第六章高考专题突破三

1、高考专题突破三高考中的数列问题考点自测1公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，且3a1，a2，a3成等差数列，若a11，则S4等于()A20 B0 C7 D40答案A解析设等比数列an的公比为q，其中q1，依题意有2a23a1a3，2a1q3a1a1q20.即q22q30，(q3)(q1)0，又q1，因此有q3，S420，故选A.2数列an中，已知对任意nN*，a1a2a3an3n1，则aaaa等于()A(3n1)2 B.(9n1)C9n1 D.(3n1)答案B解析a12，a1a2an3n1，n2时，a1a2an13n11，得an3n1·2(n2)，n1时，a12适合上式，an2

2、·3n1.aaa(9n1)3等差数列an的前n项和为Sn，且a1>0，S500.设bnanan1an2(nN*)，则当数列bn的前n项和Tn取得最大值时，n的值是()A23 B25C23或24 D23或25答案D解析因为S50(a1a50)25(a25a26)0，a1>0，所以a25>0，a26<0，所以b1，b2，b23>0，b24a24a25a26<0，b25a25a26a27>0，b26，b27，<0，且b24b250，所以当数列bn的前n项和Tn取得最大值时，n的值为23或25.4已知数列an的前n项和为Sn，对任意nN*都有S

3、nan，若1<Sk<9 (kN*)，则k的值为_答案4解析当n>1时，Sn1an1，ananan1，an2an1，又a11，an为等比数列，且an(2)n1，Sk，由1<Sk<9，得4<(2)k<28，又kN*，k4.5把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，循环分为(1)，(3,5)，(7,9,11)，(13)，(15,17)，(19,21,23)，(25)，则第50个括号内各数之和为_答案392解析将三个括号作为一组，则由5016×32，知第50个括号应为第17组的第二个括号，即第50

4、个括号中应是两个数又因为每组中含有6个数，所以第48个括号的最末一个数为数列2n1的第16×696项，第50个括号的第一个数应为数列2n1的第98项，即为2×981195，第二个数为2×991197，故第50个括号内各数之和为195197392.故填392.题型一等差数列、等比数列的综合问题例1设an是公比大于1的等比数列，Sn为数列an的前n项和已知S37，且a13,3a2，a34构成等差数列(1)求数列an的通项；(2)令bnln a3n1，n1,2，求数列bn的前n项和Tn.解(1)由已知得解得a22.设数列an的公比为q，由a22，可得a1，a32q，又S

5、37，可知22q7，即2q25q20.解得q12，q2.q>1，q2，a11.故数列an的通项为an2n1.(2)由于bnln a3n1，n1,2，由(1)得a3n123n，bnln 23n3nln 2.又bn1bn3ln 2，bn是等差数列，Tnb1b2bn·ln 2.故Tnln 2.思维升华(1)正确区分等差数列和等比数列，其中公比等于1的等比数列也是等差数列(2)等差数列和等比数列可以相互转化，若数列bn是一个公差为d的等差数列，则abn(a>0，a1)就是一个等比数列，其公比qad；反之，若数列bn是一个公比为q(q>0)的正项等比数列，则logabn(a&

6、gt;0，a1)就是一个等差数列，其公差dlogaq.已知等差数列an的首项a11，公差d>0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列bn的第2项、第3项、第4项(1)求数列an与bn的通项公式；(2)设数列cn对nN*均有an1成立，求c1c2c3c2 013.解(1)由已知有a21d，a514d，a14113d，(14d)2(1d)(113d)，解得d2 (因为d>0). an1(n1)·22n1.又b2a23，b3a59，数列bn的公比为3，bn3·3n23n1.(2)由an1，得当n2时，an.两式相减得，an1an2. cn2bn2·3n1

7、 (n2)又当n1时，a2，c1c2c3c2 01333(332 013)32 013.题型二数列的通项与求和例2已知数列an的前n项和为Sn，且a1，an1an.(1)证明：数列是等比数列；(2)求通项an与前n项的和Sn.(1)证明因为a1，an1an，当nN*时，0.又，(nN*)为常数，所以是以为首项，为公比的等比数列(2)解由是以为首项，为公比的等比数列，得×()n1，所以ann×()n.Sn1·()2·()23·()3n·()n，Sn1·()22·()3(n1)()nn·()n1，

8、Sn()()2()3()nn·()n1n·()n1，Sn2()n1n·()n2(n2)·()n.综上，ann·()n，Sn2(n2)·()n.思维升华(1)一般数列的通项往往要构造数列，此时要从证的结论出发，这是很重要的解题信息(2)根据数列的特点选择合适的求和方法，本题选用的错位相减法，常用的还有分组求和，裂项求和已知数列an的各项均为正数，前n项和为Sn，且Sn，nN*.(1)求证：数列an是等差数列；(2)设bn，Tnb1b2bn，求Tn.(1)证明Sn，nN*，当n1时，a1S1 (an>0)，a11.当n2时，由得2a

9、naanaan1.即(anan1)(anan11)0，anan1>0，anan11(n2)数列an是以1为首项，以1为公差的等差数列(2)解由(1)可得ann，Sn，bn.Tnb1b2b3bn11.题型三数列与不等式的综合问题例3(2013·广东)设数列an的前n项和为Sn，已知a11，an1n2n，nN*.(1)求a2的值；(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有<.(1)解2S1a21，又S1a11，所以a24.(2)解当n2时，2Snnan1n3n2n，2Sn1(n1)an(n1)3(n1)2(n1)，两式相减得2annan1(n1)an(3n23

10、n1)(2n1)，整理得(n1)annan1n(n1)，即1，又1，故数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以1(n1)×1n，所以ann2，所以数列an的通项公式为ann2，nN*.(3)证明当n1时，1<；当n2时，1<；当n3时，<，此时1<11<，所以对一切正整数n，有<.思维升华(1)以数列为背景的不等式恒成立问题，多与数列求和相联系，最后利用函数的单调性求解(2)以数列为背景的不等式证明问题，多与数列求和有关，有时利用放缩法证明已知等差数列an中，a26，a3a627.(1)求数列an的通项公式；(2)记数列an的前n项和为Sn，且Tn

11、，若对于一切正整数n，总有Tnm成立，求实数m的取值范围解(1)设公差为d，由题意得：解得an3n.(2)Sn3(123n)n(n1)，Tn，Tn1Tn，当n3时，Tn>Tn1，且T11<T2T3，Tn的最大值是，故m.(时间：80分钟)1已知等差数列an的前n项和为Sn，nN*，a35，S10100.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和Tn.解(1)设等差数列an的公差为d，由题意，得解得所以an2n1.(2)因为bn×4n2n，所以Tnb1b2bn(4424n)2(12n)n2n×4nn2n.2已知数列an的前n项和为Sn，且对任意

12、的nN*有anSnn.(1)设bnan1，求证：数列bn是等比数列；(2)设c1a1且cnanan1(n2)，求cn的通项公式(1)证明由a1S11及a1S1得a1.又由anSnn及an1Sn1n1得an1anan11，2an1an1.2(an11)an1，即2bn1bn.数列bn是以b1a11为首项，为公比的等比数列(2)解由(1)知2an1an1，2anan11(n2)2an12ananan1(n2)，即2cn1cn(n2)又c1a1，2a2a11，a2.c2，即c2c1.数列cn是首项为，公比为的等比数列cn·()n1.3已知数列an的前n项和Sn2an2n1.(1)证明：数列

13、是等差数列；(2)若不等式2n2n3<(5)an对nN*恒成立，求的取值范围(1)证明当n1时，S12a122得a14.Sn2an2n1，当n2时，Sn12an12n，两式相减得an2an2an12n，即an2an12n，所以11.又2，所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列(2)解由(1)知n1，即an(n1)·2n.因为an>0，所以不等式2n2n3<(5)an等价于5>，记bn，n2时，所以n3时<1，(bn)maxb3，所以<.4已知等差数列an的前n项和为Sn，等比数列bn的前n项和为Tn，它们满足S42S28，b2，T2，且当n4或5

14、时，Sn取得最小值(1)求数列an，bn的通项公式；(2)令cn(Sn)(Tn)，nN*，如果cn是单调数列，求实数的取值范围解(1)设an的公差为d，bn的公比为q，因为当n4或5时，Sn取得最小值，所以a50，所以a14d，所以an(n5)d，又由a3a4a1a28，得d2，a18，所以an2n10；由b2，T2得b1，所以q，所以bn.(2)由(1)得Snn29n，Tn，cn，当cn为递增数列时，cn<cn1，即>n210n4恒成立，当cn为递减数列时，cn>cn1，即<n210n4恒成立，<21，综上，实数的取值范围为(，21)5已知正项数列an，bn满足

15、：a13，a26，bn是等差数列，且对任意正整数n，都有bn，bn1成等比数列(1)求数列bn的通项公式；(2)设Sn，试比较2Sn与2的大小解(1)对任意正整数n，都有bn，bn1成等比数列，且数列an，bn均为正项数列，anbnbn1(nN*)由a13，a26得又bn为等差数列，即有b1b32b2，解得b1，b2，数列bn是首项为，公差为的等差数列数列bn的通项公式为bn(nN*)(2)由(1)得，对任意nN*，anbnbn1，从而有2()，Sn2()()()1.2Sn2.又22，2Sn(2).当n1，n2时，2Sn<2；当n3时，2Sn>2.6(2014·四川)设等差数列an的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)2x的图象上(nN*)(1)若a12，点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上，求数