全等三角形辅助线系列之三---截长补短类辅助线作法大全

1、实用标准全等三角形辅助线系列之三与截长补短有关的辅助线作法大全一、截长补短法构造全等三角形截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想.所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于已知的两条较短线段中的 一条，然后证明其中的另一段与已知的另一条线段相等；所谓“补短” ，就是将一个已知的较短的线段 延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系.有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解.截长补短法作辅助线，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.典型例题精讲【例1】 如图，在 MBC中

2、，/BAC=602 AD是/BAC的平分线，且 AC = AB+BD ,求NABC的度a D【解析】法一：如图所示，延长AB至E使BE =BD ,连接ED、EC.由 AC =AB +BD 知 AE =AC ,而NBAC =60）则 欣EC为等边三角形.注意到 /EAD =/CAD , AD =AD , AE = AC ,故 MED 9 MCD .从而有 DE =DC , /DEC =NDCE ,故.BED =. BDE =. DCE . DEC =2. DEC .所以 /DEC =/DCE =20=, NABC =/BEC +ZBCE = 60* +20。= 80：.法二：在 AC上取点E ,

3、使得 AE=AB,则由题意可知 CE=BD .在 MBD和 MED 中，AB=AE, /BAD=/EAD, AD=AD,则 MBD© MED ,从而 BD =DE ,进而有 DE =CE , /ECD =/EDC ,AED - - ECD EDC = 2 ECD .注意到 /ABD =ZAED ,则：1 3/ABC +/ACB =/ABC +-ZABC =/ABC =1800/BAC =120 12 2故.ABC =80 .【答案】见解析.例2 已知 MBC中，/A =60。BD、CE分别平分 /ABC和./ACB , BD、CE交于点O ,试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证

4、明.文案大全【解析】BE+CD=BC,理由是：在 BC上截取BF =BE ,连结OF ,利用 SAS证得 ABEO 色 ABFO ,. Z1 =N2 ,1/A=60。，./BOC=90 口+ /A=120' ./DOE=12012乙A +/DOE =180 0,ZAEO +/ADO =180©,N1 +23=180°,. /2+/4 =180，/1=/2,，/3=/4,利用 AAS 证彳导 iCDO 省 ACFO ,，CD =CF ,BC =BF +CF =BE +CD .【答案】见解析.【例3】如图，已知在 ABCJ, . BAC= 60% ZC =40% P、Q

5、分别在BC CA±,并且 AP BB别是/ BAC / ABC勺角平分线，求证： BQ+AQ=AB+BP.【解析】延长 AB至D,使BD =BP ,连DP在等月BP计，可得ZBDP =40*,从而 ZBDP =40 3=/ACP , AD国 ACP(ASA),故 AD 二AC又 NQBC =40 S=ZQCB ,故 BQ =QC , BD = BP .从而 BQ +AQ =AB +BP.【答案】见解析.【例4】如图，在四边形 ABC由,BC >BA , AD =CD , BM分/ ABC 求证：/A+/C=180，【解析】延长 BA至F,使BF =BC ,连FD BD已 BDC

6、( SAS),故 NDFB =NDCB , FD =DC又 AD =CD ,故在等腰 BFD中，/DFB =/DAF 故有.BAD . BCD =180【答案】见解析.BD=DC, ZBDC =120°, /MDN =60 )求【例5】 点M, N在等边三角形 ABC的AB边上运动, 证：MN =MB +NC .【解析】延长 NC至E ,使得CE =MBiBDC 是等腰三角形，且 /BDC =120%，/DBC =/DCB=30。 9BC是等边三角形. ABC =/ACB =/BAC =60. MBD =/ABC . DBC =/ACB . DCB _/DCN _/DCE =90在

7、iDBM 和 ADCE 中，BD =DC , MB =CE ,MBMiDCE.DE =DM , . 1 =/2.又: /1+/NDC=60。，/2+/NDC =/END =603在iMDN与AEDN中，ND=ND, /MDN =NEDN =60，DE =DM.MNDMENDMN =EN =NC MB【答案】见解析.【例6】 如图在 ABC中，AB >AC , /1 =/2 , P为AD上任意一点，求证： AB -AC>PB-PC .【解析】延长AC至F,使AF =AB ,连PDAB陛 AFP (SAS)故 BP =PF由三角形性质知PB -PC =PF -PC < CF =A

8、F - AC =AB - AC 【答案】见解析.【例7】 如图，四边形 ABCD43, AB/ DC BE CE分别平分/ ABC / BCD且点 E在 AD上.求证:BC =AB +DC .【解析】在BC上截取BF =AB ,连接EF. BE平分/ ABC. ABE FBEE又 BE=BE, .ABE FBE(SAS,，/A=/BFE. AB/ CD . . A D =180 /BFE +/CFE =180°,DD =/CFE又 ZDCE =/FCE , CE平分/ BCD CE =CE. .DC除AFCE(AAS,. CD =CFBC =BF CF = AB CD【答案】见解析.

9、【例8】 如图，点M为正方形ABCD的边AB上任意一点，MN ± DM且与/ ABC外角的平分线交于 点N , MD与MN有怎样的数量关系？【解析】猜测DM =MN .在AD上截取AG=AM , DG =MB ,ZAGM =45*ZDGM =/MBN =135:. Z ADM =/ NMB , iDGM 9 iMBN ,DM =MN .【答案】见解析.【例9】 已知：如图， ABCD是正方形，/FAD =/FAE ,求证：BE + DF=AE.【解析】延长CB至M ,使得BM =DF ,连接AM . AB=AD, AD，CD, AB±BM , BM=DF MBMMDFZAF

10、D =/AMB , ZDAF =/BAM AB/ CD, AFD =. BAF =. EAF . BAE =. BAE . BAM =. EAM /AMB =/EAM , AE=EM =BE+BM =BE+DF【答案】见解析.【例10如图所示，已知正方形 ABC珅，M为CD的中点，E为MC±一点，且NBAE=2ZDAM .求证:AE =BC +CE .【解析】分析证明一条线段等于两条线段和的基本方法有两种：(1)通过添辅助线“构造” 一条线段使其为求证中的两条线段之和，再证所构造的线段与求证 中那一条线段相等.(2)通过添辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，再证明

11、截剩的部分与线段中的另一段相等.我们用(1)法来证明.【答案】延长 AB至IJ F ,使BF =CE ,则由正方形性质知 AF =AB + BF =BC +CE下面我们利用全等三角形来证明AE=AF .为此，连接 EF交边BC于G .由于对顶角ZBGF =/CGE ,所以 RtABGF iCGE(AAS ),一1从而 BG =GC = BC , FG = EG , BG = DM 2于是 Rt AABG 9 RtAADM (SAS),1所以 /BAG =/DAM =/ BAE =/EAG , AG 是/EAF 的平分线 2【例 11】五边形 ABCDE3, AB=AE ， BC +DE =CD

12、 , /ABC+/AED =180*,求证：AM分/ CDE【解析】延长 DE至F,使得EF =BC ,连接AC /ABC +/AED =180。/AEF 十/AED =180，/ABC =/AEF . AB=AE, BC=EF, .AB笠AAEFEF =BC , AC =AFBC +DE =CD ,CD =DE +EF =DF .ADC24ADF. ADC =. ADF即AM分/ CDE【答案】见解析.【例12若P为 MBC所在平面上一点，且ZAPB =/BPC =/CPA = 120。，则点P叫做AABC的费马点.(1)若点P为锐角 MBC的费马点，且 /ABC =60*, PA = 3,

13、 PC =4 ,则PB的值为 (2)如图，在锐角 MBC外侧作等边 AACB',连结BB'.求证：BB'过AABC的费马点 P ,且BB' = PA+PB + PC .【解析】(1) 2后(2)证明：在 BB'上取点P,使NBPC=120:连结AP ,再在PB'上截取PE =PC ,连结CE ./BPC =120©,，/EPC=60。，&PCE 为正三角形， . PC =CE , /PCE=60- ZCEB，=120°,MCB'为正三角形，AC=B'C, ZACB，= 600, /PCA+/ACE =/

14、ACE +/ECB'=60，/PCA=/ECB', MCP iB'CE ,/APC =/B'CE =120 PA = EB',/APB =/APC =/BPC =120 口，P为AABC的费马点，. BB'过MBC的费马点P ,且 BB' = EB'+PB+PE =PA+PB +PC .【答案】见解析.A课后复习【作业1】已知，八次分/ BAC AC =AB+BD ,求证：/B=2/C .【解析】延长 AB至点E,使AE =AC ,连接DE. ADW/ BAC 1 . EAD =. CAD AE =AC , AD =AD , .A

15、E四AACD (SAS,，NE=/CAC =AB +BD ,AE =AB + BD. AE =AB +BE ,BD =BE , . . NBDE =/ENABC =NE +NBDE , /ABC =2/E ,/ABC =2/C .【答案】见解析.【作业 2】如图， ABC43, AB=2AC , ADF分/ BAC 且 AD = BD ,求证：CDLAC.【解析】在AB上取中点F,连接FD.则八口等腰三角形，F是底AB的中点，由三线合一知DFL AR 故. AFD =90ADB ADC (SAS)/ACD =/AFD =90*,即：CDL AC【答案】见解析.【作业3】如图所示， /BC是边长

16、为1的正三角形，ABDC是顶角为120。的等腰三角形，以 D为顶点 作一个60n的ZMDN，点M、N分别在 AB、AC上，求MMN的周长.【解析】如图所示，延长 AC到E使CE =BM .在 iBDM 与 ACDE 中，因为 BD =CD , NMBD =/ECD =90，BM =CE , 所以 ABDM 9 ACDE ,故 MD =ED .因为 ZBDC =120，ZMDN =60 ,所以 NBDM +ZNDC =60=.又因为 ZBDM =/CDE ,所以 ZMDN =/EDN =60%在 AMND 与 iEND 中，DN =DN , /MDN =/EDN =60© , DM = DE , 所以AMND 9 iEND ,则NE =MN ,所以 MMN的周长为2.【答案】见解析.【作业 4】