自动控制原理_王建辉(2)

1、东北大学自动控制原理课程组1东北大学自动控制原理课程组2主要内容主要内容n微分方程式的编写微分方程式的编写n非线性数学模型线性化非线性数学模型线性化n传递函数传递函数n系统动态结构图系统动态结构图 n系统传递函数和结构图的变换系统传递函数和结构图的变换n信号流图信号流图n小结小结东北大学自动控制原理课程组3 学习重点学习重点v简单物理系统的微分方程和传递函数简单物理系统的微分方程和传递函数的列写及计算的列写及计算 v非线性模型的线性化方法非线性模型的线性化方法 v结构图和信号流图的变换与化简结构图和信号流图的变换与化简v开环传递函数和闭环传递函数的推导开环传递函数和闭环传递函数的推导和计算和计

2、算东北大学自动控制原理课程组41. 数学模型数学模型 描述系统变量之间关系的数学表达式描述系统变量之间关系的数学表达式2.数学模型的主要形式数学模型的主要形式(1)(1)微分方程微分方程(2)(2)传递函数传递函数(3)(3)结构框图结构框图(4)(4)信号流图信号流图东北大学自动控制原理课程组5 编写系统微分方程的步骤编写系统微分方程的步骤n确定系统的输入量和输出量；确定系统的输入量和输出量；n将系统分解为各环节，依次确定各环节的输入将系统分解为各环节，依次确定各环节的输入量和输出量，根据各环节的物理规律写出各环量和输出量，根据各环节的物理规律写出各环节的微分方程；节的微分方程； n消去中间

3、变量，求出系统的微分方程。消去中间变量，求出系统的微分方程。东北大学自动控制原理课程组6 例例2-1 RC2-1 RC电路电路, ,取取u u1 1为输入量为输入量,u,u2 2为输出量为输出量2crdxRCxxdt21)(uRitu2uq Cdqidt东北大学自动控制原理课程组7 例例2-2 RL2-2 RL电路电路, ,取取u u为输入量为输入量,i,i为输出量为输出量diLRiudt东北大学自动控制原理课程组8 例例2-3 直流电动机电枢电路直流电动机电枢电路 取取u ud d为输入量为输入量,n,n为输出量为输出量2222375375dddddmemeLRRuGDd n GDdnnRC

4、 C dtC C dtCe ded ddddiC nR iLudtdtdnGDM3752m dMC i东北大学自动控制原理课程组9例例2-4 机械位移系统机械位移系统 取取 为输入量为输入量, , 为输出量为输出量( )f t22( )( )( )( )d x tdx tmBKx tf tdtdt( ) ( )ddx tf tBdt22( )( )( )( ) sdd x tf tf tf tmdt( )( )sf tKx tx东北大学自动控制原理课程组101.1.非线性特性非线性特性n本质非线性本质非线性n非本质非线性非本质非线性 2.2.非线性特性线性化非线性特性线性化 作某种近似，或者缩

5、小一些研究问题的范围。作某种近似，或者缩小一些研究问题的范围。3.3.小偏差线性化方法小偏差线性化方法东北大学自动控制原理课程组11例例2-5 2-5 发电机激磁特性发电机激磁特性 ffIU0tan东北大学自动控制原理课程组12 小偏差线性化的数学处理小偏差线性化的数学处理: : 静态静态工作点附近的泰勒(Taylor)级数展开 1）将一个非线性函数 ，在其工作点展开成泰勒(Taylor)级数，然后略去二次以上的高阶项，得到线性化方程，用来代替原来的非线性函数。 00220002( )1( )()()()2!xxdf xd f xyf xxxxxdxdx忽略二阶以上各项，可写成 )()()(0

6、00 xxdxxdfxfyx)(xfy东北大学自动控制原理课程组13 2）对于具有两个自变量的非线性函数，设输入量为x1(t)和x2(t),输出量为y(t),系统正常工作点为y0 f(x10,x20)。 在工作点附近展开泰勒(Taylor)级数得 忽略二阶以上各项，可写成 10201102201222222110110220220221122(,)()()1()2()()()2!ffyf xxxxxxxxfffxxxxxxxxxx xx )()(),(202210112010 xxxfxxxfxxfy东北大学自动控制原理课程组14例例2-6 2-6 可控硅整流电路可控硅整流电路 取三相桥式硅整

7、流电路的输入量为控制角取三相桥式硅整流电路的输入量为控制角 ，输出量为整流电压输出量为整流电压E Ed d东北大学自动控制原理课程组15式中 E2 交流电源相电压的有效值； Ed0 时的整流电压。线性化处理，令得式中coscos34. 202ddEEE00000,cosdxyE000cos()ddsEEK00sin0ddsEddEK0东北大学自动控制原理课程组16说明：通过上述讨论，应注意到，运用线性化说明：通过上述讨论，应注意到，运用线性化方程来处理非线性特性时，线性化方程的参量方程来处理非线性特性时，线性化方程的参量与与静态静态工作点工作点有关，工作点不同时，参量的数有关，工作点不同时，参

8、量的数值也不同。因此在线性化以前，必须确定元件值也不同。因此在线性化以前，必须确定元件的静态工作点。的静态工作点。 东北大学自动控制原理课程组17例例2-7 RC电路电路当当u1为输入，为输入，u2为输出时：为输出时：122uRiuduiCdt122uudtduRC21( )1( )( )1UsW sU sRCs 221RCsUsUsUs1. . 定定 义义东北大学自动控制原理课程组181011110111nncccnncnnmmrrrmmrmmd xdxdxaaaa xdtdtdtd xdxdxbbbb xdtdtdt对于对于n阶系统，线性微分方程的一般形式为：阶系统，线性微分方程的一般形式

9、为：东北大学自动控制原理课程组19 10111011nnccncncmmrrmrmra s Xsa sXsasXsa Xsb s Xsb sXsbsXsb Xs10111011( )( )mmmmcrnnnnb sb sbsbXsXsa sa sasa东北大学自动控制原理课程组20传递函数定义：传递函数定义： 零初始条件下，输出量的拉氏变换与输零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。入量的拉氏变换之比。 10111011mmcmmnnrnnXsb sb sbsbW sXsa sa sasa东北大学自动控制原理课程组21例例2-7 RC电路电路（1）当）当u1为输入，为输入，u2为

10、输出时：为输出时：122uRiuduiCdt122uudtduRC21( )1( )( )1UsW sU sRCs 221RCsUsUsUs东北大学自动控制原理课程组22例例2-7 RC电路电路（2）当）当u1为输入，为输入，i为输出时：为输出时：11dudiRidtCdt 11RsI sI ssUsC1( )( )( )1I sCsW sU sRCs122uRiuduiCdt东北大学自动控制原理课程组23例例2-8 RLC电路电路取取ur为输入，为输入，uc为输出，得为输出，得22cccrd uduLCRCuudtdtrcuuiRdtdiLcduiCdt东北大学自动控制原理课程组24例例2-

11、8 RLC电路电路取取ur为输入，为输入，uc为输出为输出2( )1( )( )1crUsW sUsLCsRCs 21crLCsRCsUsUs22cccrd uduLCRCuudtdt东北大学自动控制原理课程组25例例2-9 机械位移系统机械位移系统取外力取外力f(t)为输入为输入 位移位移x(t)为输出为输出根据牛顿第二定律，得根据牛顿第二定律，得 22sdd x tf tftftmdt sftKx t ddx tftBdt东北大学自动控制原理课程组26例例2-9 机械位移系统机械位移系统取外力取外力f(t)为输入为输入 位移位移x(t)为输出为输出 22d x tdx tmBKx tf t

12、dtdt 2msBsK X sF s 21cXsW sF smsBsK东北大学自动控制原理课程组27n 一般有一般有nm 。n同一个系统，当输入量和输出量的选择不相同一个系统，当输入量和输出量的选择不相同时，可能会有不同的传递函数。同时，可能会有不同的传递函数。n不同的物理系统可以有相同的传递函数。不同的物理系统可以有相同的传递函数。 10111011mmcmmnnrnnXsb sb sbsbW sXsa sa sasan传递函数表示系统传递输入信号的能力，反传递函数表示系统传递输入信号的能力，反映系统本身的动态性能。它只与系统的结构映系统本身的动态性能。它只与系统的结构和参数有关，与外部作用

13、等条件无关。和参数有关，与外部作用等条件无关。东北大学自动控制原理课程组2811(1)( )(1)miinjjKTsW sT s11()( )()mgiinjjKszW ssp传递函数的另外两种常用形式：传递函数的另外两种常用形式：时间常数形式时间常数形式根的形式根的形式东北大学自动控制原理课程组29n系统的特征方程n系统的阶数n系统的极点n系统的零点几个定义和术语几个定义和术语东北大学自动控制原理课程组302. . 典型环节的传递函数及暂态特性典型环节的传递函数及暂态特性（1） 比例环节比例环节21crrRxxKxR )()(sKXsXrcKsXsXsWrc)()()(东北大学自动控制原理课

14、程组31比例环节的单位阶跃响应比例环节的单位阶跃响应KsXsXsWrc)()()(东北大学自动控制原理课程组32（2） 惯性环节惯性环节( )1( )( )1crXsW sXsTsssXr1)(当 时01/( )( )( )(1)(1/)1/crAAKK TXsW s Xss Tss sTssT00(1)sK TAsKs sTKTsTssTKATs/11)/1()/1(/11( )(1/ )cX sKssT东北大学自动控制原理课程组33惯性环节的单位阶跃响应惯性环节的单位阶跃响应11( )(1/)cXsKssT/( )(1),0t Tcx tKet求拉氏反变换得求拉氏反变换得 东北大学自动控制

15、原理课程组34当输入量为 时，输出量为（3） 积分环节积分环节TK1( )1( )( )crUsKW sUssTs式中， ， 称为积分环节的时间常数。( )/cu tKt t T( )/cu tKtt TT东北大学自动控制原理课程组35（4） 微分环节微分环节 理想微分环节理想微分环节sKsUsUsWrc)()()(东北大学自动控制原理课程组36（4） 微分环节微分环节 一阶微分环节（又称比例微分环节、实用微分环节）一阶微分环节（又称比例微分环节、实用微分环节） sTRRsUsIsWr11)()()(东北大学自动控制原理课程组37（5） 振荡环节振荡环节这种环节包括有两个储能元件，当输入量发生

16、变化时，这种环节包括有两个储能元件，当输入量发生变化时，两种储能元件的能量相互交换。在阶跃函数作用下，其两种储能元件的能量相互交换。在阶跃函数作用下，其暂态响应可能作周期性的变化。暂态响应可能作周期性的变化。 222( )2nnnW sss式中：式中：n 自然振荡角频率自然振荡角频率 阻尼比阻尼比东北大学自动控制原理课程组38（5） 振荡环节振荡环节当输入量为阶跃函数时，输出量的拉氏变换为：当 时，上式特征方程的根为共轭复数1因式分解得：222( )(2)ncnnXss ss2221( )2ncnnsXssss东北大学自动控制原理课程组39振荡环节的单位阶跃响应振荡环节的单位阶跃响应输出量为

17、：22( )1sin(1)1ntcnex tt 21arctan东北大学自动控制原理课程组40（6） 时滞环节时滞环节例例2-10 2-10 带钢厚度检测环节带钢厚度检测环节 ()cdh th t vl ()crxtx t)()(sXesXrscsrcesXsXsW)()()(写成一般形式 :零初始条件下，拉氏变换为 传递函数为 东北大学自动控制原理课程组41时滞环节的时滞环节的输出量输出量 ()cdh th t 东北大学自动控制原理课程组42232311( )112!3!W sssss时滞环节的传递函数时滞环节的传递函数srcesXsXsW)()()( 对于时滞时间很小的时滞环节，常把它展开

18、成泰勒级数，并略去高次项，得：时滞环节在一定条件下可近似为惯性环节。时滞环节在一定条件下可近似为惯性环节。 东北大学自动控制原理课程组43 系统动态结构图系统动态结构图将系统中所有的环节用方框图表示，图中标明其传递函数，并且按照在系统中各环节之间的联系，将各方框图连接起来。东北大学自动控制原理课程组44系统动态结构图的绘制步骤：系统动态结构图的绘制步骤：(1)(1)首先按照系统的结构和工作原理，分解出各首先按照系统的结构和工作原理，分解出各环节并写出它的传递函数。环节并写出它的传递函数。 (2)(2)绘出各环节的动态方框图，方框图中标明它绘出各环节的动态方框图，方框图中标明它的传递函数，并以箭

19、头和字母符号表明的传递函数，并以箭头和字母符号表明其输其输入量和输出量，按照信号的传递方向把各方入量和输出量，按照信号的传递方向把各方框图依次连接起来，就构成了系统结构图。框图依次连接起来，就构成了系统结构图。 东北大学自动控制原理课程组45例例2-11 2-11 速度控制系统速度控制系统东北大学自动控制原理课程组46（1 1）比较环节和速度调节器环节）比较环节和速度调节器环节 0rrUsIsR00000000000001( )( )111212122( )( )11114ffffU sC sIsC sRC sRRC sRU s RU sT sRRC s 1111111kkcUsUssIss

20、RRC s式中：00014TR C111RC东北大学自动控制原理课程组47比较环节和速度调节器环节的结构图比较环节和速度调节器环节的结构图式中式中 110111kCrfsUsKUUssT s10cRKR整理得整理得 东北大学自动控制原理课程组48（2 2）速度反馈的传递函数）速度反馈的传递函数 fsfUsK n s式中：式中： 为速度反馈系数为速度反馈系数 sfK东北大学自动控制原理课程组49（3 3）电动机及功率放大装置）电动机及功率放大装置 dskUsK Us2375dded dddmzmdiuC nR iLdtGD dni Ci Cdt 1dedddUsC n sIsRT s edzmd

21、CIsIsTsn sR东北大学自动控制原理课程组50（4 4）系统的动态结构图）系统的动态结构图 东北大学自动控制原理课程组511. .典型连接的等效传递函数典型连接的等效传递函数 (1)串联东北大学自动控制原理课程组52(2)并联东北大学自动控制原理课程组53(3)反馈连接东北大学自动控制原理课程组542. .相加点及分支点的换位运算相加点及分支点的换位运算 原则原则: : 换位前后的输入换位前后的输入/ /输出信号间关系不变输出信号间关系不变。东北大学自动控制原理课程组55(1)(1)相加点后移相加点后移 东北大学自动控制原理课程组56(2)(2)相加点前移相加点前移 东北大学自动控制原理

22、课程组57(3)(3)分支点后移分支点后移 东北大学自动控制原理课程组58(4)(4)分支点前移分支点前移 东北大学自动控制原理课程组59(5)(5)分支点换位分支点换位 东北大学自动控制原理课程组60(6)(6)相加点变位相加点变位 东北大学自动控制原理课程组61(7)(7)相加点和分支点一般不能变位相加点和分支点一般不能变位 东北大学自动控制原理课程组623. . 系统开环传递函数系统开环传递函数 定义：定义： 闭环系统反馈信号的拉氏变换与偏差信号的闭环系统反馈信号的拉氏变换与偏差信号的拉氏变换之比（反馈通道断开），定义为系统的拉氏变换之比（反馈通道断开），定义为系统的开环传递函数，用开环

23、传递函数，用 表示。表示。 ( )KWs东北大学自动控制原理课程组63123( )( )( )( )( )( )( )( )( )fKfgfXsWsW s W s W s WsW s WsE s系统的开环传递函数是正向通道传递函数系统的开环传递函数是正向通道传递函数与反向通道传递函数的乘积。与反向通道传递函数的乘积。 )(sWf( )gWs正向通道传递函数正向通道传递函数 反向通道传递函数反向通道传递函数东北大学自动控制原理课程组64例例2-12 2-12 无交叉局部反馈系统无交叉局部反馈系统 12362345( )( )( )( )1( )( )( )( )KW sW sW sW sW sW

24、 sW s W sW s东北大学自动控制原理课程组65例例2-13 2-13 有交叉局部反馈系统有交叉局部反馈系统 )()()()()()(1)()()()()()(54363274321sWsWsWsWsWsWsWsWsWsWsWsWK东北大学自动控制原理课程组664. . 系统闭环传递函数系统闭环传递函数 定义：定义： 在初始条件为零时，系统的输出量与输在初始条件为零时，系统的输出量与输入量的拉氏变换之比称为系统的闭环传递函入量的拉氏变换之比称为系统的闭环传递函数，用数，用 表示。表示。 ( )BWs东北大学自动控制原理课程组67)(1)()()(1)()()()(sWsWsWsWsWsX

25、sXsWKgfggrcB东北大学自动控制原理课程组68对于单位反馈系统，有对于单位反馈系统，有 ( )( )( )( )1( )cKBrKXsWsWsXsWs东北大学自动控制原理课程组695. .系统对给定作用和扰动作用的传递函系统对给定作用和扰动作用的传递函数数 原则：对于线性系统来说，可以运用原则：对于线性系统来说，可以运用叠加原理叠加原理，即对，即对每一个输入量分别求出输出量，然后再进行叠加，就每一个输入量分别求出输出量，然后再进行叠加，就得到系统的输出量。得到系统的输出量。东北大学自动控制原理课程组70（1 1）只有给定作用时）只有给定作用时 12121212( )( )( )1( )

26、( )( )( )( )( )( )1( )( )( )BrfrcrfW s W sWsW s W s WsW s W s XsXsW s W s Ws东北大学自动控制原理课程组71（2 2）只有扰动作用时）只有扰动作用时212212( )( )1( )( )( )( )( )( )1( )( )( )BnfcnfW sWsW s W s WsW s N sXsW s W s Ws东北大学自动控制原理课程组72（3 3）两个输入量同时作用于系统）两个输入量同时作用于系统 )()()()()()(1)()()()(1212sNsXsWsWsWsWsWsXsXsXrfcncrc东北大学自动控制原理

27、课程组73 信号流图是一种用图线表示线性系统方程组信号流图是一种用图线表示线性系统方程组的方法。的方法。1.1.信号流图中的术语信号流图中的术语 (1)源点 只有输出支路的节点称为源点或称为输入节点。它一般表示系统的输入变量。(2)汇点 只有输入支路的节点称为汇点或称为输出节点。它一般表示系统的输出变量。 东北大学自动控制原理课程组74(3)混合节点 既有输入支点又有输出支点的节点称为混合节点。(4)通路 从某一节点开始，沿支路箭头方向经过各相连支路到另一节点（或同一节点）构成的路径，称为通路。通路中各支路传输的乘积称为通路传输（通路增益）。东北大学自动控制原理课程组75(5)开通路 与任一节

28、点相交不多于一次的通路称为开通路。 (6)闭通路 如果通路的终点就是通路的起点，并且与任何其他节点相交不多于一次的通路称为闭通路或称为回环。(7)回环增益 回环中各支路传输的乘积称为回环增益（或传输）。东北大学自动控制原理课程组76(8)前向通路 是指从源点开始并终止于汇点且与其他节点相交不多于一次的通路，该通路的各传输乘积称为前向通路增益。 (9)不接触回环 如果一信号流图有多个回环，各回环之间没有任何公共节点，就称为不接触回环，反之称为接触回环。 东北大学自动控制原理课程组772. 2. 梅逊增益公式梅逊增益公式 nkkkrcTXXT11式中：式中： T T 系统的总传输；系统的总传输；

29、T Tk k 第第k k 条前向通道的传输；条前向通道的传输； n n 从输入节点到输出节点从输入节点到输出节点的前向通路数；的前向通路数； 信号流图的特征式；信号流图的特征式；东北大学自动控制原理课程组78特征式的意义为特征式的意义为 信号流图中所有不同回环的传输之和；信号流图中所有不同回环的传输之和； 信号流图中每两个互不接触回环的传输乘积之和；信号流图中每两个互不接触回环的传输乘积之和； m个互不接触回环的传输乘积之和；个互不接触回环的传输乘积之和； 称为第称为第k条通路特征式的余因子，是在条通路特征式的余因子，是在 中除去中除去第第k 条前向通路相条前向通路相接触的各回环传输（即将其置

30、接触的各回环传输（即将其置 零）。零）。 mmLLLL) 1(13211L2LmLk东北大学自动控制原理课程组79例例 2-142-14dgbefabcfbebefdgfdgabcdgbeLLLLLLLcacba)(11)(112112,TabcdTfd东北大学自动控制原理课程组802112211(1)1()kkkTTTTabcdfdbebefabcbef dg 11beLa112东北大学自动控制原理课程组81例例2-152-15decfedLL)(1121yxTxxTyxTxxTyrrcyrcr1111，求：求：解：解：东北大学自动控制原理课程组82rcrxxT decfedacTr)(1（1 1）11yxTcydLa111decfeddbTy)(1)1 (（2 2）东北大学自动控制原理课程组83rrxxT11decfedeaxxTrr)(1)1 (11yxTy11decfedbfyxTy)(111（3 3）（4 4）e1111东北大学自动控制原理课程组841.1.数学模型的基本概念数学模型的基本概念 数学模型是描述系统因果关系的数学表达式，数