高等动力学第二章2.3

1、2.3 2.3 阿佩尔方程和凯恩方程阿佩尔方程和凯恩方程2.3 阿佩尔方程 阿佩尔方程是处理非完整系统的经典方法之一，其阿佩尔方程是处理非完整系统的经典方法之一，其理论基础是以准速度作为系统的独立变量，代替传统使理论基础是以准速度作为系统的独立变量，代替传统使用的广义坐标。用的广义坐标。准速度和准坐标准速度和准坐标阿佩尔方程阿佩尔方程刚体的加速度能量刚体的加速度能量1.准速度和准坐标 设质点系由设质点系由N N个质点个质点P Pi i（i=1,2i=1,2，N N）组成，且）组成，且存在存在r r个完整约束和个完整约束和s s个线性非完整约束。选择个线性非完整约束。选择l=3N-rl=3N-r

2、个广义坐标个广义坐标q qj j（j=1,2, j=1,2, ，l l）描述系统的位形。）描述系统的位形。）（），）所示：（的非完整约束方程如式限制广义速度1 . 3 . 2, 2 , 1(013. 1 . 101skBqBqkjljkjj式中系数式中系数B Bkjkj，B Bk0k0的定义见式的定义见式P7P7（1.1.141.1.14）。）。 在普遍情况下，可构造出在普遍情况下，可构造出f f个相互独立的广义速度的个相互独立的广义速度的线性组合作为独立变量，记作线性组合作为独立变量，记作u uv v（v=1,2, v=1,2, ，f f）（，2 . 3 . 2)21(10ljvjvjvfv

3、fqfu式中系数式中系数f fvjvj，f fv0v0均为均为q qj j和和t t的函数。的函数。准速度：准速度：具有速度量纲的变量具有速度量纲的变量u uv v。可在形式上写作。可在形式上写作 此方程通常不可积。此方程通常不可积。) 3 . 3 . 2()21(fvuvv，变量变量v v（v=1,2v=1,2，f f）通常只具有坐标形式而）通常只具有坐标形式而无物理意义，称为无物理意义，称为准坐标准坐标。 只有在准速度等于广义速度的特殊情形时，只有在准速度等于广义速度的特殊情形时，准坐标才等于广义坐标。准坐标才等于广义坐标。一般情况下，不可能用一般情况下，不可能用准坐标表示系统的位形。准坐

4、标表示系统的位形。 由于（由于（2.3.12.3.1）和（）和（2.3.22.3.2）各式均相互独立，构）各式均相互独立，构成成l l个线性无关的代数方程组。个线性无关的代数方程组。，得到从中解出jq ）（，4 . 3 . 2)21(10ljhuhqfvjvjvj注意注意将上式对将上式对t t再微分一次，得到再微分一次，得到）（），（无关项与5 . 3 . 221)(1ljuuhqfvvvjvj 式中参数式中参数h hjvjv应满足应满足）（，；，6 . 3 . 2)2121(fvljuquqhvjvjjv 2.阿佩尔方程 列出虚功率形式的动力学普遍方程列出虚功率形式的动力学普遍方程P15P1

5、5（1.2.61.2.6），），限制虚速度为无限小量，将变更符号改用变分限制虚速度为无限小量，将变更符号改用变分符号符号代替。得到代替。得到)7 . 3 . 2(0)(1iNiiiirrmF ）（，（，；，完全确定由广义速度，各质点的速度8 . 3 . 221)()21(2121NitqqqqqqrrqNirljiij)9 . 3 . 2()21(1Niqqrrjljjii，利用上式计算各个质点在同一时间同一位置的速度变利用上式计算各个质点在同一时间同一位置的速度变分，得到分，得到)10. 3 . 2(4 . 3 . 21fvvjvjvjuhquq表示为以准速度变分）可将其中的利用式（）（，（

6、无关项与11. 3 . 221)(1Niqqqrrjjljjii 将式（将式（2.3.82.3.8）对）对t t再微分一次。得到再微分一次。得到利用上式及利用上式及P20P20（1.3.16a1.3.16a）导出）导出）（，；，12. 3 . 2)2121(ljNiqrqrqrjijiji 将式（将式（2.3.92.3.9），（），（2.3.102.3.10）和（）和（2.3.122.3.12）代入动力）代入动力学普遍方程（学普遍方程（2.3.72.3.7），适当改变求和顺序，得到），适当改变求和顺序，得到)13. 3 . 2(0 )()(11111vfvljNijvljjiiijvNijii

7、uhqrrmhqrF 上式第一项圆括号内的求和式即式上式第一项圆括号内的求和式即式P18P18（1.3.41.3.4）所）所定义的广义力定义的广义力Q Qj j（1,21,2，l l）。）。将式（将式（2.3.62.3.6）代入上式第二项圆括号，化作）代入上式第二项圆括号，化作)14. 3 . 2()2121(11fvNiuruqqrhqrvivjljjijvljji，；， 则式（则式（2.3.132.3.13）化作）化作)15. 3 . 2(0)(111vfvljNiviiijvjuurrmhQ 引入以下物理量：引入以下物理量：）（，16. 3 . 2)21(1ljjvjvfvhQQ)17.

8、 3 . 2(211iiiNirrmG 对应的广义力称为与准速度，vvufvQ)21( G G称为质点系的称为质点系的加速度能量加速度能量或或吉布斯吉布斯函数，是系函数，是系统的另一类动力学函数。它与动能的表达式形式上相统的另一类动力学函数。它与动能的表达式形式上相似，但不具有能量的含意，只是用加速度代替了动能似，但不具有能量的含意，只是用加速度代替了动能中的速度。中的速度。)18. 3 . 2(0)(1vfvvvuuGQ可将利用上述物理量方程（可将利用上述物理量方程（2.3.152.3.15）写作）写作由于由于u uv v（v=1,2, v=1,2, ，l-sl-s）为独立变分，方程）为独立

9、变分，方程（2.3.182.3.18）成立的充分必要条件为各变分前的系数为）成立的充分必要条件为各变分前的系数为零，从而导出零，从而导出f f个独立的运动微分方程个独立的运动微分方程)19. 3 . 2()21(fvQuGvv，上式由阿佩尔于上式由阿佩尔于18991899年导出，称为年导出，称为阿佩尔方程阿佩尔方程。例例2.5 2.5 滑块滑块A A及悬挂在滑块上的单摆及悬挂在滑块上的单摆B B组成的系统，摆组成的系统，摆长为长为l l，滑块和摆的质量分别为，滑块和摆的质量分别为m mA A，m mB B，滑块受弹簧，滑块受弹簧约束且受粘性摩擦力作用，弹簧刚度系数为约束且受粘性摩擦力作用，弹簧

10、刚度系数为k,k,粘性粘性摩擦系数为摩擦系数为c c。试用阿佩尔方程建立滑块。试用阿佩尔方程建立滑块- -单摆系统单摆系统的运动微分方程。的运动微分方程。能量为图所示。系统的加速度的加速度如和摆，滑块，取作准速度，令的导数，解：将广义坐标BAuxux21)()()sincos(221)(21)sin()cos(212122222222ax llmxmmxlxlmxmGBBABA与加速度无关项 为计算广义力，先列出全为计算广义力，先列出全部作用力的虚功率，部作用力的虚功率，)(sin)(bglmxkxxcPB)(sin)(cglmQQkxxcQQBxx，将式（将式（a a）和（）和（c c）代入

11、阿佩尔方程（）代入阿佩尔方程（2.3.192.3.19），得到），得到与例与例1.101.10相同的运动微分方程。相同的运动微分方程。对于准速度即广义速度的特殊情形，准速度对应的对于准速度即广义速度的特殊情形，准速度对应的广义力与广义坐标对应的广义力完全相同。由上式广义力与广义坐标对应的广义力完全相同。由上式导出导出3.刚体的加速度能量iciiprrm 速度和由转动引起的相对加质心加速度可分解为的质点的加速度刚体内质量为)20. 3 . 2(iciprr 对于刚体作平面运动的特殊情形，刚体的角速度对于刚体作平面运动的特殊情形，刚体的角速度垂直此平面，质点的相对加速度可分解为切向和垂直此平面，质

12、点的相对加速度可分解为切向和径向分量。设径向分量。设v vc c为刚体的质心速度，则有为刚体的质心速度，则有)22. 3 . 2(02ciiiiiiiiJmmmm，式中式中e et t，e er r为质点相对质心为质点相对质心O Oc c的切向和径向基矢量。的切向和径向基矢量。将式（将式（2.3.212.3.21）代入式（）代入式（2.3.202.3.20）和（）和（2.3.172.3.17），展），展开后考虑开后考虑e er r，e et t正交，设刚体质量为正交，设刚体质量为m m，相对质心的，相对质心的转动惯量为转动惯量为J Jc c，令，令)21. 3 . 2(2ritiiccewew

13、pvr 因此作因此作平面运动平面运动刚体的刚体的加速度能量加速度能量等于等于质心运动质心运动与绕质心转动的加速度能量与绕质心转动的加速度能量之和，与计算刚体动能之和，与计算刚体动能的柯尼希定理相似。的柯尼希定理相似。对于作对于作任意运动任意运动的刚体，其加速度能量的计算公的刚体，其加速度能量的计算公式将在第四章式将在第四章4.34.3中导出。中导出。)23. 3 . 2()()(2122与加速度无关项wJvmGcc导出加速度能量的计算公式导出加速度能量的计算公式出的约束方程解出给，从例，3 . 121uxuc)(tanaxycc 例例2.6 2.6 在倾角为在倾角为的冰面上运动的冰刀，简化为长

14、度的冰面上运动的冰刀，简化为长度为为l l的均质杆的均质杆ABAB，其质心，其质心0c0c的速度方向保持与刀刃的速度方向保持与刀刃ABAB一一致。试利用阿佩尔方程建立冰刀的运动微分方程。致。试利用阿佩尔方程建立冰刀的运动微分方程。解：将广义坐标中的解：将广义坐标中的x xc c，?的的导数取作准速度，令导数取作准速度，令）（，bQmgQQ0sin-0321与广义坐标与广义坐标x xc c，y yc c，?对应的广义力依次为对应的广义力依次为代入式（代入式（2.3.162.3.16），令），令h h1111=1=1，h h1212=tan=tan?，h h3232=1=1，其余，其余h hjvjv为零，为零，导出导出) c (0tansin21QmgQ，)(sectan2dxxyccc 将约束方程（将约束方程（a a）对）对t t微分一次，化作微分一次，化作利用式（利用式（2.3.232.3.23）计算冰刀的加速度能量）计算冰刀的加速度能量