浅谈定积分的对称性

1、浅谈定积分的对称性周莉 学号:09003035（巢湖学院数学系 安徽 巢湖 238000）摘 要：定积分在积分学中占有非常重要的位置，而且它的计算相对来说比较的麻烦，所以为了使定积分的有关计算变得简单一点，我们需要用到定积分的一些性质。本文在原有的学习的相关知识的基础上，归纳总结了对称性在积分运算中的应用，同时也给出了对称性在定积分以及二重积分运算中的有关定理、推论和一些应用。在本文中充分地体现了在积分运算中定积分的对称性所带来的方便，使其达到了简化积分运算的目的。这个对于积分运算的解答和数学理论的研究来说，都有着非常重要的意义。关键词：定积分；对称性；奇函数；偶函数On the Symmet

2、ry of the Definite IntegralZhou Li StuNo:09003035（Department of Mathematics,Chaohu college, Chaohu Anhui 238000）Abstract: The definite integral in the integral calculus occupied a very important position, and its calculating relatively trouble, so we need to use some properties of definite integral

3、to make some more complex computation became simplified. This paper USES mathematical analysis of the integral summarized the application in the integral computation symmetry, and gives the symmetry in definite integral, the double integral operation related theorem and application. Fully embodies t

4、he symmetry in the integral operation bring convenience, achieved the purpose of simplified integral operation. This point for mathematical theory research and integral computation solutions are of significance.Keyword：definite integral; symmetry; odd function; even function引 言数学的对称美是解决数学难题的关键，同时也为数

5、学研究提供了一种独特的方法。 对称性是指某一事物对象的两个部分的对等性。其定义用集合语言刻画如下:设给定一个集合M,在其内考虑元素间的某些关系,并设P是M的一个子集,对于M的一个可容许变换A,称集合P是对称的或不变的,若变换A把集合P中的每一点仍变为P的点。有关数与形的对称在积分学中极为常见, 许多问题初看起来似乎难以解决,不易下手,但一旦恰当地利用了某种对称性,这个复杂的计算问题就变得异常简单。本文的第一部分先介绍了定积分的概念，然后从定积分的对称性出发，将定积分的对称性运用到一些例子中，使其运算变得简便。再作进一步推广,得到几个更一般性的结果,将这些结果应用于某些定积分的计算将十分方便。最

6、后再将对称性推广到二重积分中，使其有更广泛的应用。一、定积分的概念定积分是积分学的基本内容。从历史上说，定积分的概念是从一系列诸如求面积、体积等几何问题和变力做功等力学等问题中提炼出来的，最后归结为计算既有特定结构的和式的极限。定义1.1：设闭区间上有n-1个点，依次为它们把分成个小区间.这些分点或这些闭子区间构成对的一个分割，记为或.小区间的长度为并记称为分割的模。定义1.2：设是定义在上的一个函数。对于的一个分割，任取点并作和式称此和式为函数在上的一个积分和。定义1.3：设是定义在上的一个函数，J是一个确定的实数。若对任给的正数，总存在某一正数，使得对的任何分割T，以及在其上任意选取的点集

7、，只要就有则称函数在区间上可积；数J称为在上的定积分，记作其中，称为被积函数，称为积分变量，称为积分区间，分别称为这个定积分的下限和上限。以上定义1到定义1.3是定积分概念的完整叙述。一、定积分的对称性（一）定积分的对称性的性质性质1 ：设函数在区间 上可积：（1）如果为偶函数，则（2）如果为奇函数，则即证明：因为对积分作代换,则有所以如果为偶函数，则从而如果为奇函数，则从而证毕。我们在做题目的时候，凡是遇到积分区间关于原点对称的定积分问题，首先要考虑是否能够用定积分的对称性将其化简。例题1：解：因为是偶函数，是奇函数所以是奇函数，由根据定积分的对称性得例题2：计算积分解：令则其中为偶函数，则

8、：令，则 例题3：求定积分解：因为是奇函数，所以也是奇函数，又为偶函数。因此根据定积分的对称性化简得：用公式得：原积分=例题4：设在上连续，且对任何都有，计算解：因为 所以即为奇函数由定积分的对称性，有：性质2：“互补相等性”有一种定积分经过变量代换后与原积分互补，即经过变量代换后的积分式与原积分式合并可以得到简单的积分式。我们也将其归入定积分的对称性之中，这种对称性实质上是一种“互补相等性”，利用这个性质可以简化某些定积分运算。被积函数的分母为两项，分子为其中一项的这类定积分在计算中，经常利用这种互补相等性，例如下面的例题：例题5：求定积分解：因为=所以 因此上面这种利用“互补相等性”来化简

9、定积分的做法可以概括为：先作变量代换，保证变换后积分限不变，然后利用互补性将变换式与原式相加得到一个简单的易积分的积分式，复杂部分被消去，最后通过计算这个简单的易积分的积分式来求出原积分式的值。用这种方法化简某些定积分运算时要注意下面几点：（1） 不要求原定积分的积分区间一定关于原点对称。（2） 变量代换的一般做法为：若积分区间关于原点对称，则作变量代换；若积分区间为，则作若积分区间为，则作若积分区间为则作若积分区间为，则作如果将上述命题作进一步推广,将得到如下几个更一般性的结果,将这些结果应用于某些定积分的计算将十分方便。（二）定积分的对称性的相关定理及推论定理1设函数在上可积,则有： （1

10、）特别地,当积分区间为时，有： （2）证明：设,则且当 时，当时，于是有(2)式可由（1）式直接推得。证毕。例题6：设函数在区间上连续，且计算：解：令则因此由定理1可得： 所以定理2：设函数在区间上可积，且有，即关于区间的中点为偶函数，则有： （3）证明： （4）对于右式中的第二项,令则且当时，当时，于是有： 代入（4）式即得（3）式。证毕。定理3：设函数在区间上可积，且有。即关于区间的中点为奇函数，则有与定理2的证明同理,可证得定理3。但考虑到对称性，利用定理1来证明定理3更为直观、方便。证明：由（2）式得 于是有。证毕。推论1：设函数在区间上连续，则有证明： 容易验证，上式右边积分中的被积

11、函数关于区间中点为奇函数，由定理3可知积分为0，于是的证。同理可得。证毕。例题2：解：上式= 因为为偶函数，为奇函数所以 三定积分的对称性在二重积分中的推广对称性不仅仅只运用在一重积分之中，也可以运用到二重积分之中。下面我就从二重积分的方面来谈谈对称性的运用。1、二重积分的对称性二重积分的积分域定义在平面内，可以通过画简易图示来分析二重积分的对称性。在满足“配套关系”的前提下，二重积分的对称性可以总结如下：（1） 如果积分域D关于x轴对称，被积函数为关于y的奇偶函数，则 其中为x轴平分D得到的半个部分。（2） 如果积分域D关于y轴对称，被积函数为关于x的奇偶函数，则 其中为y轴平分D得到的半个

12、部分。（3） 如果积分域D关于原点对称，被积函数为关于x，y的奇偶函数，则 其中为过原点的直线平分D得到的半个部分。（4） 如果积分域D关于y=x轴对称，则 说明：（1）（2）（3）要求积分域D的对称性与被积函数f(x,y)的奇偶性满足配套关系时才能使用对称性化简二重积分。而（4）只要求积分域D关于y=x对称，对被积函数没有奇偶数要求，但是（4）并没有对积分运算进行化简，只有当x,y互换后的二重积分与原积分具有“互补相等性”时，才能用在前面“定积分的对称性”中提到的“互补相等性”来化简积分运算。具体例子参见下面例题12.例题11：计算其中积分域D由下列双纽线围成：解：用-x代换曲线方程中的x，

13、曲线方程的形式不变，可知积分域D关于y轴对称，又因为被积函数xy为x的奇函数，所以根据二重积分的对称性，可得到：例题12：设区域，为D上的正值连续函数，为常数，则的值为（ ）（A） （B） （C） （D）解：由已知条件可知：积分域关于对称。根据前面讨论过的二重积分的对称性（4），有 ，所以 所以选择（D）。说明：本例的积分式在使用二重积分的对称性进行变换之后，与原积分式具有“互补相等性”。因此本例是利用“互补相等性”来化简积分运算。例题13：计算其中D是所围成的区域，为连续函数。解：用将积分域分成两部分。可见关于y轴对称，关于x轴对称。因为是关于的奇函数，所以而因为是关于的奇函数所以因此原积分 其中为在轴之上的半个部分。以上就是对称性在二重积分中的应用。结束语：本文从定积分的对称性出发，分别介绍了对称性在一重积分和二重积分中的应用，主要归纳总结了对称性在计算不同的积分中的妙用，使一些较复杂的计算变得简化，利用对称性计算积分也是一种非常重要的计算技巧。归纳总结了对称性在计算定积分中的妙用，使一些较复杂的计算变得简单。这些推论可用于简化积分运算，特殊情况下可以求出一些较复杂的定积分的值。参考文献：1华东师范大学数学系. 数学分析（上册）. 北京:高等教育出版社, 20062同济大学应用数学系. 高等数学（第五版，上册）.北京：高等教育出版社，20