解直角三角形1

1、事实上，在直角三角形的六个元素中，事实上，在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素（其除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有中至少有一个是边一个是边），这个三角形就），这个三角形就可以确定下来，这样就可以由已知的可以确定下来，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素两个元素求出其余的三个元素ABabcC解直角三角形解直角三角形:在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：解直角三角形解直角三角形三边之间的关系三边之间的关系a a2 2b b

2、2 2c c2 2（勾股定理）；（勾股定理）；锐角之间的关系锐角之间的关系 A A B B 9090边角之间的关系（锐角三角函数）边角之间的关系（锐角三角函数）tanAtanAa ab bsinAsinAac1、cosAcosAb bc cabc解直角三角形的依据解直角三角形的依据在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念l lh（2 2）坡度）坡度 tan tan h hl l概念反馈概念反馈（1 1）仰角和俯角）仰角和俯角视线视线铅铅垂垂线线水平线水平线视线视线仰角仰角俯角俯角（3 3）方位角）方位角30304545B BO OA A东东西西北北南

3、南为坡角为坡角3、30，45，60的三角函数值的三角函数值30 45 60sinacosatana2232333123222121例例1 如图，在如图，在RtABC中，中，C90， 解这个直角三角形解这个直角三角形6,2BCAC解：解：326tanACBCA60A30609090AB222ACABABC26例例2 如图，在如图，在RtABC中，中，C90，AC=6， BAC的平分线的平分线 ，解这个直角三角形。，解这个直角三角形。4 3AD DABC64 3解：解：63cos24 3ACCADAD30CAD因为因为AD平分平分BAC60 ,30CABB 12,6 3ABBC1 1、在、在RtR

4、tABCABC中中,C=90,C=900 0,a,b,c,a,b,c分别是分别是A,B,A,B, C C的对边的对边. .(1)(1)已知已知a=3,b=3,a=3,b=3,求求A;A;(2)(2)已知已知c=8,b=4,c=8,b=4,求求a a及及A;A;(3)(3)已知已知c=8,A=45c=8,A=450 0, ,求求a a及及b b2 2、已知、已知cosA=0.6,cosA=0.6,求求sinA,tanAsinA,tanA. .3 3、在在ABCABC中，中， C=90C=900 0，AC=8cmAC=8cm，ABAB的垂直平的垂直平分线分线MNMN交交ACAC于于D D，连接，连

5、接BDBD，若，若_,53cos的长是则BCBDC ABNCDM例题赏析例题赏析例例1（1 1）计算：）计算： sin60sin60tan30tan30+cos +cos 45 45= = （2 2）如果）如果cosA cosA + | 3 tanB + | 3 tanB 3|=0 3|=012那么那么ABCABC是（是（ ） A A，直角三角形，直角三角形 B B，锐角三角形，锐角三角形 C C，钝角三角形，钝角三角形 D D，等边三角形。，等边三角形。1 1D D例例2如图学校里有一块三角形形状的花圃如图学校里有一块三角形形状的花圃ABC,ABC,现测得现测得A=30A=30, AC=40

6、m,BC=25m, AC=40m,BC=25m,请你帮助计算一下这请你帮助计算一下这块花圃的面积块花圃的面积? ?ACBD过点过点C C作作CDABCDAB于于D D在在RtRtADCADC中，中， A=30A=30, , AC=40,AC=40,CD=20, AD=ACCD=20, AD=ACcos30cos30=20 3 =20 3 在在RtRtCDBCDB中，中， CD=20 , CB=25,CD=20 , CB=25,DB= CBDB= CB2 2 CD CD2 2 = = 1515SSABCABC= AB= ABCD= (AD+DB)CD= (AD+DB)CDCD1 12 21 12

7、 2 (200 +150)(m(200 +150)(m2 2) )3 3答，这块答，这块花圃的面积为花圃的面积为=(200 3 +150)(m2)解解例题赏析例题赏析例例3如图，在如图，在 ABC ABC中，中，ADAD是是BCBC边上的高，边上的高，若若tanB=cosDACtanB=cosDAC，（）（）ACAC与与BDBD相等吗？说明理由；相等吗？说明理由；（）若（）若sinCsinC，BC=BC=，求，求ADAD的长。的长。DCBA解解cosDACcosDAC在在RtRt ABDABD和和 ACD ACD中，中，tanB=tanB=，ADADBDBDADADACAC因为因为tanB=c

8、osDACtanB=cosDAC，所以，所以ADADBDBDADADACAC故故BD=ACBD=AC（）（）例题赏析例题赏析例例3DCBA如图，在如图，在 ABC ABC中，中，ADAD是是BCBC边上的高，边上的高，若若tanB=cosDACtanB=cosDAC，（）（）ACAC与与BDBD相等吗？说明理由；相等吗？说明理由；（）若（）若sinCsinC，BC=BC=，求，求ADAD的长。的长。解解（）（）设设AC=13k,AD=12kAC=13k,AD=12k，所以，所以CD=5k,CD=5k,又又AC=BD=13kAC=BD=13k，所以所以BC=18k=12,BC=18k=12,故故

9、k=k=在在RtRt ACDACD中，因为中，因为sinCsinC所以所以AD=12AD=12例题赏析例题赏析例例4如图，海岛如图，海岛A A四周四周2020海里周围内为暗礁区，一艘海里周围内为暗礁区，一艘货轮由东向西航行，在货轮由东向西航行，在B B处见岛处见岛A A在北偏西在北偏西6060方方向，航行向，航行2424海里到海里到C C处，见岛处，见岛A A在北偏西在北偏西3030方向，方向，货轮继续向西航行，有无触礁的危险？货轮继续向西航行，有无触礁的危险？ABDCNN13060解解过点过点A A作作ADBCADBC于于D,D,设设AD=AD=x x NBA= 60NBA= 60， N N

10、1 1CA= 30CA= 30 ABC=30ABC=30， ACD= ACD= 0 0，在在RtRtADCADC中，中， CD=AD/tanACDCD=AD/tanACD= x/tan60= x/tan60, , 在在RtRtADBADB中，中， BD=AD/tan30BD=AD/tan30=x/tan30=x/tan30, , BD-CD=BC,BC=24 BD-CD=BC,BC=24 x/tan30 x/tan30- x/tan60- x/tan60=24=24 =12 3=12 3 x x 20 20答：货轮无触礁危险。答：货轮无触礁危险。当堂训练当堂训练1 1，在，在RtRtABCAB

11、C中，如果各边都扩大中，如果各边都扩大2 2倍，则锐角倍，则锐角A A的正的正 弦值和余弦值（弦值和余弦值（ ）A A，都不变，都不变 B B，都扩大，都扩大2 2倍倍 C C，都缩小，都缩小2 2倍倍 D D，不确定。，不确定。222 22 2，在，在ABCABC中中, ,若若sinA= ,tanBsinA= ,tanB=3=3，则，则C=C=3, 3, 在在RtRtABCABC中中, , C=90C=90, AC= 3, AB=2, AC= 3, AB=2,Tan Tan = = B B2 24 4，如果，如果和和都是锐角，且都是锐角，且sin= cossin= cos， 则则与与的关系的

12、关系 是（是（ ）A A，相等，相等 B B，互余，互余 C C，互补，互补 D D，不确定。，不确定。5.5.已知在已知在RtRtABCABC中中, C=90, C=90，sinA= ,sinA= ,则则 cosBcosB=( )=( )1 12 2332 2222 22 21 133A A， B B， C C， D D，A A7575333 3B BA A当堂训练当堂训练ACB 127 7、如图为了测量小河的宽度，在河、如图为了测量小河的宽度，在河的岸边选择的岸边选择B B、C C两点，在对岸选择两点，在对岸选择一个目标点一个目标点A A，测得，测得BAC=75BAC=75, , ACB=

13、45ACB=45;BC=48m,;BC=48m, 求河宽求河宽( ) ( ) 米米ABCD6 6、植树节，某班同学决定去坡度为、植树节，某班同学决定去坡度为1 12 2的山坡上的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6m6m，斜坡上相邻两树间的坡面距离为斜坡上相邻两树间的坡面距离为 m.m.353572-24372-2431 1，由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频，由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴侵袭。近日，遭受沙尘暴侵袭。近日，A A城气象局测得沙尘暴中心在城气象局测得沙尘暴中心在A A城的正南方向城的正南方向2

14、40km240km的的B B处，以每小时处，以每小时12km12km的速度向北偏的速度向北偏东东3030方向移动，距沙尘暴中心方向移动，距沙尘暴中心150km150km的范围为受影响的范围为受影响区域区域。（1 1）A A城是否受到这次沙尘暴的影响，为什么？城是否受到这次沙尘暴的影响，为什么？（2 2）若若A A城受这次沙尘暴的影响，那么遭受影响的时城受这次沙尘暴的影响，那么遭受影响的时间有多长？间有多长？拓展延伸拓展延伸解解（1 1）：过）：过A A作作ACBM,ACBM,垂足为垂足为C,C,在在RtRtABCABC中，中， B =30B =30, , AC= AB= x 240 = 120

15、AC= AB= x 240 = 1201 12 21 12 2AC = 120 150AC = 120 150 A A城受到沙尘暴影响城受到沙尘暴影响CABM30240解解（2）：设点：设点E、F是以是以A为圆心，为圆心，150km为半径的圆与为半径的圆与BM的交点，由题意得：的交点，由题意得：CE = AE2 AC2 = 90EF = 2CE = 2 x 90 = 180A城受到沙尘暴影响的时间为城受到沙尘暴影响的时间为18012 = 15小时小时答：答：A城将受到这次沙尘暴影响，城将受到这次沙尘暴影响，影响的时间为影响的时间为15小时。小时。由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受

16、沙尘暴侵由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴侵袭。近日，袭。近日，A A城气象局测得沙尘暴中心在城气象局测得沙尘暴中心在A A城的正南方向城的正南方向240km240km的的B B处，以每小时处，以每小时12km12km的速度向北偏东的速度向北偏东3030方向移动，距沙尘暴中心方向移动，距沙尘暴中心150km150km的范围为受影响区域。的范围为受影响区域。（1 1）A A城是否受到这次沙尘暴的影响，为什么城是否受到这次沙尘暴的影响，为什么？（2 2）若若A A城受这次沙尘暴的影响，那么遭受影响的时间有多长？城受这次沙尘暴的影响，那么遭受影响的时间有多长？EFABCM240302 2，如图，如图, ,为了测量山坡的护坡石坝与地面的倾为了测量山坡的护坡石坝与地面的倾斜角斜角,把一根长为把一根长为4.5m4.5m的竹竿的竹竿ACAC斜靠在石坝旁斜靠在石坝旁, ,量出竹竿长量出竹竿长1m1m处，它离地面的高度为处，它离地面的高度为0.6m,0.6m,又量又量得竿顶与坝脚的距离得竿顶与坝脚的距离BC=2.8m.BC=2.8m.这样这样求就可求就可以算出来了以算出来了.