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文档简介

1、贵州大学2007-2008学年第二学期考试试卷（标准答案） B信息安全数学基础 注意事项：1. 请考生按要求在试卷装订线内填写姓名、学号和年级专业。2. 请仔细阅读各种题目的回答要求，在规定的位置填写答案。3. 不要在试卷上乱写乱画，不要在装订线内填写无关的内容。4. 满分100分，考试时间为120分钟。题 号一二三四五六七八总 分统分人得 分得 分评分人一、 设a,b是任意两个不全为零的整数，证明：若m是任一正整数，则（am,bm）=（a,b）m.(共10分) 解：设 d=(a,b),d=(am,bm),由定理5，存在整数s,t使得 Sa+tb=d 两端同时乘m,得到s(am)+t(bm)=

2、dm因此d|dm.(5分) 又显然有dm|am,dm|bm,所以dm|d.故 d=(am,dm)（5分） 得 分评分人二、设p是素数.证明：如果则 或（共10分）证明：因为，所以p|(a -b )( a + b ), 如果P不整除（a+b),因为P为素数，所以(P,a+b)=1,有定理可知 (5分）； 同理，如果P不整除（a-b),因为P为素数，所以(P,a-b)=1,有定理可知(5 分）得 分评分人三、求出下列一次同余数的所有解.(共10分)解：(1)求同余式的解，运用广义欧几里得除法得：x5( mod 3)（5分）（2）求同余式的一个特解：x5( mod 3)（4分）（3）写出同余式的全部

3、解：X5 + 3t( mod 9)(t=0,1,2)（1分）得 分评分人四、求解同余式组：(共15分)解：原同余式等价同余式组直接验算，的解为的解为由中国剩余定理，可求得同余式组的解为，故原同余式的解为，共6个。得 分评分人五、求满足方程的所有点. (共10分)解:对x=0,1,2,3,4,5,6,分别求出y.得 分评分人六、判断同余式是否有解.（共15分） 解:不用考虑563是否是素数，直接计算雅可比符号，因为所以原同余式无解得 分评分人七、求所有素数p使得5为模p二次剩余。（共10分）解:即求所有素数P,st ()=1,易知，P是大于5的素数，根据二次互反律（）= （-1）（）=（）（1分

4、）（）=（）=1 p=1 (mod 5) (2分) ()= 1 p=2 (mod 5) （2分） ()= -1 p=3 (mod 5) （2分） ()=1 p= -1(mod 5) （2分）所以P1 (mod 5)or P-1 (mod 5) (1分）.得 分评分人8、 设p是一个奇素数，并且也是一个奇素数，设a是与p互素的正整数，如果，则a是模p的原根。（共10分）证明：即证a的指数等于p-1,也就是满足a1 (mod p)的p-1是最小的。（2分） 假设存在整数X < p-1,st a1 (mod p) (2分）因为为奇素数，p-1=*2(该分解是唯一的）（3分）因为a1,(mod p) 所以x不存在，即p-1为最小。（3分）得 分评分人九、设是素数，则是整

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