空间中的垂直关系 教案

1、适用学科高中数学适用年级高一适用区域人教版区域课时时长（分钟）2课时知识点线面垂直的判定与线面角，线面垂直的性质，面面垂直的性质平行、垂直关系的综合问题单调性的概念教学目标1.借助对实例、图片的观察，提炼直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义；2.归纳直线与平面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题；3.在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力，同时感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等数学思想.教学重点通过直观感知、提出猜想进而操作确认，获得直线、平面与平面垂直的性质定理教学难点综合应用线面平

2、行的判定定理和性质定理进行线面垂直与面面垂直的相互转化【教学建议】1、直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，应熟练掌握直线与平面垂直的 定义、判定定理、性质定理，并能依据条件灵活运用. 2、注意线面垂直与线线垂直的关系和转化. 3、距离离不开垂直，因此求距离问题的过程实质上是论证线面关系（平行与垂直）与解三角形的过程，值得注意的是“作、证、算、答”是立体几何计算题不可缺少的步骤. 4、在证明两平面垂直时，一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线；若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并要有利于证明，不能随意添加.在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内

3、作交线的垂线，使之转化为线面垂直.解决这类问题的关键是熟练掌握“线线垂直”“线面垂直”，“面面垂直”间的转化条件和转化应用【知识导图】教学过程一、导入近年来，立体几何高考命题形式比较稳定，题目难易适中，常常立足于棱柱、棱锥和正方体，复习是要以多面体为依托，始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的性质和判定作为考察重点.在难度上也始终以中等偏难为主，在新课标教材中将立体几何要求进行了降低，重点在对图形及几何体的认识上，实现平面到空间的转化，示知识深化和拓展的重点，因而在这部分知识点上命题，将是重中之重.二、知识讲解考点1 线线垂直1、判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平

4、行线中的一条，必垂直于另一条.2、三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.3、三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直.推理模式：.【教学建议】三垂线指PA，PO，AO都垂直内的直线a其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理要考虑a的位置，并注意两定理交替使用.考点2 线面垂直定义：如果一条直线l和一个平面相交，并且和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l和平面互相垂直其中直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面,直线与平面的交点叫做垂足.直线l与平面垂直记作：l.直

5、线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.考点3 面面垂直两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面.两平面垂直的判定定理：（线面垂直面面垂直）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.两平面垂直的性质定理：（面面垂直线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面.三 、例题精析类型一 线线垂直例题11如图1所示，已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H、L、M、N分别为A1

6、D1，A1B1，BC，CD，DA，DE，CL的中点，求证：EFGF.【解析】证明：如图2，作GQB1C1于Q，连接FQ，则GQ平面A1B1C1D1，且Q为B1C1的中点.在正方形A1B1C1D1中，由E、F、Q分别为A1D1、A1B1、B1C1的中点可证明EFFQ，由三垂线定理得EFGF.【总结与反思】以垂直为背景，加强空间想象能力的考查，体现了立体几何从考查、论证思想.类型二：线面垂直例题2（1）如图，ABCDA1B1C1D1是正四棱柱，求证：BD平面ACC1A1.（2）如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱.（I）证明平面；（II）设证明平

7、面.【解析】证明：（1）ABCDA1B1C1D1是正四棱柱，CC1平面ADCD, BDCC1ABCD是正方形，BDAC又AC，CC1平面ACC1A1,且ACCC1=C, BD平面ACC1A1.（2）证明：（I）取CD中点M，连结OM.在矩形ABCD中，又则连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形.又平面CDE，且平面CDE，平面CDE.（II）连结FM.由（I）和已知条件，在等边中，且因此平行四边形EFOM为菱形，从而.平面EOM，从而而所以平面【总结与反思】考查直线与平面垂直等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.例题3如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC1，ACB90，AA1，

8、D是A1B1中点（1）求证C1D平面A1B；（2）当点F在BB1上什么位置时，会使得AB1平面C1DF？并证明你的结论.【解析】（1）证明：如图，ABCA1B1C1是直三棱柱，A1C1B1C11，且A1C1B190.又D是A1B1的中点，C1DA1B1.AA1平面A1B1C1，C1D平面A1B1C1，AA1C1D，C1D平面AA1B1B.（2）解：作DEAB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连结C1F，则AB1平面C1DF，点F即为所求.事实上，C1D平面AA1BB，AB1平面AA1B1B，C1DAB1又AB1DF，DFC1DD，AB1平面C1DF.【总结与反思】本题（1）的证明中，证得C

9、1DA1B1后，由ABCA1B1C1是直三棱柱知平面C1A1B1平面AA1B1B，立得C1D平面AA1B1B.（2）是开放性探索问题，注意采用逆向思维的方法分析问题.类型三：面面垂直例题4如图，ABC 为正三角形，EC平面ABC ，BDCE ，CE CA 2BD ，M 是EA 的中点，求证：（1）DE DA ；（2）平面BDM平面ECA ；（3）平面DEA平面ECA.【解析】证明：（1）如图，取EC 中点F ，连结DF.EC平面ABC，BDCE，得DB平面ABC.DBAB，ECBC.BDCE，BDCEFC，则四边形FCBD是矩形，DFEC.又BABCDF，RtDEFRtABD，所以DEDA.（

10、2）取AC中点N，连结MN、NB，M是EA的中点，MNEC.由BDEC，且BD平面ABC，可得四边形MNBD是矩形，于是DMMN.DEDA，M是EA的中点，DMEA又EAMNM，DM平面ECA，而DM平面BDM，则平面ECA平面BDM.（3）DM平面ECA，DM平面DEA，平面DEA平面ECA.【总结与反思】（1）证明DEDA，可以通过图形分割，证明DEFDBA.（2）证明面面垂直的关键在于寻找平面内一直线垂直于另一平面.由（1）知DMEA，取AC中点N，连结MN、NB，易得四边形MNBD是矩形.从而证明DM平面ECA.面面垂直的问题常常转化为线面垂直、线线垂直的问题解决.四 、课堂运用基础1

11、、下列命题中正确的个数是()如果直线与平面内的无数条直线垂直，则；如果直线与平面内的一条直线垂直，则；如果直线不垂直于，则内没有与垂直的直线；如果直线不垂直于，则内也可以有无数条直线与垂直 A0 B1 C2 D32、已知m，n是不同的直线，是不重合的平面，则下列命题中正确的是()A若m，mn，则nB若m，n，则nmC若m，m，则D若，m，则m3、如图所示，PA平面ABC，ABC中BCAC，则图中直角三角形的个数为()A4 B3 C2 D14、如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点求证：CF平面EAB答案与解析1、【答案】B 【解析】只有正确2、【答案

12、】C 【解析】A中还有可能n；B中nm；D中还有可能m或m或相交不垂直；C中，由于m，设过m的平面与交于b，则mb，又m，则b，又b，则，所以C正确3、【答案】A【解析】BC平面PACBCPC，直角三角形有PAB、PAC、ABC、PBC4、【答案】证明在平面B1BCC1中，E、F分别是B1C1、B1B的中点，BB1ECBF，B1BEBCF，BCFEBC90，CFBE，又AB平面B1BCC1，CF平面B1BCC1，ABCF，ABBEB，CF平面EAB【解析】利用全等三角形的性质证明垂直.巩固1、从平面外一点P向平面引一条垂线和三条斜线，斜足分别为A，B，C，如果PAPBPC，有如下命题：ABC是

13、正三角形；垂足是ABC的内心；垂足是ABC的外心；垂足是ABC的垂心其中正确命题的个数是()A1 B2 C3 D42、如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于()AAC BBD CA1D DA1D13、如图，四棱锥P-ABCD中，AP平面PCD，ADBC，AB=BC=AD,E,F分别为线段AD，PC的中点. （）求证：AP平面BEF（）求证：BE平面PAC4、如图，PA平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AD=a，M、N分别是AB、PC的中点 求证：平面MND平面PCD答案与解析1、【答案】A 【解析】PO面ABC则由已知可得，PAO、PBO、

14、PCO全等，OAOBOC，O为ABC外心只有正确2、【答案】B【解析】证BD面CC1E，则BDCE3、【答案】（）连接AC交BE于点O，连接OF，不妨设AB=BC=1,则AD=2四边形ABCE为菱形又【解析】通过线线垂直证明线面垂直，利用了菱形的性质.4、【答案】取PD中点E，连结EN，EA，则EN CD AM，四边形ENMA是平行四边形，EAMNAEPD，AECD，AE平面PCD，从而MN平面PCD，MN平面MND，平面MND平面PCD【解析】通过线线垂直证明线面垂直，又利用线面垂直证明面面垂直.拔高1、为不同的平面，m，n，l为不同的直线，则m的一个充分条件是()An，n，mBm，C，m

15、D，l，ml2、(2019聊城堂邑中学模拟)若a，b，c是空间三条不同的直线，是空间中不同的平面，则下列命题中不正确的是()A若c，c，则B若b，b，则C若b，a且c是a在内的射影，若bc，则abD当b且c时，若c，则bc3、如图，PA正方形ABCD，下列结论中不正确的是()APBBC BPDCDCPDBD DPABD4、如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABCD，ADAB，AB2，AD，E为CD上一点，DE1，EC3.证明：BE平面BB1C1C；答案与解析1、【答案】A 【解析】由n，n知，又m，m，但当m时，n，n不一定成立，故选A.2、【答案】D 【解析】对于A，若c，c，则，根

16、据一条直线同时垂直于两个不同的平面，则可知结论成立对于B，若b，b，则，符合面面垂直的判定定理，成立对于C，当b，a且c是a在内的射影，若bc，则ab符合三垂线定理，成立对于D，当b且c时，若ca，则bc，线面平行，不代表直线平行于平面内的所有的直线，故错误选D3、【答案】C 【解析】由CBBA，CBPA，PABAA，知CB平面PAB，故CBPB，即A正确；同理B正确；由条件易知D正确，故选C.4、【答案】如图，过点B作CD的垂线交CD于点F，则BFAD，EFABDE1，FC2.在RtBFE中，BE.在RtCFB中，BC.在BEC中，因为BE2BC29EC2，故BEBC.由BB1平面ABCD，

17、得BEBB1，又BCBB1B，所以BE平面BB1C1C.【解析】利用勾股定理证明垂直五 、课堂小结本节讲了2个重要内容：1、空间垂直关系的判定方法：(1)判定线线垂直的方法有：计算所成的角为90(包括平面角和异面直线所成的角)；线面垂直的性质(若a，b，则ab)；面面垂直的定义：两平面相交形成的二面角的平面角为90(2)判定线面垂直的方法有：线面垂直定义(一般不易验证任意性)；线面垂直的判定定理(ab，ac，b，c，bcMa)；平行线垂直平面的传递性质(ab，ba)；面面垂直的性质(，l，a，ala)；面面平行的性质(a，a)；面面垂直的性质(l，l)(3)面面垂直的判定方法有：根据定义；面面

18、垂直的判定定理(a，a)2垂直关系的转化是：六 、课后作业基础1、下列命题中：平行于同一直线的两个平面平行；平行于同一平面的两个平面平行；垂直于同一直线的两直线平行；垂直于同一平面的两直线平行其中正确命题的个数有()A4个 B1个 C2个 D3个2、已知三条相交于一点的线段PA、PB、PC两两垂直，点P在平面ABC外，PH面ABC于H，则垂足H是ABC的()A外心 B内心 C垂心 D重心3、如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于()AAC BBD CA1D DA1D14、如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运

19、动，并且总是保持APBD1，则动点P的轨迹是()A线段B1CB线段BC1CBB1的中点与CC1的中点连成的线段DBC的中点与B1C1的中点连成的线段答案与解析1. 【答案】C【解析】和对2.【答案】C如图所示，由已知可得PA面PBC，PABC，又PHBC，BC面APH，BCAH同理证得CHAB，H为垂心【解析】利用线面垂直的性质3【答案】B【解析】证BD面CC1E，则BDCE4【答案】A【解析】连接AC，AB1，B1C，BDAC，ACDD1，BDDD1D，AC面BDD1，ACBD1，同理可证BD1B1C，BD1面AB1CPB1C时，始终APBD1，选A巩固1.如图所示，在四棱锥PABCD中，P

20、A底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)2.某几何体的三视图如图所示，P是正方形ABCD对角线的交点，G是PB的中点(1)根据三视图，画出该几何体的直观图；(2)在直观图中，证明：PD面AGC；证明：面PBD面AGC3.如图所示，四棱锥PABCD的底面是边长为a的菱形，BCD120，平面PCD平面ABCD，PCa，PDa，E为PA的中点求证：平面EDB平面ABCD4. 如图所示，ABCD为正方形，平面ABCD，过且垂直于的平面分别交于求证：，答案与解析1【答案】DMPC(答案不唯一)【解析】由定理可知，B

21、DPC.当DMPC时，即有PC平面MBD，而PC平面PCD，平面MBD平面PCD.2. 【答案】(1)解该几何体的直观图如图所示(2)证明连接AC，BD交于点O，连接OG，因为G为PB的中点，O为BD的中点，所以OGPD又OG面AGC，PD面AGC，所以PD面AGC证明连接PO，由三视图，PO面ABCD，所以AOPO又AOBO，所以AO面PBD因为AO面AGC，所以面PBD面AGC【解析】通过三视图证明垂直3.【答案】证明设ACBDO，连接EO，则EOPCPCCDa，PDa，PC2CD2PD2，PCCD平面PCD平面ABCD，CD为交线，PC平面ABCD，EO平面ABCD又EO平面EDB，平面

22、EDB平面ABCD【解析】通过线面垂直证明面面垂直4.【答案】平面ABCD，平面SAB又平面SAB，平面AEFG，平面SBC同理可证【解析】通过线面垂直证明线线垂直拔高1. 如图所示，四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90.将ADB沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成三棱锥ABCD，则在三棱锥ABCD中，下列结论正确的是()A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDCD 平面ADC平面ABC2.如图，PA正方形ABCD，下列结论中不正确的是()APBBC BPDCDCPDBD DPABD3. 直线a直线b，b平面，则a与的关系是()Aa BaCa Da或a4. 如图，四棱锥PABCD中，ABAC，ABPA，ABC