各种积分间的联系与场论初步

1、各种积分间的联系与场论初步下面的图表给出了各种积分间的联系，在计算中可以根据这些关系，将一种积分转化为另一种积分。第一型曲线积分二重积分第二型曲线积分 格林公式 斯托克司公式 三重积分第一型曲面积分积分第二型曲面积分面积分 高斯公式 例1 设为平面上封闭曲线，为平面上任意方向，是的外法线方向。证明 y x证明 ， 因为 ， 则 ， 注1 此例给出了平面上闭曲线切线正向和外法线矢量的关系：（这个结果在7、8、12题都要用到） ， 注2 利用这个关系，可得格林公式的另一种形式： 或（用外法向矢量） 试比较（用正向的切线矢量） 事实上 注3 我们已经知道，格林公式是斯托克司公式当是平行于坐标面的平面

2、曲线时的特殊情形。而从格林公式的上述形式可以看出，格林公式也可作为高斯公式的特殊情形。在高斯公式中，设不依赖于。考虑平行于轴的单位高柱体的边界曲面的外侧，它在面的投影为曲线。记柱面的上底面为，下底面为，侧面为，则 又 即 例2 设具有二阶连续偏导数，证明（1）（2）其中，为闭曲线所围的平面区域，为沿外法线方向的导数。证 （1）在格林公式的等价形式中令得， 即 （2） 注4 在式中令，则（2）即化为（1）。注5 设，为空间立体的边界，为沿外法线方向的导数，则有格林第一公式： 格林第二公式： 12/394 题的（2）（3）分别是格林第一和第二公式的低维情形，在格林第一公式中令即得13（2）/394

3、。例3 用斯托克司公式计算下列积分(a) (b) 是曲线，它的方向与所围曲面的上侧构成右手法则。解 是曲面上所围部分的上侧。它关于zx平面对称，在xy平面的投影是。 （斯托克司公式） （，对称性） （两类曲面积分的关系） （，对称性）（两类曲面积分的关系，几何意义）注6 这题很巧妙，是一道综合性很强的题，用到的知识有：1、 斯托克司公式2、 两类曲面积分的关系，曲面的法向矢量3、 对称性4、 几何意义例4 证明高斯积分 其中是平面上一单连通区域的边界，而是上一点到外某一定点的距离，是的外法线方向。又若表示上一点到内某一定点的距离，则这个积分之值等于。解 （1）设外某一定点，则 ， = ， 注意

4、是外某一定点，故和在内处处连续，由格林公式得 （2）设是内某一定点，这时格林公式不再成立。以为中心，为半径作圆，充分小使完全含于内。取的方向为顺时针方向，则由（1）知故 几何解释 积分值是从点所能看到曲线的角的度量。事实上，以为半径作圆心角为的圆弧，则 是在圆弧上的投影，而 就是从点所能看到元素的角的度量，将所有这些角求和，得就是从点所能看到曲线的角的度量。注意 时是负角，即 时是正角，即故当是外某一定点时，正负角抵消，积分。而当是内某一定点时，总有，因而积分=。根据这个几何解释可知，当是曲线上某一定点时，积分 。 注7：这是一个著名的积分，要用到5/392给出的平面上封闭曲线的正向与外法线方向的关系。相应的也有曲面积分的高斯积分（9/393），求解的思想方法是一样的，几何解释也很有意义。 积分与路径无关例5 求,其中是被积函数的定义域内从(2,0)到(0,2)的逐段光滑曲线。解 被积函数的定义域记 ，则在定义域内有连续的偏导数，且。取，逆时针方向，则 于是内任意一条封闭曲线，若包围了单位圆，则 若不包围单位圆，则由格林公式 2 故积分与路径无关。取平行于坐标轴的折线段如图，得 2 场论初步例6 计算曲面积分，其中，为球