自动控制原理2008第二章1

1、第一节第一节 控制系统的时域数学模型控制系统的时域数学模型第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型第三节第三节 控制系统得结构图和信号流图控制系统得结构图和信号流图第二章控制系统的数学模型第二章控制系统的数学模型第二节控制系统的复数域数学模型第二节控制系统的复数域数学模型第一节控制系统的时域数学模型第一节控制系统的时域数学模型一、建立微分方程的一般步骤一、建立微分方程的一般步骤二、常见环节和系统的微分二、常见环节和系统的微分 方程的建立方程的建立 三、线性定常系统与叠加原理三、线性定常系统与叠加原理第二章控制系统的时域数学模型第二章控制系统的时域数学模型四、线性微分方程式的求解四、线

2、性微分方程式的求解（1） 确定系统的输入变量和输出变量。确定系统的输入变量和输出变量。一、 建立系统微分方程的一般步骤建立系统微分方程的一般步骤 一个系统通常是由一些环节连接而成一个系统通常是由一些环节连接而成的，将系统中的每个环节的微分方程求出的，将系统中的每个环节的微分方程求出来来 ，便可求出整个系统的微分方程。，便可求出整个系统的微分方程。列写系统微分方程的一般步骤：列写系统微分方程的一般步骤： 根据各环节所遵循的基本物理规律，分根据各环节所遵循的基本物理规律，分别列写出相应的微分方程，并构成微分方别列写出相应的微分方程，并构成微分方程组。程组。（2） 建立初始微分方程组。建立初始微分方

3、程组。 将与输入量有关的项写在方程式等号右将与输入量有关的项写在方程式等号右边，与输出量有关的项写在等号的左边。边，与输出量有关的项写在等号的左边。（3）消除中间变量，将式子标准化。）消除中间变量，将式子标准化。ucur1 RC电路电路+-uruc+-CiR输入量：输入量：输出量：输出量：（1） 确定输入确定输入 量和输出量量和输出量（2） 建立初始微建立初始微 分方程组分方程组（3）消除中间变量）消除中间变量, 使式子标准化使式子标准化RC电路是一阶常系电路是一阶常系数线性微分方程。数线性微分方程。ur= Ri + uci = CducdtRCducdt+ uc= ur2机械位移系统机械位移

4、系统系统组成：系统组成：质量质量 m输入量输入量弹簧系数弹簧系数k 阻尼系数阻尼系数fF(t) 输出量输出量 y(t) 初始微分方程组初始微分方程组:F = maF(t) FB(t) FK(t) = ma根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律mfy(t)F(t)k中间变量关系式中间变量关系式:FB(t) = fdy(t)dtFK(t) = k y(t)a =d2y(t)dt2md2y(t)dt2fdy(t)dt+ ky(t) = F(t)+消除中间变量得消除中间变量得:mfy(t)F(t)k例：例： 电阻电阻R、电容、电容C、电感、电感 L组成的电路如图所示，试写出组成的电路如图所示，试写出以以ur

5、(t)为输入量、为输入量、uc(t)为输出量的电路微分方程。为输出量的电路微分方程。i(t)LRur(t)uc(t)C解：设回路电流为解：设回路电流为i(t)i(t)，由基尔霍夫定律可写出回路方程，由基尔霍夫定律可写出回路方程为为 dttiCutRiudttdiLututututucRLCRLr)(1)()()()()()(消除中间变量，可得：消除中间变量，可得：)()()()(22tutudttduRCdttudLCrCCC 系统微分方程由输出量各阶导数和输系统微分方程由输出量各阶导数和输入量各阶导数以及系统的一些参数构成。入量各阶导数以及系统的一些参数构成。1、系统微分方程的一般表达式（标

6、准形式）为：、系统微分方程的一般表达式（标准形式）为：+dtm+bmr(t) = b0dm-1r(t)dtm-1 b1+dmr(t) +dr(t)dtbm-1anc(t)+ dnc(t)dtna0 +dn-1c(t)dt n-1a1+dc(t)dt an-1+式中式中，c(t)系统输出量系统输出量 r(t)系统输入量系统输入量 ai(i=1,2,n), bj(j=1,2,m)为微分方程的系数为微分方程的系数2. 根据系统微分方程对系统进行分类根据系统微分方程对系统进行分类：1 1）线性系统：方程中只含有变量）线性系统：方程中只含有变量c(t) ，r(t)及其各阶导数及其各阶导数2 2）非线性系

7、统：）非线性系统：参数与变量有关参数与变量有关, ,或者方程中含有变量及或者方程中含有变量及 其导数的高次幂或乘积项其导数的高次幂或乘积项a) 线性定常系统线性定常系统： a0 , an;b0 , bm为常数为常数 b) 线性时变系统线性时变系统： a0 , an;b0 , bm为时间的函数为时间的函数 3. 线性系统满足叠加原理：线性系统满足叠加原理：线性系统线性系统r1(t)c1(t)线性系统线性系统r2(t)c2(t)线性系统线性系统ar1(t)+br2(t)ac1(t)+ bc2(t)叠加原理的意义叠加原理的意义：对于线性系统，各个输入产生的输出是互不影响的。因对于线性系统，各个输入产

8、生的输出是互不影响的。因此，在分析多个输入加在线性系统上而引起的总输出时，此，在分析多个输入加在线性系统上而引起的总输出时，可以先分析由单个输入产生的输出，然后，把这些输出可以先分析由单个输入产生的输出，然后，把这些输出叠加起来，则可能求得总的输出。叠加起来，则可能求得总的输出。四、线性微分方程式的求解线性微分方程式的求解求解方法：求解方法：1 1）解析法）解析法 2 2）拉普拉斯变换法）拉普拉斯变换法 3 3）计算机求解。）计算机求解。 拉普拉斯变换法求解微分方程的步骤：拉普拉斯变换法求解微分方程的步骤： 1、考虑初始条件，对微分方程中的各项进行拉氏变换，考虑初始条件，对微分方程中的各项进行

9、拉氏变换，变成变量变成变量S S的代数方程；的代数方程； 2、由变量由变量S的代数方程求出系统输出量的拉氏变换式；的代数方程求出系统输出量的拉氏变换式； 3、对输出量的拉氏变换式进行拉氏反变换，得到系统对输出量的拉氏变换式进行拉氏反变换，得到系统微分方程的解。微分方程的解。r(t) =(t), c(0) = c(0) = 0 + 2c (t) = r(t) +2d2c(t)dt2dc(t)dt 用一个例子来说明采用拉氏变换法用一个例子来说明采用拉氏变换法解线性定常微分方程的方法。解线性定常微分方程的方法。例例 已知系统的微分方程式，求系统的已知系统的微分方程式，求系统的 输出响应。输出响应。解

10、：解：将方程两边求拉氏变换得：将方程两边求拉氏变换得：求拉氏反变换得：求拉氏反变换得：s2C(s) + 2sC(s) + 2C(s) = R(s)R(s) = 1 C (s) = s2 + 2s +21=(s+1)2 + 11c(t) = e t sin t 输出响应曲线输出响应曲线 c(t)r(t)r(t)t0c(t)五、非线性方程的线性化五、非线性方程的线性化 绝大多数物理系统在参数某些范围绝大多数物理系统在参数某些范围内呈现出线性特性。当参数范围内呈现出线性特性。当参数范围不加限不加限制时，所有的物理系统都是非线性的。制时，所有的物理系统都是非线性的。 对每个系统都应研究其线性特性和相对

11、每个系统都应研究其线性特性和相应的线性工作范围应的线性工作范围。线性系统具有叠加性和齐次性。线性系统具有叠加性和齐次性。 叠加性：叠加性：x x1 1(t)(t)y y1 1(t)(t)x x2 2(t)(t)则则 y y2 2(t)(t)x x1 1(t)+x(t)+x2 2(t) (t) y y1 1(t)+y(t)+y2 2(t) (t) y=xy=x2 2 二阶系统是非线性的二阶系统是非线性的因为它不满足叠加性因为它不满足叠加性齐次性：齐次性：为常数为常数 x(t)x(t)y(t)y(t)则则 x(t) x(t) y(t) y(t) y=mx+b y=mx+b 系统也不是线性的，因为它

12、不满系统也不是线性的，因为它不满足齐次性。足齐次性。y=mx+b y=mx+b 对在工作点对在工作点(x(x0,0,y,y0 0) )附近作小范围附近作小范围变化的变量变化的变量x x和和y y而言，而言，则是线性的。则是线性的。非线性系统非线性系统 设设又又 则则 x=xx=x0 0+ +x xy=yy=y0 0+ +y yy y0 0=mx=mx0 0+ +by y0 0+ +y=y=mx+by=y=mx+b =mx=mx0+m+mx+b+by=my=mx x 大部分非线性系统在一定的条件下大部分非线性系统在一定的条件下可近似看成线性系统。可近似看成线性系统。y(t)=gx(t)y(t)=

13、gx(t)线性化：线性化：设非线性元件为设非线性元件为: :系统的正常工作点为系统的正常工作点为x x0 0 有条件地把非线性数学模型有条件地把非线性数学模型近似处理成线性数学模型。近似处理成线性数学模型。 若非线性函数连续，且各阶导数存若非线性函数连续，且各阶导数存在，可在工作点附近按泰勒级数展开在，可在工作点附近按泰勒级数展开.=g(x=g(x0 0)+)+ +dgdgdxdxx=xx=x0 0d d2 2g gdxdx2 2x=xx=x0 0(x-x(x-x0 0) )2 22!2!x-xx-x0 01!1! 当当(x- xx- x0 0) )小范围波动时，略去高于小范围波动时，略去高于

14、一次的小增量项，方程可简化为一次的小增量项，方程可简化为 ： y(t)=g(xy(t)=g(x0 0)+)+dgdgdxdxx=xx=x0 0(x-x(x-x0 0) )=y=y0 0+m(x-x+m(x-x0 0) ) m为工作点处的斜率。最后可改写为工作点处的斜率。最后可改写成下列线性方程：成下列线性方程：y=m=mx x(y-y(y-y0 0)=m(x-x)=m(x-x0 0) )或或 例例 将液位控制系统非线性微分方程线性化将液位控制系统非线性微分方程线性化.dh(t)dh(t)dtdth(t)h(t)+a+a=q=qi i(t)(t)解：解： 按泰勒级数展开为按泰勒级数展开为 d d

15、+ +dhdhh h0 0h h0 0= =h(t)h(t)h hd d2 2dhdh2 22!2!+1 1h h0 0(h-h(h-h0 0)+)+h h(h-h(h-h0 0) )2 2略去高于一次的增量项得略去高于一次的增量项得h hd d+ +dhdhh h0 0h h0 0= =h(t)h(t)h hh h2 2+ +1 1h h0 0= =h h0 0得：得： =q=qioio+ +q qi i+a(+a(dtdtd(hd(h0 0+ +h)h)A Ah h0 0h)h)2 2+ +1 1h h0 0由于由于 = =dtdtd(hd(h0 0+ +h)h)A Adhdh0 0+ +

16、dtdtd dh hdtdt= =d dh hdtdtq qo0o0=a=ah h0 0=q=qi0i0得得 =q=qioio+ +q qi i+a+adtdtd dh hA Ah h0 0h h2 2+ +a ah h0 01 1= =q qi idtdtd dh hA Ah h2A2A+ +a ah h0 0即即 dh(t)dh(t)1 1= =q qi i(t)(t)dtdtA Ah(t)h(t)2A2A+ +a ah h0 0线性化处理中应注意以下几点：线性化处理中应注意以下几点：（1）必须确定系统处于平衡状态时各部）必须确定系统处于平衡状态时各部 件的工作点，在不同的工作点，非件的工作点，在不同的工作点，非 线性曲线的斜率是不同的。线性曲线的斜率是不同的。（2）线性化是以直线代替曲线，略去了）线性化是以直线代替曲线，略去了 式中二阶以上项，如果系统工作范式中二阶以上项，如果系统工作范 围较大，将带来较大误差，所以非围较大，将带来较大误差，所以非 线性数学模型的线性化是有条件的。线性数学模型的线性化是有条件的。（3）对于某些典型非线性系统，其