2020届四川省宜宾市第二中学高三下学期第一次在线月考数学(理)试题(解析版)

1、第1页共 21 页2020 届四川省宜宾市第二中学高三下学期第一次在线月考数学（理）试题一、单选题1设集合A x| x 2 ,B 1,0,1,2,3，则AI B（）A 0,1B. 0,1,2C 1,0,1D 1,0,1,2【答案】C【解析】解绝对值不等式求得集合A，由此求得AI B【详解】由x 2，解得2x2，所以A B 1,0,1.故选：C【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，考查绝对值不等式的解法，属于基础题.【答案】B在第二象限，选 B.【考点】复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(a bi

2、)(c di) (ac bd) (ad bc)i,(a,b,c.d R).其次要熟悉复数相关基本概念，如复数a bi（a,b R）的实部为a、虚部为b、模为.a2、对应点为（a, b）、 共轭为a bi.3 某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2017 年 1a,b1, 22 定义运算dad bc，若z 2c,i, i则复数z对应的点在A第一象限B.第二象限C第三象限D 第四象限【解析】试题分析：Z 2i22ii, i1 2i,Z 1 2i，所以复数z对应的点第2页共 21 页月至 2019 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图根 据该

3、折线图，下列结论错误的是（）B 各年的月接待游客量高峰期大致在8 月C 2017 年 1 月至 12 月月接待游客量的中位数为30 万人D 各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳【答案】C【解析】利用折线图的性质直接求解.【详解】解：由 2017 年 1 月至 2019 年 12 月期间月接待游客量的折线图得：在A中，年接待游客量虽然逐月波动，但总体上逐年增加，故A正确；在B中，各年的月接待游客量高峰期都在8 月，故B正确；在C中，2017 年 1 月至 12 月月接待游客量的中位数小于30 万人，故C错误；在D中，各年 1 月至 6 月的月接

4、待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较 平稳，故D正确.故选：C【点睛】本题考查命题真假的判断，考查折线图的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基 础题.4右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的更相减损术”执行该程序框图，若输入a,b分别为 14,18，则输出的a()第3页共 21 页r ra b 1设a与b的夹角为 ，cos r，所以 - 故选：B.【详解】因为1 1 a2b73，所以r r a2bI1r r 2,-rr-J a 2bV1 4a b 4rr【解析】由a 2b J3可求出a b，再根据向量的夹角公式， 即可求出a与.3，解得A . 0B. 2

5、C. 4【答案】B【解析】由 a=14, b=18, avb,则 b 变为 18 - 14=4,由 a b，贝 V a 变为 14 - 4=10 ,由 a b，则 a 变为 10 - 4=6,由 a b，则 a 变为 6 - 4=2 ,由 avb，则 b 变为 4 - 2=2 ,由 a=b=2,则输出的 a=2.故选 B.D . 143，则a与b的夹角为(A. 6B. 3【答案】B的夹5.已知a，v均为单位向量，若-2b第4页共 21 页【点睛】本题主要考查向量夹角公式和向量的模的计算公式的应用，属于基础题.3第5页共 21 页x6.函数f（x）飞-在6,6的图像大致为（）e e【解析】利用定

6、义考查函数的奇偶性，函数值的符号以及f 2与1的大小关系辨别函的图象.【详解】选项;【点睛】本题考查函数图象的辨别，在给定函数解析式辨别函数图象时，要考查函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及特殊值，利用这五个要素逐一排除不符合要求的选项，考查 分析问题的能力，属于中等题.2 2 67.a b a 2b的展开式中a4b4的系数为（）A . 320B. 300C. 280D . 260【答案】 B【解析】6a Oh弃耳十白缶甬 Tiff*.Tr 1C；a6 r2br2rC；a6rbr,Qf3xxe3xxex，所以，函数yx为奇函数，排除 D0时,0,则0，排除 A 选项;2322e e1，排除

7、B 选项故选 C.【答案】C3第6页共 21 页a 2b 展丿丨式的通项为.则：T5446 44242 Cea b 240a b ,T322Cea6 2b260a4b2,第7页共 21 页据此可得：a4b4的系数为240 60 300.本题选择B选项.8.5 人并排站成一行，如果甲乙两个人不相邻，那么不同的排法种数是（）A . 12B. 36C. 72D. 120【答案】C【解析】由分步原理，先排除去甲、乙两人外的3 人，再将甲、乙两人从 4 个空中选 2个插入即可得解.【详解】3解:先除去甲、乙两人，将剩下的3 人全排，共A332 1=6 种不同的排法，2再将甲、乙两人从 4 个空中选 2

8、个插入共A=12 种不同的排法，即 5 人并排站成一行，如果甲乙两个不相邻，那么不同的排法种数是6 12 72，故选 C.【点睛】本题考查了排列组合中的不相邻问题，属基础题.9.如图，网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱长为（）A .4 3B .4.2C .6D .2 5【答案】C第8页共 21 页【解析】由题可得立体图形：则AB AC 4,PC 1642.5, BC 4 2,AP BP .16 16 4 6,所以最长棱为 6第9页共 21 页【答案】C【解析】分析：根据函数 y=Asin(3x+?)的图象变换规律，得到g(x)=3sin(2x-)，从

9、而得到 g ( x)图象的一条对称轴是x.3详解：将函数 f (x) =3sin (4x+)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍，可得函6数 y=3sin (2x+)的图象,6y=3sin2 (x - )+ =3sin (2x -6 6 6(x)=3sin(2x).6k令 2x- =kn+ ,kz,得到 x= ?n+ ,kz.6223则得 y=g (x)图象的一条对称轴是x,3故选 C.点睛：本题主要考查函数y=Asin(3x+?)的图象变换规律，函数y=Asin(3x+?)的图象的对称轴，属于中档题.y=Asin (3x+?)图象的变换，函数图像平移满足左加右减的原则，这一原则只针对x 本

10、身来说，需要将其系数提出来，再进行加减点睛：考察三视图10 .将函数x 3sin 4x图象上所有点的横坐标伸长到原来的62 倍，再向右平移訂单位长度，得到函数y g x的图象，贝U y g x图象的一条对称轴是122B.x6C.xiD.X刁再向右平移 一个单位长度，可得6的图象，故 g第10页共 21 页11.设a log30.4,bA.ab0且ab 0C.ab0且ab 0【答案】B【解析】容易得出1 lOg30.40,出ab0,a b0.【详解】Q -(0.411 lOg30.40.3又lOg23 1，即1 a 0,b1,B.ab 0且ab0D.ab 0且ab0log231，即得出1a0,b

11、 1，从而得log23，则()即最小值 5.第 7 页共 21 页ab 0,a b 0.故选：B.【点睛】本题考查对数函数单调性的应用，求解时注意总结规律，即对数的底数和真数同时大于1 或同时大于 0 小于 1,函数值大于 0;若一个大于 1,另一个大于 0 小于 1，函数值小 于 0.212 过双曲线x2y1的右支上一点 P 分别向圆 G :（X 2）2寸4和圆C2:3（x 2）2y21作切线，切点分别为M ,N，则| PM |2| PN |2的最小值为（）A . 5B. 4C. 3D . 2【答案】A2【解析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线X2 1的左右焦点为Fd 2,0）,3F2（2,0

12、），连接PF1,PF2,F1M, F2N，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值.【详解】圆G：( x 2)22y4的圆心为（2,0），半径为r12圆C2:(x2)22y 1的圆心为（2,0），半径为血1,设双曲线2x2壬31的左右焦点为R（ 2,0）,F2（2,0）连接PF1:,PF2,F1M,F2N，可得2 2 2 2 2 2|PM | |PN | (| PF1| r1) (| PF2| 2 )2 2(| PF1|4)(| PF2|1)2 2|PF1| |PF2| 3 (| PF1| | PF2|)(| PF11 | PF?|) 32a(| PF

13、!| |PF2|) 3 2(| PR | | PF2|) 32g2c 3 2g4 3 5 .当且仅当P为右顶点时，取得等号第12页共 21 页【点睛】本题考查最值的求法，注意运用双曲线的定义和圆的方程，考查三点共线的性质,以及运算能力，属于中档题.二、填空题V/ VV V V4,|b| 1,a b 2，则向量2a b在b方向上的投影为【答案】【详解】 因为a4 1 3,【点睛】（3）a, b向量垂直则a b o；（4）求向量ma nb的模（平方后需求a b）14.ABC的内角A, B,C的对边分别为a,b,c.若b 6,a13 .已知【解先求出2a bb的值，再由2a b b-v-b可得结果.

14、向量2Vb在b方向上的投影为33,故答案为 3.1所以2a平面向量数量积主要本题主要考查向量的投影及平面向量数量积的运算，属于中档题vV a bvv一v|v（此时a b往往用坐标形式求解）；应用以下几个方面：（1） 求向量的夹角,cos（2）求投影，a在Z上的投影是n2c,B一，则厶ABC的3故选A.第13页共 21 页面积为_【答案】6、3【解析】 本题首先应用余弦定理，建立关于c的方程，应用a,c的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的 变形及运算求解能力的考查.【详解】由余弦定理得b2a2c22accosB,所以(2c)2c22 2

15、c c162,2即c212解得c 2 3,c23(舍去)所以a 2c 4.3,SABC acsin B 4 3 2 36.3.2 2 2【点睛】本题涉及正数开平方运算， 易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误.解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算.15 .在直三棱柱ABC ABC中，BAC 90且AB . 3,BB4，设其外接球的 球心为0，且球0的表面积为28，贝U ABC的面积为_ .【解析】先计算球的半径为,7，确定球心为HG的中点，根据边角关系得到AC 3,计算面积得到答案.【详解】球O的表面积为4 R228 R . 7如图所示：H,G为BC, B1C1

16、中点，连接HGBAC 90，故三角形的外心在BC中点上，故外接球的球心为HG的中点.【答3.3第14页共 21 页在Rt OGC中：OG -BB12,OC R，故CG 3;233第15页共 21 页故答案为：【点睛】本题考查了三棱柱的外接球问题，确定球心的位置是解题的关键16以抛物线C:y22px(p 0)的顶点为圆心的圆交C于代B两点，交C的准线于D,E两点.已知|AB| 2J6,|DE | 2価，则P等于_ 【解析】 画出图形，禾 U 用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即得p 的值.【详解】如图：| AB| 2、6, | AM |6 ,（两23XA2p PQ|OD| |OA|,|ON |2

17、| DN |2 |OM |2| AM |2在Rt ABC中：BC 2CG2 3 , AB 3，故AC3，故SABC| DE | 2 .10, |DN|兀,|ON |33第16页共 21 页2L 104926，解得：p一2, p第17页共 21 页故答案为.2 1/ fcI07VJ 一【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线与圆的方程的应用，考查数形结合思想,属于中档题.三、解答题17 .设Sn为等差数列an的前 n 项和，Sg= 81 , a283=8.（1）求an的通项公式；（2）右S3,ai4,Sm成等比数列，求S2m.【答案】（1）an= 2n 1（ 2）324【解析】（1）根据等

18、差数列通项公式和前n 项和公式，列出关于 厲和d的方程组，解方程组即可求解；（2）由题意，写出数列前 n 项和公式，根据等比中项公式列方程，求解m值，即可求解【详解】（1）Q Sn为等差数列an的前n项和，Sg= 81 , 8283=8.S990s 9 a14d 81a2832a13d 8解得 ai=1 d =2 ,an=1 n 12=2n 1.第18页共 21 页2Q S3,ai4,Sm成等比数列，S3Smai4,即9m2= 272解得m=9,S,m1823 24【点睛】18 每年七月份，我国 J 地区有 25 天左右的降雨时间，如图是 J 地区 S 镇 2000-2018年降雨量（单位：m

19、m）的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，解答下列问题：（1） 假设每年的降雨天气相互独立，求S 镇未来三年里至少有两年的降雨量超过350mm 的概率；（2）在 S 镇承包了 20 亩土地种植水果的老李过去种植的甲品种水果，平均每年的总利润为 31.1 万元.而乙品种水果的亩产量m （kg/亩）与降雨量之间的关系如下面统计表所示，又知乙品种水果的单位利润为32-0.01 和（元/kg），请帮助老李排解忧愁，他来年应该种植哪个品种的水果可以使利润E（万元）的期望更大？（需说明理由）；降雨量100, 200)200, 300)300, 400)400 , 500)亩产量50070060040

20、0(2)由(1)知,Snn 1 2n 1n2本题考查（1）等差数列基本量的求解（2）等比中项概念，属于基础题第19页共 21 页5【答案】（1）; （2）乙品种杨梅的总利润较大.32【解析】（1）由频率分布直方图中矩形面积和为1,计算第四组的频率，再求出第三组矩形面积的一半，求和即可求出对应的概率值， 再利用独立重复试验概率公式可得结果;（2）根据直方图求随机变量的概率，可得随机变量的分布列，求出乙品种杨梅的总利润的数学期望，与过去种植的甲品种杨梅平均每年的总利润为28 万元比较得出结论和建议【详解】（1）频率分布直方图中第四组的频率为1 100 0.002 0.004 0.003 0.1该地

21、区在梅雨季节的降雨量超过350mm的概率为50 0.003 0.1 0.25所以该地区未来三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过350mm的概率为2321131915C；1C；（或0.15625.）444646432（2）据题意，总利润为20n 32 0.01n元，其中n 500,700,600,400所以随机变量（万元）的分布列如下表：273531.222.4P0.20.40.30.1故总利润（万元）的期望E 27 0.2 35 0.4 31.2 0.3 22.4 0.15.4 14.0 9.36 2.24 31（万元）因为31 28，所以老李应该种植乙品种杨梅可使总利润（万元）的期望更大.【

22、点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用以及离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题直方图的主要性质有：（1 ）直方图中各矩形的面积之和为1；（ 2）组距与直方图纵坐标 的乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后 求和可得平均值；（4）直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数第20页共 21 页19如图，梯形ABCD中，AB/DC,AB 4,AD DC CB 2，将BCD沿BD折到BC D的位置，使得平面BCD平面ABCD.第21页共 21 页（1）求证：AD BC ;（2）求二面角B AC D的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2） 上 77【解析】（1）利

23、用长度关系可证AD面BCD，即可求证结论；（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面量法，即可求解.【详解】（1）在梯形ABCD中，过D作DH则AH 1，又AD 2，所以DH、3，DAH 60，ABD 30，故ADB 90，即AD BD. 又平面BCD平面ABCD，平面BCD I平面ABCD BD，AD平面ABCD，所以AD平面BCD， 又BC平面BCD，所以AD BC.（2）以D为原点，建立空间直角坐标系D xyz如图所示，贝UA 2,0,0,B 02、3,0,C 0,、一3,1BD，根据面面垂直的性质定理，可得ADADC 与平面ABC的法向量，运用空间向AB于H，uuuuuuDA 2,0,0,

24、AC2, 3,1,UULffAB22、3,0,uv uuvu口DA 0设平面ADC 的法向量n为，,乙，贝y uv uuuvR AC02x102x-jZ!令y11，得0,1,.3,uu设平面ABC的法向量n2uv uuv小n2AB 0 x2, y2,z2，贝V uvuuuyX1，解得0Z|第22页共 21 页即2x2/3y20解得X2V3 y22x2V3 y2Z20Z2令 y21UU得n2运1,3,irU近所以cosir unn1, n?nr U22n1n22777第23页共 21 页结合图形可知，二面角B AC D为钝角，它的余弦值为_7.7时，设为k，直线AB的方程为y k x 1,与轨迹

25、C的方程联立，结合根与系数的ULUV UUUV关系可得到AB+MN的表达式，然后利用函数与导数知识可求出AB MN的取值本题考查空间垂直的转换证明线线垂直，考查用空间向量法求二面角，考查计算能力,属于中档题20 已知点F 1,0，直线l: x4, P为平面内的动点，过点P作直线l的垂线，垂ULUV 1 UUUV足为点H，且PF PH2UUV 1 uuuvPF PH 0.2(1)求动点 P 的轨迹C的方程;AB与MN分别交轨迹C于A B, M,N四点.UUUU求ABMN的取值范围2 2【答案】(1) L 1 (2)43487UUV 1 UULV【解析】设动点Px,y,则H4,y,由PF尹 HUU

26、IV 1UULV PFPH2开计算得到x, y的关系式即可；(2)当直线AB的斜率不存在(或者为 0)时，可求出A, B, M,N四点坐标，即可得到AB MN7;当直线AB的斜率存在且不为 0【点睛】(2)过点 F 作两条互相垂直的直线第24页共 21 页范围.第25页共 21 页【详解】(1)设动点p X, y，则H 4, y,uuv由PF1 UULV PH2uuivPF1 uuu/ PH22212所以x1yX4422化简得Xy_1.431UUUV2-PH4(2)当直线AB的斜率不存在时，AB x轴,可设A 1,3，B 1,-，M 2,0，N 2,0，2 2AB 3, MN4，AB MN 7

27、，当直线AB的斜率为 0 时，ABy轴，同理得AB MN 7，当直线AB的斜率存在且不为0 时，设为k，则直线AB的方程为:y k x 1设A X1,y1, B X2,y2，由x2y2得:1433 4k2x28k2x 4k2120，则144k2144 0,为x28k24k2123 4k2 “23 4k2所以AB22y1y2k21 k264k416k2482144 k213 4k2 23 4 k234k2 22而uuv 12 k 1则AB -厂，3 4k、 、1直线MN的方程为：y x 1，uuiv20，贝U PF2 2故点p的轨迹C的方程为 1.432X1X24X1X2第26页共 21 页3t

28、 1 4t 1 841 t 22 2,3t 1 4t 10，得t 2;g【点睛】 本题考查了轨迹方程的求法，考查了向量的数量积，考查了直线与椭圆统合问题，考查了学生分析问题、解决问题的能力，及计算能力，属于难题.121 .已知函数f(x) In x mx在区间(0,1)上为增函数，m R.x(1)求实数m的取值范围；(2)当m取最大值时，若直线 I :y ax b是函数F(x) f (x) 2x的图像的切线,且a,bR，求ab的最小值【答案】 (1)m 2； (2)ab的最小值为-1.【解析】 (1) 根据f x 0在0,1上恒成立可得实数m的取值范围.(2)由题意得F xInx设切点坐标为1

29、xo,l nxo，根据导数的几何意义求得xXo1 a丄2, 1，又由Inxoax。b，得bInxo1，从而得到X。XoXoXo同理可所以uuvABk2LULJVMNuuuvMN1，则t12t2112 1k23 41k12 k213 4k21,12t1212 k212，3k 4k213k24g t在1,2上单调递减，在2,上单调递增综上所述,48712t12t3t 1 4t 112t2t7，故g t487，ULLVuuivEF的取值范围是4871xx第27页共 21 页最小值即可.【详解】0,1，a b lnx0 1,然后再利用导数求出函数h xX。X。Inx11(x0)的x(1) fInx1m

30、x,x又函数f在区间0,1上为增函数,0在0,1上恒成立,x在0,1上恒成立.则当x1时,取得最小值，且txmin实数m的取值范围为,2(2)由题意的F xInx2x2xInx12，设切点坐标为x,l nxx0则切线的斜率a f xX0又lnx1xaxb,1xx第28页共 21 页11a blnx021X。x令h xlnx1211(x 0),xx1212xx 2x 2 x 1则h x233xxxxx1,_2xb lnx0第29页共 21 页故当x 0,1时，h x 0,h x单调递减；当x 1,时，h x 0,h x单调当x 1时，h x有最小值，且h xminh 11,二a b的最小值为1递增.【点睛】本题考查导数的几何意义和导数在研究函数性质中的作用，其中在研究函数的性质中，单调性是解题的工具和基础， 而正确求导并判断导函数的符号是解题的关键， 考查计算 能力和转化意识的运用，属于基础题.22 在直角坐标系xoy中，曲线Ci的参数方程为3x 2t2（t为参数），以坐标原点5y 2t2为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系 曲线C2的极坐标方程为31 2si n2（1）求曲线 G 的普通方程，曲线 C2 的参数方程;（2）若 p, Q 分别为曲线G,C2上的动点，求PQ的最