离散型随机变量的分布列、期望与方差(解析版)

1、精选优质文档-倾情为你奉上专题29 离散型随机变量的分布列,期望与方差(解析版)易错点1：二项式展开式的通项公式,n次独立重复试验中事件A发生k次的概率与二项分布的分布列三者易记混；通项公式： (它是第项而不是第项)；事件A发生k次的概率：；易错点2：混淆二项分布和超几何分布的期望和方差；题组一1(2018全国卷)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为,各成员的支付方式相互独立,设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,则=A07B06C04D03【解析】由题意,XB(10,p),所以DX=10×p×(1-p)=2.4,p=0.4或0.6,又,即,得2.(2017新课标

2、)一批产品的二等品率为,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取次,表示抽到的二等品件数,则= 【解析】由题意,XB(100,0.02),所以DX=100×0.02×(1-0.02)=1.96题组二3(2019全国I理21)为了治疗某种疾病,研制了甲,乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题,约定：对于每轮试验,若施以甲药的

3、白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分甲,乙两种药的治愈率分别记为和,一轮试验中甲药的得分记为X(1)求的分布列；(2)若甲药,乙药在试验开始时都赋予4分,表示“甲药的累计得分为时, 最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则,其中,假设,(i)证明：为等比数列；(ii)求,并根据的值解释这种试验方案的合理性【解析】(1)解：X的所有可能取值为1,0,1,X的分布列为： X1 0 1 P (2)(i)证明：0.5,0.8,由(1)得,a0.4,b0.5,c0.1因此pi0.4pi1+0

4、.5pi+0.1pi+1(i1,2,7),故0.1(pi+1pi)0.4(pipi1),即(pi+1pi)4(pipi1),又p1p0p10,pi+1pi(i0,1,2,7)为公比为4,首项为p1的等比数列；(ii)解：由(i)可得,p81,P4(p4p3)+(p3p2)+(p2p1)+(p1p0)+p0p1P4表示最终认为甲药更有效的概率由计算结果可以看出,在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8时,认为甲药更有效的概率为,此时得出错误结论的概率非常小,说明这种试验方案合理4(2018全国卷)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则

5、更换为合格品检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验,设每件产品为不合格品的概率都为,且各件产品是否为不合格品相互独立(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为,求的最大值点(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的作为的值已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用(i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为,求；(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验？【解答】(1)20件产品中恰有2件不合格品

6、的概率为f(p)=C202p2(1-p)18.因此f(p)= C2022p(1-p)18-18p2(1-p)17=2 C202p(1-p)17(1-10p)令f(p)=0,得p=0.1.当p(0,0.1)时,f(p)>0；当p(0.1,1)时,f(p)<0.所以f(p)的最大值点为p0=0.1.(2)由(1)知,p=0.1.(i)令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知YB(180,0.1),X=40+25Y,所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=40+25×180×0.1=490.(ii)如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为

7、400元.由于EX>400,故应该对余下的产品作检验.5(2017新课标)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6 元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位：)有关如果最高气温不低于25,需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20,25),需求量为300瓶；如果最高气温低于20,需求量为200瓶为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表：最高气温10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天数216362574以最高气温位于各

8、区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量(单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为(单位：元),当六月份这种酸奶一天的进货量(单位：瓶)为多少时,的数学期望达到最大值？【解答】(1)由题意知,所有可能取值为200,300,500,由表格数据知,.因此的分布列为：2003005000.20.40.4(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500,至少为200,因此只需考虑当时,若最高气温不低于25,则；若最高气温位于区间20,25),则；若最高气温低于20,则因此当时,若最高气温不低于20,则；若最高气温低于20,则因此所以时,的数学期望达到

9、最大值,最大值为520元.6(2016年全国I)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.(I)求的分布列；(II)若要求,确定的最小值；(III)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依

10、据,在与之中选其一,应选用哪个？【解析】()由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2,从而；.所以的分布列为 16171819202122()由()知,故的最小值为19.()记表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元).当时,.当时,.可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值,故应选.7(2013新课标1)一批产品需要进行质量检验,检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验；如果n=4,再从这

11、批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验；其他情况下,这批产品都不能通过检验假设这批产品的优质品率为50%,即取出的产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互独立(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品检验费用为100元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元),求X的分布列及数学期望【解析】(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1.第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2,第二次取岀的4件产品都是优项品为事件B1,第二次取出的1件产品是优质品为事件B2,这批产品通过检验为事件A,依题意有A=(A1B1)(A2B2). 且A1B1与A2B2互斥,所以(2) X可能的取值为400,500,800,并且,所以X的分布列为X400500800P 8(2012新课标)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理()若花店一天购进16朵玫瑰花,求当天的利润(单位：元)关于当天需求量(单位：枝,)的函数解析式；()花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝),整理得下表：日需求量14151617181920频数10201616