高一数学二次函数在闭区间上的最值

1、郑琨教材的地位和作用教材的地位和作用 最值是函数性质中最重要的性质，最值是函数性质中最重要的性质，而二次函数是生活中应用最广泛的一种而二次函数是生活中应用最广泛的一种函数，在高中代数中占有重要的地位，函数，在高中代数中占有重要的地位，具有承上启下的作用。因此掌握二次函具有承上启下的作用。因此掌握二次函数的最值是研究函数性质的重中之重。数的最值是研究函数性质的重中之重。例例1 1：已知函数：已知函数（1 1）若）若xx22，00，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（2 2）若）若xx 2 2，4 4 ，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（3 3）若）若xx ，求函数，求函

2、数f(x)f(x)的最值；的最值； 25,2123,21 （4 4）若）若x x ，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值； 32)(2xxxf例例1：已知函数：已知函数f(x)= x22x 3.（1）若）若x 2，0 , 求函数求函数f(x)的最值；的最值；解：画出函数在定义域内的图像如图解：画出函数在定义域内的图像如图对称轴为直线对称轴为直线x=1，f(1)=-4由图知，由图知，y=f(x)在在 2，0 上为减函数上为减函数 故故x=-2时有最大值时有最大值f(-2)=5 x=0时有最小值时有最小值f(0)=-3例例1、已知函数、已知函数f(x)= x2 2x 3.（1）若）若x 2

3、，0 ，求函数，求函数f(x)的最值；的最值；（2）若）若x 2，4 ，求函数，求函数f(x)的最值；的最值；解：由图知，解：由图知，y=f(x)在在 2，4 上为增上为增函数函数 故故x=4时有最大值时有最大值f(4)=5 x=2时有最小值时有最小值f(2)=-3例例1 1、已知函数、已知函数f(x)= xf(x)= x2 2 2x 3.2x 3.（1 1）若）若xx 2 2，00，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（2 2）若）若xx 2 2，44，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值； （3）若）若x ,求函数求函数f(x)的最值；的最值；25,21解解:由图知，由图

4、知，x= 时有最大值时有最大值 x=1时有最小值时有最小值f(1)=-45253( )124f 例例1 1、已知函数、已知函数f(x)= xf(x)= x2 2 2x 32x 3（1 1）若）若xx22，00，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（2 2）若）若xx 2 2，4 4 ，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（3 3）若）若xx ，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值； 25,2123,21 （4 4）若）若x x ，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值； 解：由图知，解：由图知，x= 时有最大值时有最大值 x=1时有最小值时有最小值f(1)=-

5、41213()124f 例例1 1、已知函数、已知函数f(x)= xf(x)= x2 2 2x 32x 325,2123,21 （4 4）xx （1）x2，0（2）x 2，4 （3）x 思考：通过以上几题，你发现二次函数在区间思考：通过以上几题，你发现二次函数在区间m，n上的最值通常在哪里取到？上的最值通常在哪里取到？总结总结：求二次函数：求二次函数f(x)=axf(x)=ax2 2+bx+c+bx+c在在mm，nn上上 上的最值或值域的一般方法是：上的最值或值域的一般方法是： （1）检查检查x= 是否属于是否属于 m，n；ab2（2 2）当）当 m m，nn时，时，f(m)f(m)、f(n)

6、f(n)中的较大中的较大 者是最大值，较小者是最小值者是最大值，较小者是最小值. .ab2ab2ab2（3 3）当）当 mm，nn时，以开口向上为例，时，以开口向上为例，f( )f( ) 为最小值，离对称轴远的端点值为最大值为最小值，离对称轴远的端点值为最大值 也可简单看成也可简单看成f(m)f(m)、f(n)f(n)、f( )f( )中的较中的较 大者是最大值大者是最大值, ,较小者是最小值；较小者是最小值；ab2 思考：思考：如何如何 求函数求函数y=x2-2x-3在在 xk,k+2时的最值时的最值?解析解析: 因为函数因为函数 y=x2-2x-3=(x-1)2-4的对称的对称 轴为轴为

7、x=1 固定不变固定不变,要求函数的最值要求函数的最值, 即要看区间即要看区间k,k+2与对称轴与对称轴 x=1的位的位 置置,则从以下几个方面解决如图则从以下几个方面解决如图: 例例2: 求函数求函数y=x2-2x-3在在xk,k+2时时的最值的最值 当当k+21即即k -1时时 f(x)min=f(k+2)=（k+2)2-2(k+2)-3 =k2+2k-3f(x)max=f(k)=k2-2k-3 当当 k 1 k+2 时时 即即-1 k 1时时f(x)min=f(1)=- 4当当f(k)f(k+2)时，时，即即k2-2k-3 k2+2k-3 即即-1k0时时f(x)max=f(k)=k2-

8、2k-3当当f(k) f(k+2)时，时，即即k2-2k-3 k2+2k-3 即即0 k1时时f(x)max=f(k+2)=（k+2)2-2(k+2)-3 =k2+2k-3 当当k 1 时时 f(x) max=f(k+2)=k2+2k-3f(x) min=f(k)=k2-2k-3 例例2: 求函数求函数y=x2-2x-3在在xk,k+2时的最值时的最值 当当k -1时时 当当-1k 0时时 f(x)max=f(k)=k2-2k-3当当0 k1时时f(x)max=f(k+2)=k2+2k-3f(x)min=f(1)=- 4f(x)min=f(1)=- 4f(x)min=f(k+2)=k2+2k-3f(x)ma