。证明思路由考察式子的几何意义，通过合情推理得到。在这个框架下，能否实现“探索”的路径？是不是顺其自然的就可以得到我们想要的东西？恐怕还是一个问题，但我们毕竟让学生体验了，尽管这个体验不太真实，但毕竟在某种程度上模拟了人们探索事物的历程。“探索路径”，仍然是一个问题。4案例三：先倾听，再为执教者辩护2001年11月19日

14、，我们对全国的展示课进行讨论。这节课的执教者是武汉二中的王兴老师，课题是轴对称。课本中安排了一个剪纸活动，其作用是为了导出概念。而执教者呢，却把这个活动安排在了概念之后。对此，专家们很不满意，要求修改。再过一天就要展示了。这个时候修改，对执教者来说，是一件非常为难的事。怎么办？先听执教者的声音。为什么“篡改”教材的运行结构呢？在执教者看来，这样做可以提高思维的难度，只有达到一定的难度时，课才会精彩。这反映了一般公开课执教者的心态，但它给了我启发。教材设计是为了降低“难度”，而执教者呢，试图找回这个“难度”，这个“难度”不恰好与想象力有关吗？于是形成了这样的见解：我们是不是可以通过这节课，向全国

15、的代表们表达一种理念。操作安排在概念之前，实际上是对概念的某种暗示，有利于概念的生成。现在，在这个环节不操作了，暗示被取消了，如何生成概念？这就需要观察和想象，观察图形的结构，想象通过折叠可以重合。我们知道，只有需要想象的地方才可以培养想象力。这里有两种方案：一种方案是有利于概念的生成，另一种方案是有利于想象力的培养。谁更重要呢？就这样，执教者的方案得以维护。在得到专家们的认可后，转向对执教者的激励。强调，这就是亮点，但要培植亮点。有怎样的亮点呢？概念前不操作了，需要引导学生观察和想象。这是一个亮点。操作放到了概念之后，它的作用是什么呢？更深刻的理解概念。于是，在理解概念的环节上就有了三条途径

16、：用实例来印证；用操作来体悟；用作业来深化。这又比课本多了一个途径。可谓一举两得。在概念前不操作了，还有一个附加值，就是，为我们把现象抽象为图形，提供了支撑。因为从形式化的角度讲，推理和计算才算数学，剪纸不是数学。我们一定要通过这节课，展现我们在培养想象力、在尽可能形式化、在多角度帮助学生理解概念中所作的努力。这样的评课，立足于尊重教师，维护教师的基本设想，作用是提升了教师的境界，创设了新的教学方案。当我们评课而存在疑惑时，应先做倾听者，再做思考者。一堂课，它的表象可以平凡，而平凡的背后如果有非凡的理由支持，同样可以给人以震撼。评课，很多时候需要从平凡中挖掘不凡。5.案例四：捕捉闪光点“三角形

17、的边”。在得到结论“三角形两边的和大于第三边”后，通常都是这样设计的：给出几组数据，每组三个数，要学生判断：“以此为长度的三条线段能否组成三角形？为什么？”华师一附中杨光华老师的设计有点不同，是：“下列长度的三条线段能否组成三角形？若能，请你把这个三角形画出来；若不能，请说明理由。”这一设计，看似平淡，却大有深意。为什么呢？因为从数学的逻辑来讲，由三角形三边关系定理只能断定某三条线段不能构成三角形，而不能断定某三条线段一定构成三角形。也就是说，这个定理只能作为否定的依据，不能作为肯定的依据。这一点却被很多人甚至教材的编写者忽略了。这个设计的高明之处在于，他坚持了一种正确的主张，又避免了抽象的说

18、理；它在逻辑上是严密的，而又润物无声。评课，就是要善于捕捉课的闪光点。可以闪光的部分，有的张扬，有的则含蓄。捕捉含蓄的部分，更需要智慧，也更有启发意义。“反比例函数的意义”。一般的思路是：从大量具有反比例关系的实例出发，抽象出统一的式子，由此定义反比例函数，接着是关于待定系数法与这个形式定义的练习。但有一位老师在得到反比例函数的定义之后，却提出了这样的问题：反比例函数只有一个参数，在现实问题中，当我们已知两个变量具有反比例关系时，我们如何得到所需的函数？在另外的问题中，当我们不能确认两个变量是否具有反比例关系时，我们如何做呢？不难认为，这也是一个亮点。因为在抽象的具体中，一般人甚至我们的教材，

19、只是限于在一般形式下求参数，而这位老师却始终把反比例函数作为描述现实世界的模型来理解；一般人只是想到在已知两个变量具有反比例关系时，运用反比例函数，而这位老师则试图告诉学生，在未知的世界时，我们也可以用反比例函数以及其它函数去模拟。这就从根本上把握了我们学习函数的价值。上述两个例子告诉我们，闪光点如何捕捉呢？可以从实际教学与课本的差异中去发现，从这节课与他人甚至评课者自己教学设计的不同中去发现。差异产生美，这也许是我们评课应该掌握的美学原则。6.案例五：如何点评？看一个课例。一位老师讲“公式法解一元二次方程”。先是提供一组具体的一元二次方程让学生解，然后改变这组方程的系数让学生解，继而用字母代

20、替系数让学生解。引导学生对解题思路、结果的可能性进行反思。最后告诉学生：这就是我们所要的公式，以后解一元二次方程，可以直接应用这个结果。我们怎么来看这节课呢？首先，这节课是可行的。因为它的前位课题是“配方法解一元二次方程”，这就为学生自主探索提供了条件。其次，这节课始终让学生活动。老师的任务，就是认定学生的成果，指出成果的意义和作用。这就从宏观上描述了这节课，并为它的可行性申述了理由。接着，从宏观到微观。考察教师提给供学生解答的一元二次方程的特征。比如，这组方程包括多种情况：有两不同解、两相同解和无解。进而分析：为什么要提供三种情况的方程？为什么要改变系数后让学生再解？为什么不直指课题而是从具

21、体系数到字母？学生解题的过程就是前面已经学过的配方法，为什么还要对解题思路进行总结？由总结衍生出的结论诸如解答的可能结果、结果产生的原因有何价值？让学生经历从“配方法”到“公式法”的过程有何意义？正是发现这些具体的问题而思考它们存在的理由，而把评课指向深刻。进一步思考：学生在原有知识的基础上获得了成果，这是顺其自然的。但在目标实现之前，学生可能并不知道它们在干什么，没有对结果的预期，这多少有点遗憾。我们如何避免这种遗憾呢？这就提出了所谓的不足。本例给出了评课的一般方法：先要对课的结构进行整体把握，或者叫做对基本构架的描述。从整体到细节，看细节是如何为整体服务的。评课，就是要为整体申述理由，也为

22、细节申述理由。7.案例六：再看如何点评？2009年，湖北省教育学会组织优秀课会展。有6节课，我们来看这6节课是如何点评的。点评的基本思路是：对教学内容进行概述，揭示教学所面临的问题，说明执教者是如何应对这些问题的。也即点评由两部分构成：一、谈教材，对教材的认识，也就是面对这节课，我们需要思考怎样的问题。二、谈执教者的作为，即展示执教者是如何应对这些问题的，给了我们怎样的启示。如下是分别对6节课的点评：（以下教材内容均选自人教版）荆州,孙权昌；七年级,实验与探究：无限循环小数化分数这是一个具有理性价值的课题。在小学，学生会将小数化为分数,但在把分数化为小数时,却出现了无限循环的情况.于是留下了一

23、个问题:能不能把无限小数写成分数?把无限小数转化为分数,课本是通过方程来解的,但它与在应用问题中找等量关系又迥然不同，于是它成为一个技巧。在小学留下的困惑，构成了当下的问题情境。在这样的问题情境下，我们希望获得这样的技巧。但教学的关键，绝不只是介绍这个技巧，而是思考，如何让这个技巧来得自然些。因此，这节课的教学，面对两个问题：（1）如何把学生曾经的困惑强化为不解之谜，从而成为问题情境；（2）如何让技巧的发生顺其自然，来自学生思维活动中。我们来看孙老师的做法。为了回应第（1）个问题，他运用了这样的过程：从自然与艺术的周期律到我们关注的焦点：循环小数。并由此展示“百家论坛”中的论辩题：以9为循环节

24、的小数是约等于1，还是等于1.这个问题的特点是：出自百家论坛，具有吸引力。同时又能直达主题。因为要判断这个论题，需要化无限为有限，让循环小数成为分数。再看第（2）个问题：如何化循环小数为分数？教者设计了两条途径：一是超越课本，提出独特的思路；二是依据课本，给出深刻的诠释。所谓独特的思路就是 ：学生不是会化分数为小数吗？好了，让我们从分数化小数的逆过程中去探寻规律，从竖式除法中去感悟方法。所谓深刻的诠释，就是：课本给出一种方法，列方程求解。找等量关系的基本思路是什么呢？正如教者所言，就是将无限循环部分消去。这是非常朴素而又重要的思想，因为有了这样的思想，才能使技巧的理解变为自然。这就是孙老师给我

25、们启示：我们需要创造性的思路，也需要创造性的解释。而创造性的思路又是那样的朴素，创造性的解释又是那样的简明。如果我们在孙老师的基础上引伸一下，就会发现更有趣味：你看，方法1说：对，设分子是，分母是，则。现在我们将它两边除以，就得到关于的式子，是什么，不就是我们所要求的那个分数吗？不就是课本方法中那个未知的吗？原来，由孙老师的独特思路到课本的方程解法，还有这样一条捷径。进一步，我们作点高端思考：根据循环节中的倍数，将循环小数乘以10，100等等，意味着将小数点向右移动了一个循环节。为什么移动了一个循环节后，小数点后的值大小不变呢？这种现象在有限的情形中是绝对不会发生的，这就是无限的本质。也是我们

26、留给学生的更高层次的困惑。站在思维的高处，孙老师的工作也是值得我们借鉴的：介绍一下庄子的“一尺之捶”，用已知的方法计算一下“日取其半”之和，在“万世不竭”的想象中感受一下无限。孙老师的立意在什么地方呢？面临的问题涉及到无限，而无限又是学生当前的理解力不能抵达的。在这样的情况下，我们如何引领学生仰望天空。孝感,黄友兰；七年级，解一元一次方程/合并同类项这是一个有关算法的课题。解决一元一次方程有三项算法，合并同类项、移项、将系数化为1.后两条的依据是等式性质，前者依据整式加法法则。在方程中，出现了同类项，自然想到合并。从知识来讲，它是很简单的。那么，我们如何作为？把一堂简单的课上得生动，其实是很难

27、的。黄老师做了什么呢？我想把它概括为：开课运用两个情境；活动扣住三个问题；落实注重四个环节。开课运用两个情境，一个是神州7号中宇航服的重量，二是卡片问题。设计的意图在什么地方呢？前者庄严，后者游戏，以不同的特质触及学生的心灵，聚焦到同一个主题；前者只须化系数为1，后者还需要合并同类项，面对后者时需要转化为前者，本课的基本思路就这样隐藏在它们的联系中。这就是情境的作用：触及学生的性灵，蕴含本课的主旨。活动扣住三个问题。哪三个问题呢？就是我们要做什么，这样做的依据是什么，基本过程是什么。我们要做什么，目标非常明确，把方程转化为；依据是什么，系数化为1的依据，合并同类项的依据，都在师生反复申诉；基本

28、过程呢？运用了框图。目标、依据、过程，反映了一堂数学课的逻辑结构和理性精神。落实注重四个环节。包括对法则及其依据的识记；辨析性问题；基本练习及规律总结，适当的延展，即关于奥运奖牌问题中如何设置未知数，等。黄老师给我们的启示是什么呢？当内容很简单时，我们该做点什么？不是怠慢它，而是把它看成一次机会，揭示数学思想，发展数学能力的机会。同时，它也是尝试可以“不教”的机会。甚至是试图让某些学困生重新振作的机会。我们从师生的对话中可以感受到这一点。接着，说点题外的话。因为现实中的数量关系，我们需要方程，因为解方程，我们需要合并同类项。我们在整式加法中就学过合并同类项，现在因为解方程而用到它。这意味着什么

29、呢？意味着我们可以而且有必要重新审视合并同类项的意义。这就是螺旋上升的价值。襄樊,李捷；八年级,一次函数与一元一次方程这是一个具有核心价值的课题。函数思想是贯穿中学数学课程的一根主线，这里提供了一个案例，用函数观点来审视一元一次方程。我们在已知函数求自变量的值，或者作图象描横轴上的点时，必然要用到一元一次方程。但在解一元一次方程时，我们却感觉不到函数的必要。这就是本节课给们提出的问题。（1）在看不出必要的地方揭示出必要性；（2）体会图象的作用，是因为图象，给了方程一种直观意义。第二个问题好解决，由代表函数提示一般规律，用一般规律来解决具体问题。在这种双向活动中，始终抓住一个中心，图象。难在第一

30、个问题。在看不出必要的地方揭示出必要性。李捷是如何突破这一难点的呢？我们知道，面对方程，当我们没有办法解它时，才需要函数。对初一的学生，显然不存在不可解的方程，也就不存在我们理想中的那种情境。李老师深知这一点，怎么办呢？那就从数学所描述的对象，也就是从现实世界中去寻找情境。这个情境是什么呢？拖拉机油箱问题。有三问，一是余油量与时间的函数关系，二是画这个函数的图象，三是求一箱油可工作的时间。它妙在什么地方呢？妙就妙在给本课的核心句子“函数值为0时求自变量的值”找到了一个现实的模型。如果说课本引言中的两个问题（方程的解；自变量为何值时，函数值为0）是人为制作的，课本中的例题（速度问题）不过是造境的

31、话，油箱问题却是真实生活的写照。超越课本中的无境、造境到写境，从而展示主题的必要性。这无疑是本课的亮点。令人欣喜的是，后面航空公司的行李付费问题也具有同样的特质。那个“免费携带行李最大重量的状态，也正好是函数值为0的状态。你看，在这样的情境中。函数是刻画现实的模型，函数需要用图象来表达，函数可以回答我们面对的问题。这说明，在解决第一个问题教学的同时也预示着第二个问题的解决。不妨设想一下，如果从这两个现实问题出发，不改变问题，一直演绎下去，会是怎样的景观呢？现在回到李老师给我们的启示：当我们面对不可解的教学问题时，怎么办？不是妥协，也不是保守，而是寻找新的道路。沙市,李东燕；八年级,数学活动:轴

32、对称轴对称中的数学活动，由三个活动构成：艺术字与轴对称，镜子倒影与轴对称，等腰三角形中相等的线段。它的目的是什么呢？就是在轴对称基本知识的前提下，引导学生从生活世界与数学世界中去发现对称。要理解发现对称的意义，需要从对称的定义方式出发。我们是如何定义轴对称的呢？是用操作的办法定义的。经过折叠后，两部分完全重合，这样的图形便是轴对称图形。当我们用这个概念去作判断时，其实并没有真的去折叠。这是什么？这就是想象。因此，发现的意义不是别的，而是培养空间观念，一种想象能力。于是本节课的核心问题是：在判断中如何发挥想象的作用。李老师采用了经纬交织的网络结构。从经线而言，包括三个层次，一是常态的现实，如艺术

33、字，基本图案，车牌的倒影，警察的发现；二是非常态的现实，如将变成正确等式的游戏；三是数学的现实。从纬线来说，包括四个层次：直觉范畴内的猜想，概念支配下的赏析，操作层面上的确认，逻辑意义下的证明。直观范畴内的猜想，比如给出图形的一部分，想象出完整的图形；对线段间的相等关系进行直觉判断。概念支配下的赏析，就是以轴对称的概念为依据，分析图形是否对称，如何对称。操作层面上的确认，包括通过剪纸获取对称图形；通过试验，发现数学在镜面反射下的规律。逻辑意义下的证明，主要指数学中的现实。这里的经线基本上属于课本。李老师的贡献在于纬线的构思，而纬线构思所体现的正是想象力发展的规律。因此我们说，李老师给我们的启示

34、在于：为想象力的发展构思了一种途径，也为我们通过编织经纬进行教学设计提供了经验。宜昌,崔小平；九年级,黄金分割数黄金分割数，作为“阅读与思考”，安排在“一元二次方程”中。教材先是一个问题，制作雕像，要求满足某种高度比，求这个高度比的值。这个值就被定义为黄金分割数。然后证明五角星中存在黄金分割数。说明美术家、科学家和数学家都对黄金分割数都情有独钟。这是一个关于美的课题。它想告诉学生，大自然关于美的事物中，包含着数学元素。于是，我们可以通过数学来创造美。自然地，我们的教学应该考虑两个问题：（1）如何形成黄金分割数的概念。（2）如何让学生体验“黄金分割数”是美的要素。首先看第一个问题的解决。以三角形

35、为载体发掘感性材料，定义并推演等价定义，确立判定黄金分割点的两种方法，通过三个层次的作业来深化学生的理解。这三个层次的作业是：在五角形中感受黄金分割现象，在单位线段AB中确定黄金分割点，设计具有黄金分割要素的图案。在这些活动中，崔老师把在单位线段中确定黄金分割点定位于难点，采取了教师演示的方法。这里，在回应第（1）个问题时，有概念的形成过程，有辨析，有深化理解的活动，这一切，无疑是成功教学经验的反映。如果我们把在单位线段上找黄金分割点，由教师的演示，变成一种探索，以突出数形互动的过程，也许会成为锦上添花之笔。试想一下，由勾股定理可以得到，截去单位线段，不就是黄金分割数的两倍吗？第（1）个问题解

36、决了，第（2）个问题成为我们关注的焦点。正是第（2）个问题在考验着我们每一个教师的智慧。因为我们不能用教数学概念的方法来教对美的感受。那么，崔小平是怎样做的呢？首先，以五角星为主线。因为它给人的匀称感是不言自明的。我们的国旗上就有五角星，这无疑是艺术家、政治家甚至是普通大众的共识。人们喜爱五角星，为什么呢？自然想到探讨线段间的关系。于是，就有了这样的流程：从感受五角星出发，到探寻线段间的关系，根据线段间关系的启示定义黄金分割数，最后又回到五角星中进一步发掘黄金分割现象。在教材中，五角星只是定义后的一个例子，而这里变成了线索。这是符合认知规律的，因为人们探索未知，不仅仅是现实的需要，而往往是美的

37、启迪。正是对教材的这种重组，提升了教学的境界。其次，以丰富的素材营造场境。除了课本中的维纳斯像和优选法外，还扩展了很多素材。摄影构图的“趣味中心”、主持者的“最佳立点”；从金字塔到东方明珠的建筑史，从评选“最美矩形”的心理学实验到黄金三角形和黄金矩形。特别是黄金三角形和黄金矩形，它们不仅本身匀称、协调，甚至还可以经由分割不断的生成同构的图形。所有这些，都因为黄金分割而优美。为什么这样，就是为了让学生感受黄金分割的美，在大量的材料中去体悟共同的规律。再其次，就是运用电脑。一是展示这些素材，二是用于探索比例关系时的精确计算。我们需要计算，但又不能因为计算而冲淡了主旨。崔小平给了我们什么启示呢？现在

38、可以回答了。对于那些属于情感价值的东西，与知识能力的教学是不同的。那不是传授，而是给学生营造一个场境，在这个场境中，我们需要恰当的素材，也需要丰厚的素材。恰当是为了揭示主题，比如黄金分割中的五角星；丰厚，是为了强化并感知共同规律。因为，那是不可言传的。现在，我们回到课本，作点更进一步的思考。课本告诉我们：科学家指出，一棵树的生长过程，满足黄金分割数。这意味着什么？你可以说数学揭示了自然界的规律，也可以说自然界是按照数学法则设计的。如果学生有这样的理解，就会尝试用数学的法则去探寻现实世界。数学教学正是在这些不经意的地方，埋下了创新的种子。武汉,童亚平；九年级,课题学习:图案设计七年级安排了利用平

39、移进行图案设计，八年级安排了利用轴对称进行图案设计，通过探索旋转的性质，我们知道，利用旋转也可以进行图案设计。本节课，就是在这些经验的基础上，利用图形变换的组合进行图案设计。问题是，我们为什么要进行图案设计呢?这正是童亚平给启示。我们来看这节课的结构。欣赏图案，分析图案，评点图案，设计图案。欣赏图案，就是指明图案的意义，揭示图案中包含的数学知识。分析图案，就是研究图案的形成过程，以它为载体来审视变换的定义及其要素。评点图案，就是用数学语言来表述图案的形成过程。设计图案，从基本图形出发，强调两个东西：一是图形变换，二是坐标定位。可见，这节课的旨趣不是设计，而是数学的思想和方法。以图案为对象，从数

40、学的角度去观察它、分析它、交流它。又反过来，用数学的知识去构建它。这正是数学应用的两个侧面，从现实问题中寻求数学，从数学知识中追寻背景。可见，这节课给我们两点启示：一点是教学价值的取向。如上所述，图案设计，目的不在设计，设计只是手段，只是载体，它的背后是平移、对称、旋转等变换概念的理解和深化。如果你以为“图案设计”就是设计，那还是数学吗？正是如此追问，直指课题的教学价值。没有教学价值定位，就没有教学设计的灵魂。另一点是，教学的艺术特点，以美启智，就是通过美的原则来抵达真理。让我们来回顾一下课堂情境：历史的画卷，何以生成；美丽的图案，如何赏析？就这样，学生在鉴赏、分析、发现规律、自主设计的过程中

41、，感受了变换之美，实现了图案设计作为课题学习的目的。最后，诚如“循环小数”一样，我们也来作点高端思考：教材安排了这样的数学活动：在平面坐标系中，点作两次对称变换得到。问与有什么关系？要求说明其中的规律。我们知道，这样的规律，实际上是变换的运算，变换运算的思想就在这里萌芽。象这样的重要思想，处于襁袍状态的重要思想，我们应持怎样的态度？我们当然不是把大学的概念搬到中学，但为了学生未来的发展，我们该做点什么？作为一个话题，留给各位去思考。以上，我们不厌其烦地陈述了6节课的点评。不难发现一些共同的东西。首先评课的起点是回忆。回忆课本的内容，也回忆教学的流程。一个好的教学应该是师生共享的过程，围绕一个主

42、题，来共同享受一段美好的时光。评课，也应该是一个共享的过程，是评课者、执教者及其他参与者一起，来回忆那一段美好的时光。评课者的首要任务，是要焕起参与者的回忆。很多评课都是开门见山，先说整体感觉，继而谈特色，最后是商榷，唯独没有回忆。没有回忆，容易失却事实与价值评判的关联性；没有回忆，往往给人空泛的感觉；没有回忆，人们无法感知评课者对课本身的尊重；没有回忆，就没有对教者及其设计的真正理解；没有回忆，也就没有评课的基点。回忆，就得概述课的结构和流程；回忆，就得展示那感动人的细节；回忆，就得捕捉那动态生成的过程。回忆可以是评课的前奏，更应该贯穿到每一个论断中。其次，评课的基本态度是欣赏，是对执教者的维护，为执教者辩护。在面对数学课程改革的思考:关于教学研究一文中，我曾表达过如是观点：教学研究的基本要义是辩护，评课就是辩护，不仅为自己的判断辩护，还要为执教者的构思辩护。当评课立足于为执教者辩护时，评课才有可能实现其构建经典课例、塑造大师风格的最高价值。最后，不妨对这个理由