向量的物理背景与概念及向量的几何表示

1、2.1.1 向量的物理背景与概念及向量的几何表示教学目标：1. 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.2. 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.3. 通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.学 法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念

2、来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.教学思路： （一）一、情景设置：如图，老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图）ABCD结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.分析：老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方向、有长短的量.引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？二、新课学习： （一）向量的概念： 。（二）请同学阅读课本后回答：（7个问题一次出现）1、数量与向量有何区别？（数量没有方向而向量有方向）2、如何表示向量？ 3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？4、长度为零的向量叫什么

3、向量？长度为1的向量叫什么向量？5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？ （三）探究学习1、数量与向量的区别： 2.向量的表示方法：向量与有向线段的区别：4、零向量、单位向量概念：5、平行向量定义：（四）理解和巩固： 例1 书本75页例1.例2判断：（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）（2）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）（3）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）课堂练习：

4、书本77页练习1、2、3题三、小结 ：1、 描述向量的两个指标：模和方向.2、平面向量的概念和向量的几何表示； 3、向量的模、零向量、单位向量、平行向量等概念。2.1.2 相等向量与共线向量教学目标：1.掌握相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.教学重点：理解并掌握相等向量、共线向量的概念，教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.教学思路：一、情景设置：(一)、复习：1、数量与向量有何区别？（数量没有方向而向

5、量有方向）2、如何表示向量？3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？(二)、新课学习 1、有一组向量，它们的方向相同、大小相同，这组向量有什么关系？2、任一组平行向量都可以移到同一直线上吗？这组向量有什么关系？三、探究学习1、相等向量定义：2、共线向量与平行向量关系：四、理解和巩固：例1如图，设O是正六边形

6、ABCDEF的中心，分别写出图中与向量、相等的向量.变式一：与向量长度相等的向量有多少个？变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？变式三：与向量共线的向量有哪些？例2判断：（1）不相等的向量是否一定不平行？ （2）与零向量相等的向量必定是什么向量？（3）两个非零向量相等的当且仅当什么？ （4）共线向量一定在同一直线上吗？（）例3下列命题正确的是（ ）A.与共线，与共线，则与c也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量与不共线，则与都是非零向量 D.有相同起点的两个非零向量不平行课堂练习：1判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.向量与是共线向量，则A

7、、B、C、D四点必在一直线上； 单位向量都相等；任一向量与它的相反向量不相等； 四边形ABCD是平行四边形当且仅当 一个向量方向不确定当且仅当模为0； 共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.2书本77页练习4题三、小结 ：1.描述向量的两个指标：模和方向. 2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.3、共线向量与平行向量关系、相等向量。 向量的加法运算及其几何意义教学目标：1.掌握向量的加法运算，并理解其几何意义； 2.会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力； 3.通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结

8、合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.教学难点：理解向量加法的定义.教学思路：一、设置情景：1、 复习：向量的定义以及有关概念强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置2、 情景设置：（1）某人从A到B，再从B按原方向到C， 则两次的位移和：（2）若上题改为从A到B，再从B按反方向到C， 则两次的位移和：（3）某车从A到B，再从B改变方向到C， 则两次的位移和：A BCA BCA B CC

9、A B（4）船速为，水速为，则两速度和：二、探索研究：、向量的加法： 、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）ABCa+ba+baabbaa如图，已知向量a、.在平面内任取一点，作a，则向量叫做a与的和，记作a，即 a， 规定： a + 0-= 0 +aa a探究：（1）两向量的和与两个数的和有什么关系？ 两向量的和仍是一个向量；什么时候时， |+|<|+|；什么时候|+|=|+|，什么时候|+|=|，（3）“向量平移”（自由向量）：例一、已知向量、，求作向量+加法的交换律和平行四边形法则问题：上题中+的结果与+是否相同？ 验证结果相同从而得到：）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不

10、适应） ）向量加法的交换律：+=+你能证明：向量加法的结合律：(+) +=+ (+) 吗？6由以上证明你能得到什么结论？ 三、应用举例：例二（P8384）略变式1、一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行速度的大小为，求水流的速度.变式2、一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，船的实际航行的速度的大小为，方向与水流间的夹角是，求和.练习：P84面1、2、3、4题四、小结 1、向量加法的几何意义；、交换律和结合律；、|+| | + |，当且仅当方向相同时取等号.五、思考：你能用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形吗？向量的减法运算及

11、其几何意义教学目标：1. 了解相反向量的概念；2.掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；3.通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物间可以相互转化的辩证思想.教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法.教学难点：减法运算时方向的确定.教学思路：一、 复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则，向量加法的运算定律：例：在四边形中， . 二、 提出课题：向量的减法1 用“相反向量”定义向量的减法（1） “相反向量”的定义： （2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a) = 0 如果

12、a、b互为相反向量，则a = -b， b = -a， a + b = 0 （3） 向量减法的定义：.2 用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算： 若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a - bOabBaba-b3 求作差向量：已知向量a、b，求作向量a - b (a-b) + b = a + (-b) + b = a + 0 = a 作法：在平面内取一点O， 作= a， = b 则= a - b 即a - b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.OABaBb-bbBa+ (-b)ab 注意：1°表示a - b. 强调：差向量“箭头”指向被减数

13、 2°用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b)4 探究：） 如果从向量a的终点指向向量b的终点作向量，那么所得向量是 ）若ab， 如何作出a - b？a-bAABBBOa-baabbOAOBa-ba-bBAO-b三、 例题：例一、（P86 例三）已知向量a、b、c、d，求作向量a-b、c-d. 例二、平行四边形中，a，b， 用a、b表示向量、.变式一：当a， b满足什么条件时，a+b与a-b垂直？（|a| = |b|）变式二：当a， b满足什么条件时，|a+b| = |a-b|？（a， b互相垂直）变式三：a+b与a-b可能是相等向量吗？（不可能， 对角线方向不

14、同）A B D C练习：1。87面1、2题2在ABC中， =a， =b，则等于( )A.a+b B.-a+(-b) C.a-b D.b-a向量数乘运算及其几何意义教学目标：（1）掌握向量数乘运算，并理解其几何意义； （2）培养数形结合解决问题的能力； （3）通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法一、情境设计：1.复习:向量的加法运算和减法运算定义以及有关概念.2.情景设置：二、探索研究： 探究2：（1）若b=a，a 与b有什么关系呢？ （2）若a 与b共线，能否得到a 与b的一个关系呢?4共线定理： 5.平面向

15、量的线性运算（1） 称为线性运算。 三、例题：DCBOA练习：课本P88例5例2、已知e1，e2，C、D是AB的三等分点，求、.(见成才之路P48例4)四、 小结：向量答案： 向量的物理背景与概念及向量的几何表示（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。1、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 2.向量的表示方法：用有向线段表示； 用字母、（黑体，印刷用）等表示；用有向线段的起点与终点字母：；向量的大小长度称为向量的模，记作|. 3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度向量与有

16、向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.4、零向量、单位向量概念：长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别.长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.5、平行向量定义：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我们规定0与任一向量平行.说明：（1）综合、才是平行向量的完整定义；（2）向量、平行，记作. 向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点

17、无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.4、零向量、单位向量概念：长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别.长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.5、平行向量定义：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我们规定0与任一向量平行.说明：（1）综合、才是平行向量的完整定义；（2）向量、平行，记作. 例2（1）（不一定）（2）（零向量）（3）（平行向量） 相等向量与共线向量1、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量

18、叫相等向量.说明：（1）向量与相等，记作；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关.2、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.变式一：11变式二：存在 变式三：例2判断：1.不一定2. 零向量3. 长度相等且方向相同4.不一定 例3解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若与不都是非零向量，即与至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有与共线，不符合已知条件，所以有与都是非零向量，所以应选C. 课堂练习：