梯形中位线与面积

1、天材教育学科教师辅导讲义讲义编号： 学员编号： 年 级：初二 课时数： 3学员姓名： 辅导科目：数 学 学科教师：课 题梯形中位线与面积授课时间：备课时间：教学目标1、掌握平行线等分线段定理，三角形、梯形中位线定理，三角形一边中点 且平行另一边的直线平分第三边，过梯形一腰的中点且平行底的直线平分另一腰的定理；2、 使学生了解面积的概念，掌握三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的面积公式，等底等高的三角形面积相等的性质，会用面积公式解决一些几何中的简单问题；3、使学生掌握几何证题中的平移、旋转、翻折三种变换。重点、难点三角形，梯形中位线定理的应用，添加适当的辅助线来解有关梯形的几何题考点

2、及考试要求三角形，梯形中位线定理的应用，添加适当的辅助线来解有关梯形的几何题教学内容第一部分 梯形中位线与面积考查重点与常见题型1 考查中位线、等分线段的性质，常见的以选择题或填空题形式，也作为基础知识应用，如：一个等腰梯形的周长是100cm，已知它的中位线与腰长相等，则这个题型的中位线是 2 考查几何图形面积的计算能力，多种题型出现，如：三角形三条中位线的长分别为5厘米，12厘米，13厘米，则原三角形的面积是 厘米23 考查形式几何变换能力，多以 中档解答题形式出现预习练习1顺次连结对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是（ ）（A） 矩形 （B）等腰梯形 （C）菱形 （D）正方形2在四边形

3、ABCD中，ACBD，厘米顺次连结四边形ABCD各边中点所得的四边形一定是（ ）（A）平行四边形 （B）矩形 （C）正方形 （D）菱形3正方形的对角线的长为6cm，则正方形的面积是 cm24菱形的两条对角线之比是2：3，面积是15厘米2，则两条对角线的长分别是 厘米和 厘米5一个三角形和一个梯形的面积相等，它们的高也相等，已知三角形德国底边为18厘米，厘米梯形的中位线的长等于 厘米6ABC中，若D是BC边的中点，则SACD ；若BD：DC3：2，则SABD：SACD 考点训练：1等腰三角形腰长为2，面积为1，则顶角大小是（ ） (A) 90° (B) 30° (C) 60&

4、#176; (D) 45°2如图，G是ABC的重心（三角形中线的交点），若SABC6，则的面积是（ ） (A) (B) 1 (C) 2 (D) 3如图，ABDC,EDBC,AEBD,则图中和ABD面积相等的三角形个数（不包括ABD）为（ ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 44. 矩形两邻边的长是4cm，6cm，顺次连结它的四边中点所得的四边形面积是_cm2 5若等边三角形的边长为a，则它的面积为_. 6菱形的边长为5cm，一条对角线长为8cm，则它的面积是_.7等腰梯形的中位线长为m，且对角线互相垂直，则此梯形的面积为_.8四边形ABCD为平行四边形，P,Q分别是AD,

5、AB上的任意点，则SPBC与SQCD有什么关系？它们与原平行四边形的面积之间有什么关系？9在ABC中，AB10，BC5，AC5，求A的平分线的长。10如图,在ABC中，AD为角平分线，CEAD，F为BC中点， 求证：EF(AB AC).解题指导： 1已知：如图，ABC中，AD是BC上的中线，E是AD中点，BE的延长线交AC于F。求证：EFBE. 2已知：如图，ABC中，BD,CE分别平分B和C，P是DE中点，过点P作BC,CA,AB的垂线，垂足分别为L,M,N，求证：PLPM+PN. 3证明以梯形一腰的中点及另一腰的两个端点为顶点的三角形面积等于原梯形面积的一半。 4. 如图，在ABC中，D是

6、BC中点，N是AD中点，M是BN中点，P是MC的中点。求证：SMNPSABC.独立训练： 1 如图，ABC中，DEBC,且SADESABC12， 则ADDB等于（ ）。 (A) (B) (C) 1 (D) + 12已知三角形的一边长为2，这边上的中线长为1，另外两边和为1，则此三角形面积为（ ）。 (A) (B) (C) (D) 3矩形ABCD中，AD5，AB12，O为对角线AC,BD的交点，E为BC延长线上一点，且CEAC，则SOCE_. 4. 已知POQ内有一点A，求作ABC，使ABC的周长最小，且顶点B,C分别在OP,OQ上。 5.如图，ABDE，直线AE,BD相交于点O，B与D相等，求

7、证：AOEO. 6如图，ABCD为正方形，E为CD的中点，过E作EF，使AEFBAE，EF交BC于，求证：CF2BF.7如图，在平行四边形ABCD中,E是BC的中点，DE,AB的延长线交于点F，求证：SABESEFC.第二部分 梯形中位线的推广一、梯形中位线的性质定理：梯形的中位线平行于两底且等于两底和的一半。二、梯形中位线性质定理的推广公式：如图在梯形ABCD中，ABCD，AB=a,CD=b(ab).若EFAB,EF到CD与AB的距离之比为mn，则可证明出：。三、推广公式的证明过程： 证明：过O作OHAB于H，分别交CD、EF于M、N点。设OM=x，由已知,设MN=my， NH=ny在OAB

8、中：ABCD, AB=a,CD=b, ，又EFAB， 由得：，代入式化简得： 由此可以看出，梯形中位线的性质定理：梯形的中位线平行于两底且等于两底和的一半。它是mn=11时，代入=的情况。四、推广公式的应用：例1、如上图所示，设OAB、OCD的面积分别S1、S2，EFAB且EF到CD与AB的距离之比为mn，求OEF的面积S0与S1、S2的关系式。 解析：由三的证明过程知道了梯形中位线定理的推广公式，利用此公式来寻找三面积之间所蕴含的关系式。由CDEFAB，易知：，代入中，可得例2、如图，在梯形ABCD中,ABCD，AB=3,CD=1,则梯形的中位线长为_，若EFAB，且，则EF的长为_.简答：

9、由ABCD，EFAB，易知时，EF到CD与AB的距离之比为mn = ，代入，得，故答案为2，。第三部分 梯形综合复习提高1梯形的运用例1 如图,在梯形ABCD中,已知ABCD,点E为BC的中点, 设DEA的面积为,梯形ABCD的面积为,则与的关系为_.分析:由E点为BC的中点,故可联想延长DE与AB的延长线相交,将梯形的面积转化成三角形的面积.点评:将四边形转化成三角形是寻求解题思路,探求解题方法的重要途径, 注意适当地作出辅助线,学会转化的数学思想.2.等腰梯形的有关计算例2 已知:如图,等腰梯形ABCD中,ADBC,AD=3,AB=4, BC=7.求B的度数.解 点评:在梯形中常通过作腰的

10、平行线,构造平行四边形、三角形, 从而把分散的条件集中到三角形中去,从而为证题创造必要的条件.3. 梯形知识的综合运用例2 已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AGDB交CB的延长线于G。（1）求证：ADECBF；（2）若四边形 BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论。作业一、选择题(每小题3分，共30分)1在梯形ABCD中，ADBC，那么ABCD可能为 ( ) A3452 B2345 C5342 D54322正方形具有而菱形不一定具有的性质是 ( ) A对角线互相平分 B对角线相等 C对角线平分一组对角 D对角线互相垂直

11、3下列命题中，错误的是 ( ) A有一个角是直角的菱形是正方形B三个角都相等的四边形是矩形 C矩形的对角线互相平分且相等D菱形的对角线互相垂直平分4如果等腰梯形两底之差等于一腰的长，那么此梯形的锐角是 ( ) A15° B30° C45° D60°5如图，顺次连结矩形ABCD各边中点，得到菱形EFGH，这个由矩形和菱形所组成的图形( ) A是轴对称图形但不是中心对称图形B是中心对称图形但不是轴对称图形 C既是轴对称图形又是中心对称图形D没有对称性 6如图所示，在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CEAC，AE交CD于点F。那么，AFC( ) A

12、112.5° B120° C 135° D150°7菱形相邻两角的比为12，那么菱形的对角线与边长的比为 A123 B121 C12D118如图所示，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，如果ABC的周长比AOB的周长长10厘米，则矩形边AD的长是A5厘米 B10厘米 C7.5厘米 D不能确定9等腰梯形的高是4，对角线与下底的夹角是45°，则该梯形的中位线是 A4 B6 C8 D1010如图，E是正方形ABCD对角线AC上一点，EFAB，EGBC，F、G是垂足，若正方形ABCD周长为a，则EFEG等于 ABCaD2a二、填空题(每小题3分，

13、共30分)11已知菱形的一条对角线长等于边长，则该菱形的四个内角度数分别是_12等腰梯形的一个锐角为80°，则与它相邻的两个角的度数分别是_。13如图，在矩形ABCD中，AB2BC，将矩形ABCD沿直线AF对折，使B点落在CD边上的E点处，则CFE_。14如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，AEAB,则EBC_。15若菱形的两条对角线长是方程x28x150的两个根，则该菱形的面积等于_。 16如图，在梯形ABCD中，ADBC，B90°，C45°，若AD4，BC8，则梯形ABCD的面积为_。17如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则123_。18工人师

14、傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：(1)先截出两对符合规格的铝合金窗料(如图)，使ABCD，EFGH；(2)摆放成如图的四边形，则这时窗框的形状是_形，根据数学道理是：_；(3)将直角尺靠紧窗框的一个角(如图)，调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图)，说明窗框合格，这时窗框是_形，根据的数学道理是：_。19如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A、B、C、D的面积的和是_cm2。20如图，在梯形ABCD中，DCAB，将梯形对折，使点D、C分别落在AB上的点D'、C'，折痕为EF若CD3c

15、m，EF4cm，则AD'BC'_cm。三、解答题(60分)21如图所示，在正方形ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，试说明四边形BFDE是平行四边形22如图所示，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AEBD，垂足为E，12，OB6厘米。(1)求BOC的度数； (2)求DOC的周长23如图，在菱形ABCD中，CEAB交AB延长线于点E，CFAD交AD延长线于点F，请你猜想CE和CF的大小关系，并证明你的猜想。24如图，在梯形ABCD中，ADBC，ABCD，延长CB到E，使EBAD，连结AE，试说明AECA25如图，在正方形ABCD中，P是CD的中点，连PA并延长AP交BC的延长线于点E，连结DE，取DE的中点Q，连结PQ，求证：PQBE26根据要求拟编一道新题已知：如图所示，在矩形ABCD所在平面有一点P，且PAPD，请说明：PBPC请你将上述条件中的“矩形ABCD”改为另一种四边形，其余条件不变，使结论“PBPC”仍然成立，再根据改编后的题目画出图形，并说明理由27把一个等腰直角三角形ABC沿斜边上的高线CD(裁剪线)剪一刀，从这个三角形中裁下一部分，与剩下部分能拼成一