解题中常见错误类型1

1、解题中常见错误类型数学是一门逻辑性很强的学科，每个数学命题都有着严密的逻辑结构不少同学在做数学题时，常因一些“小问题”而导致解题出错，平时考试后也只停留在把本题改正，而不注意探究错误的根本原因，以致在高考中仍经常犯类似的错误。因此，解数学题必须思考细心，论证严密现就解题中的错误类型概括如下一、对数学概念、定义、法则的理解含糊对数学概念、定义、法则的理解掌握是解题的基础若对概念理解含糊，容易容易造成解题错误例1 若函数yf（x）logxlogx3的定义域为集合A，值域D1，7，集合B，24，16，则集合A与集合B的关系为 （ ） AAB B AB CBA DAÍB 错解由1logxlo

2、gx37，得（logx），|logx|，即1logx1或2logx4， ylogx在（0，）上是增函数，x2或4x16，A，24，16B，故应选B剖析根据函数的定义，函数值域可由其定义域与对应法则得出，但由值域与对应法则是否得出唯一的定义域呢？答案是否定的除非加强条件（比如函数具有单调性等）实际上，本题中，2 与4，16是f（x）的两个单调区间，由错解可知当x2时，可得1y7，当4x16时，也可推得1y7这就是说，2与1，16都可作为函数的定义域而集合B只是f（x）值域为1，7时x的最大允许值范围，并非是函数的定义域可以观察f（x）是否是A到D上的一一映射，若是则AB，若不是则AB正解由以上错

3、解可知，若AB时，能满足题意，故否定答案A、C，由错因分析可知，若A，2B时，也能满足题意，故否定B，应选D二、忽视题中的隐含条件有些数学题，题中隐含着一定的条件，若忽视了这些条件，也会造成错误例2 已知，是关于x的方程x2（k2）xk23k50（kR）的两个实根，试求22的最大值错解由韦达定理知于是22 （）22（k2）22（k23k5）（k5）19当k5时，22有最大值19剖析忽视了方程有两个实数根，判别式0这一隐含条件正解由0，得（k2）4（k23k5）0，4k又4k时，22 （k5）19是减函数，故当k4时，原式取得最大值18三、忽视定理公式的使用范围每个数学定理公式都有一定的适用范围

4、，若超出范围使用，会造成错误例3 在数列a中，已知S3nn1，求通项a错解aSSn1（3nn1）3（n1）（n1）16n4剖析当且仅当S00时才能用公式aSSn1计算，当S00时应分段表示正解n1时，aS3×1113；n2时， a6n4a四、错把充分条件当成充要条件充分条件只可作为判断结论正确性的依据，由于不知是否具备必要性而导致条件不完备，即可能有其它条件同样可以得到结论的正确性忽视这些可能造成错误例4 （a2）x2（a2）x10对一切xR恒成立，求a的取值范围错解结合二次函数图象，要使（a2）x2（a2）x10对一切xR恒成立，必须使（*）即a的取值范围是（1，2）剖析条件（*）

5、只是使得（a2）x2（a2）x10对一切xR恒成立的充分条件，而不是充要条件原题中并没有指出是“二次”不等式，应考虑二次项系数可能为零的情形正解当a2时，a20，不等式化为10对一切xR恒成立结合错解，a的取值范围是（1，2五、错把必要条件当成充要条件必要条件可能只为结论的一部分，不能保证结论的完整忽视这些同样可能出现错误例5 已知圆的方程为x2y2ax2ya20，一定点为A（1，2），要使过A点作圆的切线有两条，求a的取值范围错解将圆的方程配方得：（x）2（y1）2 其圆心坐标为C（，1），半径r当点A在圆外时，过点A可作圆的两条切线，则|AC|r即即a2a90，解得aR剖析上述解法仅由条件

6、得出|AC|r ，这只是圆有两条切线的必要条件，而忽视了另一制约圆的必要条件r0正解结合错解，圆有两条切线的充要条件是|AC|r0，即由此可得a的取值范围是（，）六、忽视对结论的检验或检验不彻底如果在时运算时不能把握问题本质或对概念的理解不深，常会在运算后产生增根，解决的方法之一，是依据题设条件对结论进行检验忽视检验或检验不彻底都会产生错误例6 全集U1，2a4，aa3，Aa1，1，CUA3，则a 错解CUA3，3U1，2a4，aa3由2a43，得a；由aa33，得a3或a2经检验a时，U1，3，A，1，集合中元素互异；a3时，U1，2，3，A2，1，集合中元素互异；a2时，U1，8，3，A2

7、，1，集合中元素互异a，a3或a2剖析虽然错解紧扣了补集定义，利用分类讨论的方法，进行了问题的解决，并依据集合中元素的互异特性，做了检验但未能进行是否构成补集的检验依然出错正解结合错解a时，U1，3，A，1，AU，舍去；a3时，U1，2，3，A2，1，CUA3，满足条件ACUAÆ，ACUAU；a2时，U1，8，3，A2，1， AU，舍去a3七、习惯思维，旧有知识负迁移受习惯思维影响，旧有的认知结构可能对新的知识产生不恰当地类比定势，如用实数规律求解向量问题，用平面几何知识求解立体几何问题时，未注意新旧知识的区别与联系而导致错解例7 ABC中，b，c，已知a·bb·

8、cc·，求证：ABC为正三角形错解b·cc·，c·（ba）0c，b，同理可得bc故ABC是正三角形剖析错源是将向量当成了实数，即：c(b-a)=0且c0Ûb=a,a=b=cÛABC是正三角形.由教材中向量的数量积性质知：“当a，b都是非零向量时，abÛa·b0”所以由c·（ba）0，c不能得到b事实上c·（ba）0Ûc0，ba 0或c（ba）另外，若bc，则ABC的三条边平行或重合，也不能得到ABC是正三角形正解b·cc·，c·（bc）0又c（b），（b）

9、·（b）0|a|2|b|2，即|a|b|，同理|b|c|，故ABC是正三角形八、证明不够严密对于数学的证明题，要严密进行逻辑推理，一步不慎，满盘皆输例8 P为120°的二面角MN内一点，P到，的距离均为10，求点P到棱a的距离错解1：过点P作PA于A，PB于B，过A作OAMN于O，连结PO，OBPA，PAMN，OAMN，面PAOMN同理，面PBOMN而面PAO面PBOPO，面PAO与面PBO应重合，即A、O、B、P在同一平面内，AOB为二面角的平面角ABPOMN错解2：过点P作PA于A，PB于B设相交直线PA、PB确定的平面为，MN于O，则OA，OBPA，PB，PAMN，P

10、BMN，MN，OAÌ，OBÌ，AOB为二面角的平面角剖析错解1中，“同理”二字不妥，这是因为其证法不尽相同，OB是否与MN垂直有待证明错解2中，MNO有些欠妥，MN与是否相交还不清楚正解1“同理，面PBOMN”改为：面PAOMN，POMN，PB，PBMN，面PBOMN正解2过点P作PA于A，PB于B，则PAMN，PBMN，相交直线PA、PB确定平面PAB，MN平面PAB，设MN平面PABO，连结OA，OB，则OAÌ平面PAB，OBÌ平面PAB，AOB为二面角的平面角九、遗漏特殊情况在解题中要注意特殊情况对结论造成的影响，遗漏特殊情况可能致错例6求过定点P

11、（0，1）且与抛物线y22x只有一个公共点的直线有（ ）A0条 B1条 C2条 D3条错解设直线方程为ykx1（k0），由方程组消去y，得k2x22（k1）x10，由直线与抛物线只有一个公共点，则4（k1）24k20，即k，故选择答案：B剖析以上出错在于对公共点情况的盲目判断导致的，其错误有两点：一是遗漏了直线不存在斜率的情况，只考虑了斜率存在的直线；二是方程组消元后的方程认定为二次方程，事实上，当二次项系数为零的一次方程的解也符合题意正解由以上错解可知k有一条直线yx1；而当斜率不存在时，直线x0满足条件；当直线平行于抛物线的轴时，即直线y1也满足条件；故选择答案：D十、考虑问题不周全解题时要仔细观察，克服粗心大意，若考虑问题不周全，可能导致结果遗漏例10 已知（）的展开式中有理项共有4项，求n的取值范围错解 展开式的第k1项为Tk+1C（）n-k（）kCx（k0，1，n）为了使Tk+1是有理项，n必须是偶数，且k是6的倍数，要使k在其取值范围内有4个满足条件的值， n可取的值为18，20，22剖析Tk+1是有理项并不一定要求n是偶数，若