数值分析第四版习题和答案解析

1、精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业第四版数值分析习题第一章绪 论1. 设x0,x的相对误差为,求ln x的误差.2. 设x的相对误差为 2,求nx的相对误差.3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字:*123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.xxxxx4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:*12412324( ),( ),()/,i xxxii x x xiii xx其中*1234,x xx x均为第 3 题所给的数.5. 计算球体积要使相对误差限为 1,问度量半径R时允许的相对误

2、差限是多少?6. 设028,Y 按递推公式11783100nnYY( n=1,2,)计算到100Y.若取78327.982(五位有效数字),试问计算100Y将有多大误差?7. 求方程25610 xx 的两个根,使它至少具有四位有效数字(78327.982).8. 当N充分大时,怎样求211Ndxx?9. 正方形的边长大约为 100 ,应怎样测量才能使其面积误差不超过 1 2?10. 设212Sgt假定g是准确的,而对t的测量有0.1 秒的误差,证明当t增加时S的绝对误差增加,而相对误差却减小.11. 序列ny满足递推关系1101nnyy(n=1,2,),若021.41y (三位有效数字),计算

3、到10y时误差有多大?这个计算过程稳定吗?12. 计算6( 21)f ,取21.4,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?36311,(32 2) ,9970 2.( 21)(32 2)13.2( )ln(1)f xxx,求f(30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式22ln(1)ln(1)xxxx 计算,求对数时误差有多大?精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业14. 试用消元法解方程组101012121010;2.xxxx假定只用三位数计算,问结果是否可靠?15. 已知三角形面积1sin ,2sabc其中c为弧度,02c,且测量a,b,c的误差分别为

4、,.abc证明面积的误差s满足.sabcsabc第二章插值法1. 根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令2000011211121( )(, )11nnnnnnnnnxxxV xV x xxxxxxxxx证明( )nVx是n次多项式,它的根是01,nxx,且101101( )(,)()()nnnnV xVx xxxxxx.2. 当x= 1 , -1 , 2 时,f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)的二次插值多项式.3. 给出f(x)=lnx的数值表用线性插值及二次插值计算 ln 0.54 的近似值.x0.40.50.60.70.8lnx-0.-0.-0.-0.-0.4. 给出 cosx

5、,0 x90的函数表,步长h=1=(1/60),若函数表具有 5 位有效数字,研究用线性插值求 cosx近似值时的总误差界.5. 设0kxxkh,k=0,1,2,3,求032max( )xx xlx .6. 设jx为互异节点(j=0,1,n),求证:i)0( )(0,1, );nkkjjjx lxxknii)0()( )1,2, ).nkjjjxx l xkn 7. 设2( ),f xCa b且( )( )0f af b,求证21( )()( ) .8maxmaxa x ba x bf xbafx 8. 在44x 上给出( )xf xe的等距节点函数表,若用二次插值求xe的近似值,要使截断误差

6、不超过610,问使用函数表的步长h应取多少?9. 若2nny ,求4ny及4ny.10. 如 果( )f x是m次 多 项 式 , 记( )()( )f xf xhf x, 证 明( )f x的k阶 差 分( )(0)kf xkm是mk次多项式,并且( )0(m lf xl为正整数).精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业11. 证明1()kkkkkkf gfggf.12. 证明1100100.nnkknnkkkkfgf gf ggf13. 证明1200.njnjyyy 14. 若1011( )nnnnf xaa xaxa x有n个不同实根12,nx xx,证明10,02;,1.1()nk

7、njk nak njjxfx 15. 证明n阶均差有下列性质:i)若( )( )F xcf x,则0101,nnF x xxcf x xx;ii) 若( )( )( )F xf xg x,则010101,nnnF x xxf x xxg x xx.16.74( )31f xxxx,求0172 ,2 ,2f 及0182 ,2 ,2f .17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是(4)22311( )( )() () /4!,(,)kkkkR xfxxxxxx并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.18. 求一个次数不高于 4 次的多项式( )P x,使它满足(0)(1)PPk 并由此求出分段三次埃尔

8、米特插值的误差限.19. 试求出一个最高次数不高于 4 次的函数多项式( )P x,以便使它能够满足以下边界条件(0)(0)0PP,(1)(1)1PP,(2)1P.20. 设( ),f xC a b,把, a b分为n等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数( )nx并证明当n 时,( )nx在, a b上一致收敛到( )f x.21. 设2( )1/(1)f xx,在55x 上取10n ,按等距节点求分段线性插值函数( )hIx,计算各节点间中点处的( )hIx与( )f x的值,并估计误差.22. 求2( )f xx在, a b上的分段线性插值函数( )hIx,并估计误差.23. 求4(

9、)f xx在, a b上的分段埃尔米特插值,并估计误差.24. 给定数据表如下:jx0.250.300.390.450.53jy0.50000.54770.62450.67080.7280试求三次样条插值( )S x并满足条件i)(0.25)1.0000,(0.53)0.6868;SSii)(0.25)(0.53)0.SS25. 若2( ),f xCa b,( )S x是三次样条函数,证明i)222( )( )( )( )2( )( )( )bbbbaaaafxdxSxdxfxSxdxSxfxSx dx 精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业;ii) 若( )( )(0,1, )iif x

10、S xin,式中ix为插值节点,且01naxxxb,则( )( )( )( )( )( )( )( )( )baSxfxSx dxS bf bS bS af aS a .26. 编出计算三次样条函数( )S x系数及其在插值节点中点的值的程序框图( )S x可用(8.7)式的表达式).第三章函数逼近与计算1. (a)利用区间变换推出区间为, a b的伯恩斯坦多项式.(b)对( )sinf xx在0,/2上求 1 次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较.2. 求证:(a)当( )mf xM时,( , )nmBf xM. (b)当( )f xx时,( , )nBf

11、 xx.3. 在次数不超过 6 的多项式中,求( )sin4f xx在0,2的最佳一致逼近多项式.4. 假设( )f x在, a b上连续,求( )f x的零次最佳一致逼近多项式.5. 选取常数a,使301maxxxax 达到极小,又问这个解是否唯一?6. 求( )sinf xx在0,/2上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.7. 求( )xf xe在0,1上的最佳一次逼近多项式.8. 如何选取r,使2( )p xxr在1,1上与零偏差最小?r是否唯一?9. 设43( )31f xxx,在0,1上求三次最佳逼近多项式.10. 令( )(21),0,1nnT xTxx,求*0123( ),( ),

12、( ),( )Tx Tx Tx T x.11. 试证*( )nTx是在0,1上带权21xx 的正交多项式.12. 在1,1上利用插值极小化求 11( )f xtg x的三次近似最佳逼近多项式.13. 设( )xf xe在1,1上的插值极小化近似最佳逼近多项式为( )nL x,若nfL有界,证明对任何1n,存在常数n、n,使11( )( )( )( ) ( 11).nnnnnTxf xL xTxx 14. 设在1,1上234511315165( )128243843840 xxxxxx ,试将( ) x降低到 3 次多项式并估计误差.15. 在1,1上利用幂级数项数求( )sinf xx的 3

13、次逼近多项式,使误差不超过 0.005.16.( )f x是, a a上的连续奇(偶)函数,证明不管n是奇数或偶数,( )f x的最佳逼近多项式*( )nnFxH也是奇(偶)函数.精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业17. 求a、b使220sinaxbx dx为最小.并与1 题及6 题的一次逼近多项式误差作比较.18.( )f x、1( ),g xC a b,定义( )( , )( )( );( )( , )( )( )( ) ( );bbaaaf gfx g x dx bf gfx g x dxf a g a问它们是否构成内积?19. 用许瓦兹不等式(4.5)估计6101xdxx的上界

14、,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,并比较其结果.20. 选择a,使下列积分取得最小值:1122211(),xaxdxxax dx.21. 设空间10010121,spanxspan xx ,分别在1、2上求出一个元素,使得其为20,1xC的最佳平方逼近,并比较其结果.22.( )f xx在1,1上,求在2411,spanxx 上的最佳平方逼近.23.2sin (1)arccos( )1nnxuxx是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系 112nnnuxxuxux.24. 将1( )sin2f xx在1,1上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形,再计

15、算均方误差.25. 把( )arccosf xx在1,1上展成切比雪夫级数.26. 用最小二乘法求一个形如2yabx的经验公式,使它与下列数据拟合,并求均方误差.ix1925313844iy19.032.349.073.397.827. 观测物体的直线运动,得出以下数据:时间t(秒)00.91.93.03.95.0距离s(米)010305080110求运动方程.28. 在某化学反应里,根据实验所得分解物的浓度与时间关系如下:时间0510152025303540455055浓度01.272.162.863.443.874.154.374.514.584.624.64用最小二乘拟合求( )yf t

16、.29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图.30. 编出改进 FFT 算法的程序框图.31. 现给出一张记录 4,3,2,1,0,1,2,3kx,试用改进FFT算法求出序列 kx的离散频谱kC(0,1,7).k 精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业第四章数值积分与数值微分1. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度:(1)101( )()(0)( )hhf x dxA fhA fA f h;(2)21012( )()(0)( )hhf x dxA fhA fA f h;(3)1121( )( 1)2 ( )3 () /3f x

17、dxff xf x;(4)20( )(0)( ) /1(0)( )hf x dxh ff hahff h.2. 分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:(1)120,84xdx nx;(2)1210(1),10 xedx nx;(3)91,4xdx n ;(4)260sin,6dx n.3. 直接验证柯特斯公式(2.4)具有 5 次代数精度.4. 用辛普森公式求积分10 xe dx并计算误差.5. 推导下列三种矩形求积公式:(1)2( )( )() ( )()2baff x dxba f aba ;(2)2( )( )() ( )()2baff x dxba f bba ;(3)3( )( )

18、() ()()224baabff x dxba fba .6. 证明梯形公式(2.9)和辛普森公式(2.11)当n 时收敛到积分( )baf x dx.7. 用复化梯形公式求积分( )baf x dx,问要将积分区间, a b分成多少等分,才能保证误差不超过(设不计舍入误差)?8. 用龙贝格方法计算积分102xe dx,要求误差不超过510.9. 卫星轨道是一个椭圆,椭圆周长的计算公式是22201 ( ) sincSada ,这里a是椭圆的半长轴,c是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离,记h为近地点距离,H为远地点距离,6371R 公里为地球半径,则(2)/2,()/2aRHhcHh.我国第

19、一颗人造卫星近地点距离439h 公里,远地点距离2384H 公里,试求卫星轨道的周长.10. 证明等式3524sin3!5!nnnn试依据sin(/ )(3,6,12)nn n的值,用外推算法求的近似值.精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业11. 用下列方法计算积分31dyy并比较结果.(1) 龙贝格方法;(2) 三点及五点高斯公式;(3) 将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式.12. 用三点公式和五点公式分别求21( )(1)f xx在x 1.0,1.1和1.2处的导数值,并估计误差.( )f x的值由下表给出:x1.01.11.21.31.4( )f x0.25000.22680

20、.20660.18900.1736第五章常微分方程数值解法1. 就初值问题0)0(,ybaxy分别导出尤拉方法和改进的尤拉方法的近似解的表达式，并与准确解bxaxy221相比较。2. 用改进的尤拉方法解初值问题, 1)0(; 10 ,yxyxy取步长 h=0.1 计算，并与准确解xexy21相比较。3. 用改进的尤拉方法解, 0)0(;2yyxxy取步长 h=0.1 计算)5 . 0(y，并与准确解12xxeyx相比较。4. 用梯形方法解初值问题, 1)0(; 0yyy证明其近似解为,22nnhhy并证明当0h时，它原初值问题的准确解xey。5. 利用尤拉方法计算积分dtext02在点2 ,

21、5 . 1 , 1 , 5 . 0 x的近似值。6. 取 h=0.2，用四阶经典的龙格库塔方法求解下列初值问题：1）, 1)0(; 10 ,yxyxy精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业2）. 1)0(; 10),1/(3yxxyy7. 证明对任意参数 t，下列龙格库塔公式是二阶的：).)1 (,)1 ();,();,();(213121321hKtyhtxfKthKythxfKyxfKKKhyynnnnnnnn8. 证明下列两种龙格库塔方法是三阶的：1）);32,32();3,3();,();3(423121311hKyhxfKKhyhxfKyxfKKKhyynnnnnnnn2）).4

22、3,43();2,2();,();432(9231213211hKyhxfKKhyhxfKyxfKKKKhyynnnnnnnn9. 分别用二阶显式亚当姆斯方法和二阶隐式亚当姆斯方法解下列初值问题：, 0)0(,1yyy取,181. 0, 0, 2 . 010yyh计算)0 . 1 (y并与准确解xey1相比较。10. 证明解),(yxfy 的下列差分公式)34(4)(211111nnnnnnyyyhyyy是二阶的，并求出截断误差的首项。11. 导出具有下列形式的三阶方法：).(22110221101nnnnnnnybybybhyayayay12. 将下列方程化为一阶方程组：1）; 1)0(,

23、1)0(, 023 yyyyy2）; 0)0(, 1)0(, 0)1 ( 1 . 02 yyyyyy3）,)(,)(2233yxrrytyrxtx . 2)0(, 0)0(, 0)0(, 4 . 0)0(yyxx13. 取 h=0.25，用差分方法解边值问题精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业 .68. 1) 1 (, 0)0(; 0yyyy14. 对方程),(yxfy 可建立差分公式),(2211nnnnnyxfhyyy试用这一公式求解初值问题 , 0) 1 ()0(; 1yyy验证计算解恒等于准确解.2)(2xxxy15. 取 h=0.2 用差分方法解边值问题 . 2) 1 (, 1

24、)0()0(; 363)1 (2yyyxyyxyx第六章方程求根1. 用二分法求方程012 xx的正根，要求误差0.05。2. 用比例求根法求0sin1)(xxxf在区间0,1内的一个根，直到近似根kx满足精度005. 0| )(|kxf时终止计算。3. 为求方程0123 xx在5 . 10 x附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式。1）2/11xx，迭代公式21/11kkxx；2）231xx，迭代公式3211kkxx；3）112xx，迭代公式1/11kkxx。试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似根。4. 比较求0210 xex的根到三位

25、小数所需的计算量；1）在区间0,1内用二分法；2) 用迭代法10/ )2(1xkkex，取初值00 x。5. 给定函数)(xf，设对一切)(,xfx存在且Mxfm)(0，证明对于范围内M/20的任意定数，迭代过程)(1kkkxfxx均收敛于)(xf的根x。6. 已知)(xx在区间a,b内只有一根，而当 axb 时，1| )(|kx，试问如何将)(xx化为适于迭代的形式？将tgxx 化为适于迭代的形式，并求 x=4.5（弧度）附近的根。7. 用下列方法求013)(3xxxf在20 x附近的根。根的准确值x1.，要求计算结果准确到四位有效数字。1) 用牛顿法；精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-

26、专业2）用弦截法，取9 . 1, 110 xx；3）用抛物线法，取2, 3, 1210 xxx。8. 用二分法和牛顿法求0tgxx的最小正根。9. 研究求a的牛顿公式, 0),(2101xxaxxkkk证明对一切axkk, 2 , 1且序列,21xx是递减的。10. 对于0)(xf的牛顿公式)(/ )(1kkkkxfxfxx，证明2211)/()(kkkkkxxxxR收敛到)(2/()( xfxf，这里x为0)(xf的根。11. 试就下列函数讨论牛顿法的收敛性和收敛速度：1); 0,; 0,)(xxxxxf2). 0,; 0,)(3232xxxxxf12. 应用牛顿法于方程02 ax，导出求立

27、方根3a的迭代公式，并讨论其收敛性。13. 应用牛顿法于方程01)(2xaxf，导出求a的迭代公式，并用此公式求115的值。14. 应用牛顿法于方程0)(axxfn和01)(nxaxf，分别导出求na的迭代公式，并求.)/()(lim21knknkxaxa15. 证明迭代公式axaxxxkkkk2213)3(是计算a的三阶方法。假定初值0 x充分靠近根x，求.)/()(lim31kkkxaxa第七章解线性方程组的直接方法1. 考虑方程组：;2557. 03927. 02786. 04002. 01784. 0;4240. 00643. 03781. 01920. 03645. 0;1550.

28、01129. 04015. 03872. 02246. 0;4043. 02943. 03678. 01234. 04096. 04321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx(a) 用高斯消去法解此方程组（用四位小数计算） ，精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业(b) 用列主元消去法解上述方程组并且与(a)比较结果。2. (a) 设 A 是对称阵且011a，经过高斯消去法一步后，A 约化为21110AaaT证明 A2是对称矩阵。(b)用高斯消去法解对称方程组：.8621. 02147. 14759. 08468. 0;7321. 14759. 08423. 13475

29、. 0;4127. 08468. 03475. 06428. 0321321321xxxxxxxxx4. 设 A 为 n 阶非奇异矩阵且有分解式 A=LU，其中 L 为单位下三角阵，U 为上三角阵，求证A 的所有顺序主子式均不为零。5. 由高斯消去法说明当) 1, 2 , 1(0nii时， 则 A=LU， 其中 L 为单位下三角阵， U 为上三角阵。6. 设 A 为 n 阶矩阵，如果), 2 , 1( |1niaanijjijii称 A 为对角优势阵。证明：若 A 是对角优势阵，经过高斯消去法一步后，A 具有形式21110AaaT。7. 设 A 是对称正定矩阵，经过高斯消去法一步后，A 约化为

30、21110AaaT，其中;)(,)(1)2(2nijnijaAaA证明 （1）A 的对角元素);, 2 , 1(0niaii（2）A2是对称正定矩阵；（3）);, 2 , 1( ,)(niaaiinn（4）A 的绝对值最大的元素必在对角线上；（5）|;|max|max,2)2(,2ijnjiijnjiaa（6）从（2） ， （3） ， （5）推出，如果1|ija，则对所有 k. 1|)(kija8. 设kL为指标为 k 的初等下三角阵，即1111, 1nkkkkmmL（除第 k 列对角元下元素外，和单位阵 I 相同）求证当kji,时，ijkijkILIL 也是一个指标为 k 的初等下三角阵，其

31、中ijI为初等排精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业列阵。9. 试推导矩阵 A 的 Crout 分解 A=LU 的计算公式，其中 L 为下三角阵，U 为单位上三角阵。10. 设dUx ，其中 U 为三角矩阵。(a) 就 U 为上及下三角矩阵推导一般的求解公式，病写出算法。(b) 计算解三角形方程组dUx 的乘除法次数。(c) 设 U 为非奇异阵，试推导求1U的计算公式。11. 证明（a）如果 A 是对称正定阵，则1A也是正定阵；（b）如果 A 是对称正定阵，则 A 可唯一写成LLAT,其中 L 是具有正对角元的下三角阵。12. 用高斯约当方法求 A 的逆阵：510124217013131

32、2A13. 用追赶法解三对角方程组bAx ，其中00001,2100012100012100012100012bA14. 用改进的平方根法解方程组.654131321112321xxx15. 下述矩阵能否分解为 LU（其中 L 为单位下三角阵，U 为上三角阵）？若能分解，那么分解是否唯一？.461561552621,133122111,764142321CBA16. 试划出部分选主元素三角分解法框图，并且用此法解方程组321212111430321xxx.17. 如果方阵 A 有)|(|0tjiaij， 则称 A 为带宽 2t+1 的带状矩阵， 设 A 满足三角分解条件，试推导LUA 的计算公

33、式，对., 2 , 1nr1）1), 1max(rtikkirkririulau),min(, 1,(trnrri；2）rrrtikkrikiriruulal/ )(1), 1max(),min(, 1(trnri.18. 设精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业3 . 01 . 05 . 06 . 0A，计算 A 的行范数，列范数，2-范数及 F-范数。19. 求证(a)|1xnxx，(b)FFAcAAn|122。20. 设nnRP且非奇异，又设| x为nR上一向量范数，定义|Pxxp。试证明px |是nR上的一种向量范数。21. 设nnRA为对称正定阵，定义2/1),(|xAxxA，试

34、证明Ax |为nR上向量的一种范数。22. 设TnnxxxxRx),(,21，求证|max)|(lim11/1xxxniinippiy。23. 证明：当且尽当 x 和 y 线性相关且0yxT时，才有222|yxyx。24. 分别描述2R中（画图）), 2 , 1(, 1|2vRxxxSvv。25. 令是nR（或nC）上的任意一种范数，而 P 是任意非奇异实（或复）矩阵，定义范数| |Pxx，证明| |1PAPA。26. 设tsAA| ,|为nnR上任意两种矩阵算子范数，证明存在常数0,21cc，使对一切nnRA满足stsAcAAc|2127. 设nnRA，求证AAT与TAA特征值相等，即求证)

35、()(TTAAAA。28. 设 A 为非奇异矩阵，求证|min|101yAAy。29. 设 A 为非奇异矩阵，且1|1AA，求证1)( AA存在且有估计.|)(1|)(|)(|111AAAcondAAAcondAAAA30. 矩阵第一行乘以一数，成为精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业112A。证明当32时，)(Acond有最小值。31. 设 A 为对称正定矩阵，且其分解为WWLDLATT，其中TLDW2/1，求证(a);)()(222condAcond(b).)()()(222condcondAcondT32. 设989999100A计算 A 的条件数。), 2()(vAcondv33

36、. 证明：如果 A 是正交阵，则1)(2Acond。34. 设nnRBA,且为上矩阵的算子范数，证明)()()(BcondAcondABcond。第八章解方程组的迭代法1. 设方程组3103220241225321321321xxxxxxxxx(a) 考察用雅可比迭代法,高斯-塞德尔迭代法解此方程组的收敛性;(b) 用雅可比迭代法,高斯-塞德尔迭代法解此方程组,要求当4)()1(10|kkxx时迭代终止2. 设0200A, 证明:即使1|1AA级数kAAAI2也收敛3. 证明对于任意选择的 A, 序列,! 41,! 31,21,432AAAAI收敛于零. 设方程组;22221211212111

37、bxaxabxaxa);0,(1211aa迭代公式为);(1);(1)1(121222)(2)1(212111)(1kkkkxabaxxabax)., 2 , 1(k求证: 由上述迭代公式产生的向量序列)(kx收敛的充要条件是精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业. 122112112aaaar5. 设方程组(a)38 . 04 . 028 . 04 . 014 . 04 . 0321321321xxxxxxxxx(b)1221122321321321xxxxxxxxx试考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯-塞德尔迭代法的收敛性。6. 求证AAkklim的充要条件是对任何向量 x，都有.li

38、mAxxAkk7. 设bAx ，其中 A 对称正定，问解此方程组的雅可比迭代法是否一定收敛？试考察习题5(a)方程组。8. 设方程组.214141;214141;214141;214141421321432431xxxxxxxxxxxx(a) 求解此方程组的雅可比迭代法的迭代矩阵0B的谱半径；(b) 求解此方程组的高斯塞德尔迭代法的迭代矩阵的谱半径；(c) 考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯塞德尔迭代法的收敛性。9. 用 SOR 方法解方程组（分别取松弛因子1 . 1, 1,03. 1）. 34; 44; 143232121xxxxxxx精确解,)21, 1 ,21(Tx要求当6)(105|k

39、xx时迭代终止，并且对每一个值确定迭代次数。10. 用 SOR 方法解方程组（取0.9）. 31032;2024;1225321321321xxxxxxxxx要求当4)()1(10|kkxx时迭代终止。11. 设有方程组bAx ，其中 A 为对称正定阵，迭代公式),()()()1(kkkAxbxx), 2 , 1 , 0(k试证明当20时上述迭代法收敛（其中)(0A） 。精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业12. 用高斯塞德尔方法解bAx ，用)1( kix记)1( kx的第 i 个分量，且nijkiijijkjijikixaxabr)(11) 1() 1(。(a) 证明ikikikia

40、rxx)1()()1(；(b) 如果xxkk)()(，其中x是方程组的精确解，求证：iikikikiar)1()()1(其中nijkiijijkjijkiaar)(11)1()1(。(c) 设 A 是对称的，二次型),()()()()(kkkAQ证明njjjkjkkarQQ12)1()()1()()()(。(d) 由此推出，如果 A 是具有正对角元素的非奇异矩阵，且高斯塞德尔方法对任意初始向量)0(x是收敛的，则 A 是正定阵。13. 设 A 与 B 为 n 阶矩阵，A 为非奇异，考虑解方程组,221121bAzBzbBzAz其中nRddzz2121,。(a) 找出下列迭代方法收敛的充要条件)

41、;0(,)(12)1(2)(21)1(1mBzbAzBzbAzmmmm(b) 找出下列迭代方法收敛的充要条件);0(,)1(12)1(2)(21)1(1mBzbAzBzbAzmmmm比较两个方法的收敛速度。14. 证明矩阵111aaaaaaA对于121a是正定的，而雅可比迭代只对2121a是收敛的。15. 设7030121340203215A，试说明 A 为可约矩阵。16. 给定迭代过程，gCxxkk)()1(，其中), 2 , 1 , 0(kRCnn，试证明：如果 C 的特征值), 2 , 1(0)(iCi，则迭代过程最多迭代 n 次收敛于方程组的解。17. 画出 SOR 迭代法的框图。18

42、. 设 A 为不可约弱对角优势阵且10，求证：解bAx 的 SOR 方法收敛。19. 设bAx ，其中 A 为非奇异阵。精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业(a) 求证AAT为对称正定阵；(b) 求证222)()(AcondAAcondT。第九章矩阵的特征值与特征向量计算1. 用幂法计算下列矩阵的主特征值及对应的特征向量：(a)3121432371A,(b)1333643432A,当特征值有 3 位小数稳定时迭代终止。2. 方阵 T 分块形式为nnnnTTTTTTT22211211,其中), 2 , 1(niTii为方阵，T 称为块上三角阵，如果对角块的阶数至多不超过 2，则称T 为准三

43、角形形式，用)(T记矩阵 T 的特征值集合，证明. )()(1niiiTT3. 利用反幂法求矩阵111132126的最接近于 6 的特征值及对应的特征向量。4. 求矩阵310130004与特征值 4 对应的特征向量。5. 用雅可比方法计算0 . 225. 05 . 025. 00 . 10 . 15 . 00 . 10 . 1A的全部特征值及特征向量，用此计算结果给出例 3 的关于 p 的最优值。6.(a)设 A 是对称矩阵，和) 1|(|2xx是 A 的一个特征值及相应的特征向量，又设 P为一个正交阵，使TePx)0 , 0 , 1 (1证明TPAPB 的第一行和第一列除了外其余元素均为零。

44、(b)对于矩阵精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业118285102102A,=9 是其特征值，Tx32,31,32是相应于 9 的特征向量，试求一初等反射阵 P，使1ePx ，并计算TPAPB 。7. 利用初等反射阵将124213431A正交相似约化为对称三对角阵。8. 设nnRA，且11,jiaa不全为零，ijP为使0)2(1ja的平面旋转阵，试推导计算APij第i行，第 j 行元素公式及TijAP第 i 列，第 j 列元素的计算公式。9. 设1nA是由豪斯荷尔德方法得到的矩阵，又设 y 是1nA的一个特征向量。(a)证明矩阵 A 对应的特征向量是yPPPxn 221；(b)对于给出

45、的 y 应如何计算 x？10. 用带位移的 QR 方法计算(a)310112021A,(b)110121013B全部特征值。11. 试用初等反射阵 A 分解为 QR，其中 Q 为正交阵，R 为上三角阵，542112111A。精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业数值分析习题答案第一章绪论习题参考答案1（lnx）*()()rxxx。21*()()()()0.02nnnrnnn xxxnxxnxxx。3*1x有 5 位有效数字，*2x有 2 位有效数字，*3x有 4 位有效数字，*4x有 5 位有效数字，*5x有 2 位有效数字。4*4333124124()()()()0.5 100.5 10

46、0.5 101.05 10 xxxxxx*123231132123()()()()0.214790825x x xx xxx xxx xx*62224*24441()()()8.855668 10 xxxxxxx。533323131( )1( )()( )/( )0.003333436433rrrVVVRVVVV。633100111()100101010022Y。712878355.982x ，211287830.0178655.98228783x 。821arc12NdxtgNx9121( )()( )0.0052xSSS。10( )( )0.1Sg ttg t，2( )2 ( )0.2(

47、)12rg tttSttgt，故 t 增加时 S 的绝对误差增加，相对误差减小。111081001()10()102yy，计算过程不稳定。精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业126( 21)0.005051f ，如果令21.4，则61( 21)0.004096f ，2610.005233( 21)f ，33(32 2)0.008f ，4310.005125(32 2)f ，59970 21f ，4f的结果最好。13(30)4.094622f ，开 平 方 时 用 六 位 函 数 表 计 算 所 得 的 误 差 为41102，分别代入等价公式)1xx(ln)x(f),1xx(ln)x(f2

48、221中计算可得2431221()ln(1)(1)60103 10211fxxxxxx ，4722211()ln(1)108.33 1060211fxxxx。14方程组的真解为1210000000009999999981.000000,1.000000999999999999999999xx，而无论用方程一还是方程二代入消元均解得121.00,1.00 xx，结果十分可靠。15sinsincostansinsbc aac babc cabcccsabcabc 第二章插值法习题参考答案1.1010)()()(nijjiniinxxxxxV；101101)(),(nijjinnxxxxxV.2.)

49、 12)(12() 1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11 ()2)(1(0)(2xxxxxxxL3723652xx.3. 线性插值：取510826. 0,693147. 0, 6 . 0, 5 . 01010yyxx，则620219. 0)54. 0()54. 0(54. 0ln0010101xxxyyyL；二次插值：取510826. 0,693147. 0,916291. 0, 6 . 0, 5 . 0, 4 . 0210210yyyxxx，则)54. 0(54. 0ln2L)()54. 0)(54. 0()()54. 0)(54. 0()()54. 0)(54. 0

50、(120210221012012010210 xxxxxxyxxxxxxyxxxxxxy0. .精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业4.)()(21)()()(1011xxxxfxLxfxR ，其中,10 xx.所以总误差界| )( |max| )(sco|max21| )(|1011010 xxxxxxRxxxxxx 822011006. 1180601814)(121xx.5.)()()()()(3212023102xxxxxxxxxxxxxl当hxx3740时，取得最大值277710| )(|max230 xlxxx.6. i) 对), 1 , 0( ,)(nkxxfk在nxxx,

51、10处进行 n 次拉格朗日插值，则有)()(xRxPxnnk)()()!1(1)(0)1(0nnnikjjxxxxfnxxl由于0)()1(nf，故有knikjjxxxl0)(.ii) 构造函数,)()(ktxxg在nxxx,10处进行 n 次拉格朗日插值，有nijkjnxltxxL0)()()(.插值余项为njjnnkxxngxLtx0)1()()!1()()()(，由于)., 2 , 1( , 0)()1(nkgn故有. )()()()(0nijkjnkxltxxLtx令, xt 即得nijkjxltx00)()(.7. 以 a, b 两点为插值节点作)(xf的一次插值多项式)()()()

52、()(1axabafbfafxL，据余项定理，,),)()(21)()(1babxaxfxLxf ，由于, 0)()(bfaf故. | )(|max)(81| )( |max| )(|max21| )(| )()(|21xfabbxaxxfxfxLxfbxabxabxa 8. 截断误差.4 , 4),)()(61)(2102xxxxxxexR精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业其中,1210hxxhxx则hxx331时取得最大值321044392| )()( |maxhxxxxxxx.由题意，,10)392(61| )(|6342hexR所以，.006. 0h9.,221nnny,2)2

53、2()22(1122nnnnnny则可得.2)(224nnnyy2/12/122nnny，11122)22()22(nnnnnny，则可得.2)(2224nnnyy10.数学归纳法证当1k时，)()()(xfhxfxf为 m1 次多项式；假设)0)(mkxfk是 m-k 次多项式，设为)(xg，则)()()(1xghxgxfk为 m-(k+1)次多项式，得证。11. 右)()(111kkkkkkffgggfkkkkgfgf11左12.,1111121001010nnnnnkkkgfgfgfgfgfgfgf.121221011101nnnnknkkgfgfgfgfgfgffg13.102njjy

54、)()()()()()(1112230112nnnnyyyyyyyyyyyy0011)()(yyyyyynnn.14. 由于nxxx,21是)(xf的 n 个互异的零点，所以)()()(210nxxxxxxaxf, )()()(1010njiiijniixxxxaxxa对)(xf求导得njiinjiiijixxxxxxaxf010) )()()()(，则njiiijjxxaxf10)()(，精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业.)(1)(1110njnjnjiiijkjjkjxxxaxfx记,)(kkxxg则. 1,)!1(, 20 , 0)()1(nknnkxgn由以上两式得,1)()

55、(1)(2101110nknjnjnjiiijjkjkjxxxgaxxxgaxfx. 1, 20 , 0)!1()(110)1(0nkankngank15. i)njnjjjjjjjnxxxxxxxxxFxxxF011010)()()()(,)()()()(100110nnjnjjjjjjjxxxfcxxxxxxxxxfc.ii) 证明同上。16.; 1! 7! 7! 7)(2 ,2 ,2)7(710ff. 0! 7)(2 ,2 ,2)8(810ff17., 0)()()(3jjjxpxfxR. 1, 0)()()(3kkjxpxfxRjjj即1,kkxx均为)(3xR的二重零点。因而有形式：

56、.)()()(2123kkxxxxxKxR作辅助函数.)()()()()(212kkxtxtxKtptft则. 0)(, 0)(, 0)(, 0)(, 0)(11kkkkxxxxx由罗尔定理，存在),(),(121kkxxxx使得. 0)(, 0)(21类似再用三次罗尔定理，存在),(),(121kkxx使得, 0)()4(又),(! 4)()()4()4(xKtft可得, ! 4)()()4(fxK即).,(., ! 4)()()(1212)4(3kkkkxxxxxxfxR18. 采用牛顿插值，作均差表：精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业ix)(ixf一阶均差二阶均差01201110

57、-1/2,)(,)()()(210101000 xxxfxxxxxxfxxxpxp)()()(210 xxxxxxBxA)2)(1()()2/1)(1(0 xxxBxAxxx又由, 1) 1 (, 0)0(pp得,41,43BA所以.)3(4)(22xxxp19. 记.,khaxnabhk则.,)()()(11111iiiiiiiiiinxxxxxxxxfxxxxxfx因为,)(baCxf，所以)(xf在,ba上一致连续。当Nn 时，nabh，此时有| )()(|maxmax| )()(|max110 xxfxxfnxxxninbxaiiiiiiiiiixxxnixxxxxfxxxxxfxfi

58、i111110)()()(maxmax1iiiiiiiixxxnixxxxxfxfxxxxxfxfii111110)()()()(maxmax1.maxmax111101iiiiiixxxnixxxxxxxxii由定义知当n时，)(xn在,ba上一致收敛于)(xf。20.)(xIh在每个小区间,1kkxx上表示为).( ,)(11111kkkkkkkkkkhxxxfxxxxfxxxxxI计算各值的 C 程序如下：#includestdio.h#includemath.hfloat f(float x) return(1/(1+x*x);float I(float x,float a,float

59、 b)return(x-b)/(a-b)*f(a)+(x-a)/(b-a)*f(b);精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业void main() int i;float x11,xc,xx;x0=-5;printf(x0=%fn,x0);for(i=1;i=10;i+) xi=xi-1+1;printf(x%d=%fn,i,xi);for(i=0;i10;i+) xc=(xi+xi+1)/2;I(xc,xi,xi+1);printf(I%d=%fn,i+1,I(xc,xi,xi+1);for(i=0;i0 ，221/caa0 ， 则 对 任 意n nAR， 均 有 不 等 式121200

60、021maxmaxmaxstsstsstsxxxstsa AxAxaAxc AAcAaxxa x。27若()TA A， 则0,TxA Axx 就 有()TAAAxAx， 可 推 出()TAA即()()TTA AAA，同理可以推出()()TTAAA A，综合这两点即可得()()TTA AAA。28111100011/maxminminyxA xA xxAyxyAA x。29111AAAA，则111()1/1IAAAA，故1()AA存在，1111111111( )()()11( )Acond AAAAAIAAAAAAAAAAAAcond AA。301( )cond AAA，当2/3时，( )36c