数值分析-课件-第02章插值法1

1、Numerical Analysis2.12021/10/19数数 值值 分分 析析Numerical Analysis机械与汽车工程学院机械与汽车工程学院主讲人：李蕾主讲人：李蕾Numerical Analysis2.22021/10/19第第2章章 插值法插值法 插值法的概念插值法的概念 拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式 Newton Newton插值多项式插值多项式 等距节点插值等距节点插值 Hermite Hermite插值插值 分段插值和抛物线插值分段插值和抛物线插值 样条插值样条插值Numerical Analysis2.32021/10/192.1 插值法的概念插值法的概念已

2、经测得在某处海洋不同深度处的水温如下：深度（M） 466 741 950 1422 1634水温（oC） 7.04 4.28 3.40 2.54 2.13根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如500米，600米，1000米）处的水温。Numerical Analysis2.42021/10/19 当精确函数 y = f(x) 非常复杂或未知时，在区间a,b上一系列节点 x0 xm 处测得函数值 y0 = f(x0), , ym = f(xm)，由此构造一个简单易算的近似函数 g(x) f(x)，满足条件 这个问题称为“插值问题”这里的这里的 g( (x) ) 称为称为f( (x) ) 的的

3、插值函数插值函数。节点。节点 x0 0 xm m称为插值节点称为插值节点, ,条条件（件（* *) )称为称为插值条件插值条件，区间，区间a,ba,b称为称为插值区间。插值区间。 0,*iig xfximNumerical Analysis2.52021/10/19x0 x1x2x3x4 xf(x)g(x)Numerical Analysis2.62021/10/192.2 2.2 拉格朗日插值拉格朗日插值n = 1使得使得可见可见 P1(x) 是过是过 ( x0 , y0 ) 和和 ( x1, y1 ) 两点的直线。两点的直线。l0(x)l1(x)求求 n 次多项式次多项式 使得使得nnnx

4、axaaxP 10)( ),0,1,niiP xy in已知已知 x0 , x1 ; y0 , y1 ，求求101( )P xaa x100111(),()P xyP xy使得 10100101010100110iiiyyP xyxxxxxxxxyylx yxxxxNumerical Analysis2.72021/10/19构造基函数 011101110()()()()() ( )()()()()()jjnjjjjjjjjnniijiijxxxxxxxxxxlxxxxxxxxxxxxxxx与与 节点节点有关，而与有关，而与f 无关无关j=0,1,j=0,1,，n n （1 1）Numeric

5、al Analysis2.82021/10/19可以证明函数组l0(x)，l1(x)，, ln(x) 在插值区间a,b上线性无关，所以这n+1个函数可作为Pn的一组基函数，称为Lagrange插值基函数插值多项式插值多项式Pn n( (x) )= =L Ln n( (x)= )= f(x0)l0(x)+f(x1) l1(x)+ f(xn) ln(x)记为记为Pn(x) f( (xj j) )lj j( (x)=)=Ln n( (x) )称称P Pn n( (x) )为为n n次次LagrangeLagrange插值多项式插值多项式Numerical Analysis2.92021/10/19例

6、：例：已知已知233sin,214sin,216sin 分别利用分别利用 sin x 的的1次、次、2次次 Lagrange 插值计算插值计算 sin 50 ， 并并估计误差。估计误差。 解：解：n = 1分别利用分别利用x0, x1 以及以及 x1, x2 计算计算4,610 xx 利用利用216/4/6/214/6/4/)(1 xxxL015sin50()0.7761418L(2)1()13( )()(),sin2!6422xxfR xxx150.01319()0.0076218R Numerical Analysis2.102021/10/19sin 50 = 0.7660444利用利用

7、x0, x1 作为插值节点的实际误差作为插值节点的实际误差 0.010010.010013,421 xx利用利用 计算得：计算得：sin 50 0.76008, 150.005380.0066018R利用利用x1, x2作为插值节点的实际误差作为插值节点的实际误差 0.00596 0.00596Numerical Analysis2.112021/10/19n = 24363264634643643634()()()()11( )()()2()()2()()3()()2xxxxL xxx23cos21;)3)(4)(6(!3cos)(2 xxxxxxR 250.000440.0007718Rs

8、in 50 = 0.76604442次插值的实际误差次插值的实际误差 0.00061 0.00061025sin50()0.7654318LNumerical Analysis2.122021/10/19拉格朗日插值多项式构造简单，形式对称，计算方便，理论分析中有重要的应用价值。但要想在计算中进一步提高精度，增加节点，则要重新构造基函数，原来的计算要作废，这对实际计算很不利。为了克服这个缺点，可把插值多项式表示为如下便于计算的形式2.32.3 Newton插值多项式插值多项式0102010101( ),0,1,nnnnnjjP xaaxxaxxxxaxxxxa aaPxfjn其中，为待定系数，

9、可由插值条件确定Numerical Analysis2.132021/10/19差商（也叫均差）设 在 上定义，令互异的点 ，相应的函数值，记两点上的一阶差商为，即由定义知： 即差商具有对称性。显然，一阶差商是一元函数，再考虑它在点的一阶差商，并记 ，即称为点上的二阶差商。 yf x, a b,0,1,2,ixa bin ,0,1,2,iiyf xin111,iiiiiiyyf x xxx0110,f x xf x x1,f x x02,x x012,f xx x011201202,f x xf xxf x x xxx012,x x xNumerical Analysis2.142021/10

10、/19一般地，由m-1阶差商及 ，再作两点 上的一阶差商，便得到 点上的m阶差阶差商商0121,mf x x xx12,mf x xx0,mx x012,mx x xx0121120120,mmmmf xx xxf x xxf xx xxxxNumerical Analysis2.152021/10/19均差计算表均差计算表一阶差商二阶差商N阶差商.ix1x2x3x4x5x0 x1nxnx if x0f x1f x2f x3f x4f x5f x1nf xnf x01,f x x12,f x x23,f xx34,f x x45,f xx21,nnf xx1,nnf xx012,f xx x1

11、23,f x xx234,f xx x345,f x xx321,nnnf xxx21,nnnf xxx01,nf x xxNumerical Analysis2.162021/10/19例题：已知 在 点处的值分别为 计算解制差商表根据问题知插值点x=4.01在 与 之间，故可用前三点 的二次插值多项式计算，即用( )lgf xx4.0002,4.0104,4.0233,4.0294x 0.6020817,0.6031877,0.6045824,0.6052404lg4.01一阶差商二阶差商4.00020.60208174.01040.60318770.1084314.02330.60458

12、240.108116-0.01364.02940.60524040.107869-0.0130ixlgix0 x1x012,x x xNumerical Analysis2.172021/10/19计算，代入数据，得也可以取作线性插值计算，即代入数据，得注：取七位有效数字的真值2001001201( )(),P xf xf x xxxf x x xxxxx2lg 4.01(4.01)0.60208170.1084310.00980.01360.00980.00040.6031444P 01,x x10010( )(),P xf xf x xxx1lg4.01(4.01)0.60208170.1

13、08431 0.00980.6031443Plg4.010.6031444Numerical Analysis2.182021/10/192.4 等距节点插值等距节点插值 差分的定义设函数 在等距节点 上的函数值 为已知，常数 叫做步长，则分别称为函数 在点 的一阶向前差分一阶向前差分，一阶向后差分一阶向后差分。利用一阶差分，可以定义高阶差分。例如：二阶向前差分二阶向前差分二阶向后差分二阶向后差分 yf x0,0, 1, 2,ixxih i iiyf xh11iiiiiiyyyyyy f xix21212iiiiiiyyyyyy 21122iiiiiiyyyyyy Numerical Anal

14、ysis2.192021/10/19一般地， 点的 n 阶向前差分是 的线性组合。向后差分是 的线性组合。ix111nnniiiyyy 111nnniiiyyy1,iii ny yy1,i niiyyyNumerical Analysis2.202021/10/19差分表及其应用 ixiyy2y3yny2x3x0 xnx1x1y2y3yny0y1ny22ny33ny0ny0y1y2y20y21y30yNumerical Analysis2.212021/10/19Newton前插公式（表初公式）用插值多项式作近似计算时，当插值点位于表初 附近，可用表初公式构造插值多项式。令，插值点 ，则表初公

15、式余项0 x0,0,1,2,ixxih in0 xxth230000001121!2!3!121!nnt tt tttPxthyyyyt tttnyn 110012,1 !nnnnhRxtht tttn fx xn其中Numerical Analysis2.222021/10/19Newton后插公式（表末公式）用插值多项式作近似计算时，当插值点位于表末 附近，可用表末公式构造插值多项式。令 ，插值点 ，则表末公式余项nx,0, 1, 2,inxxih in nxxth231121!2!3!121!nnnnnnnnt tt tttP xthyyyyt tttnyn 11012,1 !nnnnn

16、hRxtht tttn fxxn其中Numerical Analysis2.232021/10/19例题：已知在7个点处的函数值试计算 的值。解根据函数值作出差分表cosyx0.00.10.20.30.40.50.61.000000.995000.980070.955340.921060.877580.82534ixiycos0.048cos0.575和0.01.000000.10.99500-0.005000.20.98007-0.01493-0.009930.30.95534-0.02473-0.009800.000130.40.92106-0.03428-0.009550.000250.

17、000120.50.87758-0.04348-0.009200.000350.00010-0.000020.60.82534-0.05224-0.008760.000440.00009-0.00001ixiyy2y3y4y5yNumerical Analysis2.242021/10/19由于五阶差分接近于零，可取四次插值多项式计算。插值点0.048位于附近，故可用表初公式计算。有 ，知因此00 x 0.04800.1htt0.48t 0.48 0.48 10.48cos0.04810.0050.0099312!0.48 0.48 1 0.4820.000133!0.48 0.48 1 0.

18、4820.4830.000124!0.99884 ！Numerical Analysis2.252021/10/19插值点0.575位于 附近，故可用表末公式计算。有 ，知 。因此0.5750.60.60.1htt0.250.25 10.25cos0.5750.825340.052240.008761!2!0.250.25 10.2520.000443!0.250.25 10.2520.2530.000094!0.8391560.6x 0.25t Numerical Analysis2.262021/10/192.52.5 Hermite插值插值许多实际的插值问题不但要求在节点上函数值相等，而

19、且还要求对应的导数值也相等，甚至要求更高阶导数也相等，满足这种要求的插值多项式就是Hermite插值多项式。构造Hermite插值多项式的方法就是Hermite插值法。设在节点 上，已知要求构造满足该条件的插值多项式。01naxxxb( ),( )iiiiyf xmfxNumerical Analysis2.272021/10/19假设待构造的插值多项式H(x)需要满足以下插值条件这里给出了2n+2个条件，可唯一确定一个次数不超过2n+1的多项式其形式为如果根据插值条件来确定系数，显然是非常复杂。因此，我们采用类似于拉格朗日插值多项式的构造方法并用具有特殊性质的基函数来构造Hermite插值多

20、项式。,0,1,iiiiH xyHxmin 21nH xHx 210121nnH xaa xaxNumerical Analysis2.282021/10/19利用插值节点构造如下两类特殊的2n+1次多项式其中， 是拉格朗日插值多项式的插值基函数。可以验证，具有以下性质 22120,1,iiiiiiiixxx lxlxinxxx lx 0,1,ilxin iixx和 2ii1,1 20,001,0,kkiiiikikkikkixxx lxlxkixxkixkiNumerical Analysis2.292021/10/19利用以上性质，构造Hermite插值多项式由于是 的线性组合，组合系数为

21、 ，所以称 是 Hermite插值多项式的。 210nniiiiiHxyxmx 21nHx ,0,1,iixxin和,0,1,iiym in和 iixx和Numerical Analysis2.302021/10/19当 时，则有两点三次Hermite插值多项式，注意到两个节点时基函数 的形式，即知满足条件的插值多项式为1n 01,xx 01,lxlx00001111,H xf xHxfxH xf xHxfx 20101001201101102201001101101212xxxxH xf xxxxxxxxxf xxxxxxxxxxxfxxxfxxxxxNumerical Analysis2.

22、312021/10/19例题已知函数 满足条件试构造三次Hermite插值多项式。解利用公式得 yf x 00,11,03,19ffff 222232011201 00 1101210 11 01003190 11 010123xxH xxxxxxxxxxNumerical Analysis2.322021/10/192.6 分段低次插值分段低次插值分段线性插值和抛物插值分段线性插值就是通过插值点用折线段连接起来逼近被插值函数f(x)。分段二次插值叫做抛物插值Numerical Analysis2.332021/10/19设函数 在n+1个节点：上的函数值分别为 ，记现在要用过曲线 上n+1个

23、点的折线近似代替曲线，这就是分段线性插值函数的几何解释。记这种折线函数为，则其在每个小区间 上为线性函数 yf x012naxxxxb ,0,1,2,iiyf xin1,maxiiiiihxx hh yf x,iixy ,hIxxa b1,iix x 111111hiiiiiiiiiiiiIxlx ylx yxxxxyyxxxxNumerical Analysis2.342021/10/19若记并称为分段线性插值基函数，则分段线性插值函数可表示为 11111111,0,0,kkkkkkkkkkkkkxxxxxkxxxxlxxxxknxxxa bxxx 0nhkkkIxlx yNumerical

24、 Analysis2.352021/10/19分段线性插值的算法简单，但精度不高。为了提高精度，有时取三个节点 ，按抛物插值公式进行计算，称为分段二次插值或抛物插值。其中，三点的取法取决于插值点x的位置。11,iiixx x 111111111111111111hiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiSxlx ylx ylx yxxxxxxxxyyxxxxxxxxxxxxyxxxxNumerical Analysis2.362021/10/19例题已知 在区间0,1内四等分点的函数值：试分别用分段线性插值和分段抛物插值的方法求各段中点的函数值。解1、分段线性插值区间0,0.25

25、的中点为0.125，该段上的线性插值函数为同理，有 xfxexi00.250.50.751f(xi)11.28401.64872.11702.7183 000.25011.28400.1251.142000.250.250 xxIxI 1230.3751.4664,0.6252.1170,0.8752.4177IIINumerical Analysis2.372021/10/192、分段抛物插值对于中点0.125，取节点，根据分段抛物插值公式有从而，精确值0120,0.25,0.5xxx 10.250.500.511.284000.2500.50.2500.250.500.251.64870.

26、500.50.25xxxxSxxx 0.1250.1251.1319fS0.1251.1331484eNumerical Analysis2.382021/10/19分段线性插值和分段抛物插值有个共同的缺点，即在各分段的连接点处不可导，相邻直线或抛物线的连接点处常出现角点，光滑性不够。为了解决这个问题，可构造导数连续的分段插值函数，常用的是分段三次分段三次Hermite插值插值。Numerical Analysis2.392021/10/192.7 2.7 样条插值样条插值样条函数的概念来源于工程设计的实践。所谓样条（Spline）是工程设计中的一种绘图工具，是一种富有弹性的细长条。绘图时用亚铁迫使样条通过指定的型值点，并调整样条，使其具有光滑的外形，然后按样条画出曲线，称为样条曲线，相应的函数关系称为样条函数。当以样条函数为插值函数时，称为样条插值。样条曲线实际上是由分段三次曲线并接而成，在连接点即样点上要求二阶导数连续，从数学上加以概括就得到数学样条这一概念。Numerical Analysis2.402021/10/19定义若函数，且在每个小区间 ，上是三次多项式，其中 是给定节