华东师大初中数学八年级下册《函数及其图象》全章复习与巩固—知识讲解(提高)[精品]

1、函数及其图象全章复习与巩固一知识讲解（提高）【学习目标】1 .理解变量与常量、变量与函数、直角坐标系、函数图象、平面直角坐标系的概念，能正确画出平面直角坐标系，根据坐标确定点，以及由点求出坐标，掌握点的坐标的特征；2 .了解函数的三种表示方法 （列表法、解析式法和图象法），能利用图象数形结合地分析简单的函数关系;3 .理解正比例函数和一次函数的概念，会画它们的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质，能用待定系数法确定一次函数与反比例函数的解析式；4 .能写出实际问题中一次函数关系与反比例函数关系的解析式及自变量的取值范围，并能应用它们解决简 单的实际问题；运用数形结合的方法，深刻理解和掌握函数

2、的性质，学会用数学建模的方法与技巧.【知识网络】实际问题运动变化相依美系【要点梳理】要点一、变量与函数1 .常量、变量、函数（1）常量：在问题研究过程中，取值始终保持不变的量，叫做常量 （2）变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量（3）函数：一般地，在一个变化过程中.如果有两个变量x与y,对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，那么我们就说 x是自变量，y是因变量，也称 y是x的函数.y是x的函数，如果当x= a时y = b,那么b叫做当自变量为a时的函数值.函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法 要点二、平面直角坐标系1 .有序数对定义：把有顺序的两个数 a与b组成的

3、数对，叫做有序数对，记作 （a, b）. 要点诠释：有序，即两个数的位置不能随意交换，（a, b）与（b, a）顺序不同，含义就不同，如电影院的座位是6排7号，可以写成（6, 7）的形式，而（7, 6）则表示7排6号.2 .平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直、原点重合白数轴就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点（如图1）.要点诠释：平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的3 .点的坐标平面内任意一点 P,过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在 x轴、y轴上对应的数a,

4、 b分别叫做点P 的横坐标、纵坐标，有序数对( a,b )叫做点P的坐标，记作：P(a,b),如图2.32 -，、bb)1 - ： .IIII 1 I hM 2 7。1 2*一1 -一 2 图)要点诠释：(1)表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“， ”隔开.(2)点P(a, b)中,|a|表示点到y轴的距离;|b|表示点到x轴的距离.(3)对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x, y)和它对应，反过来对于任意一对有序数对,在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是对应的.4 .坐标平面(1)象限建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两

5、条坐标轴分成如图所示的I、n、出、W四个部分，分 别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下图.第二象限21I 2 3 xIV第四象限7 -2 OIII .2第三象限,3要点诠释：(1)坐标轴x轴与y轴上的点(包括原点)不属于任何象限.(2)按方位来说：第一象限在坐标平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方，第四象限在 右下方.(2)坐标平面的结构坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.这六个区域中，除了 x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点5 .坐标的特征（1）各个象限内和坐标轴上点的坐标符号规律点的位置第一

6、象限第二象限第三象限第四象限工轴加轴f原点横坐标符号+十任意教工00纵坐标符号+十一0任意数）0点的坐标符号（十，十）(一 P +)(L)( + t-)（工,。）(。要点诠释:（1）对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上（2）坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点的纵坐标为 0; y轴上的点的横坐标为 0.（3）根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置；反之，根据点在坐标平面上的位置 也可以判断点的坐标的符号情况.（2）象限的角平分线上点坐标的特征第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为（a, a）;第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为（

7、a，-a） .（3）关于坐标轴对称的点的坐标特征P（a, b）关于x轴对称的点的坐标为 （a,-b）；P（a, b）关于y轴对称的点的坐标为 （-a,b）;P（a, b）关于原点对称的点的坐标为（-a,-b）.（4）平行于坐标轴的直线上的点平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；平行于y轴的直线上的点的横坐标相同.要点三、一次函数1、一次函数的定义一次函数的一般形式为y=kx+b,其中k、b是常数，k0.特别地，当b = 0时，一次函数y = kx + b即y = kx （ k wo）,是正比例函数.2、一次函数的图象如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成

8、的图形， 就是这个函数的图象.要点诠释：直线y =kx+b可以看作由直线 y = kx平移| b |个单位长度而得到（当 b0时，向上平移；当b 0时，向下平移）.说明通过平移，函数 y = kx+b与函数y =kx的图象之间可以相互转化.3、一次函数的性质掌握一次函数的图象及性质（对比正比例函数的图象和性质）解析式y= kx+ b （A;为常数，且上学。）自变量取值范围全体实效形状过（0,占）和（-, o）点的一条直线的取不意图此 口h 0|& Q.5 A位置经过一、二、三象限经过一、三、四象限经过一、二*四象限经过二、三、四象限趋势从左向右上升从左向右下降函数变化规律y随彳的噌大而增大尸随

9、天的噌大而减小要点诠释:理解k、b对一次函数y = kx +b的图象和性质的影响:（1） k决定直线y =kx+b从左向右的趋势（及倾斜角 u的大小倾斜程度），b决定它与y轴交点的位置，k、b一起决定直线y=kx+b经过的象限.（2）两条直线11： 丫=匕*+匕和l2： y =k2x+b2的位置关系可由其系数确定:兄#k2= 11与12相交;k1 =k2 ,且 bi #b2 u 11 与 l2平行；k1 =k2，且 bi =b2 y 11 与 l2重合；（3）直线与一次函数图象的联系与区别一次函数的图象是一条直线；特殊的直线x=a、直线y = b不是一次函数的图象.4、求一次函数的表达式待定系

10、数法：先设待求函数表达式（其中含有待定系数），再根据条件列出方程或方程组，求出待定 系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法5、用函数的观点看方程（组）与不等式方程（组）、不等式问题函数问题从“数”的角度看从“形”的角度看求关于x、y的一一次方程 ax+b=0（aw0）的解x为何值时，函数 y = ax + b的值为0?确定直线y=ax + b与x轴（即直线y =0）交点的横坐 标求关于 x、y的二tit-次fy =ax +屈方程组1的解.y =a2x +b2.x为何值时，函数y = a1x +b1与函数y =a2x+b2的值相等？确定直线 y = si x +b1与直线y = azx+b

11、2的交点的坐标求关于x的一一次不等式 ax +b 0 （ a W0）的解集x为何值时，函数 y = ax + b的 值大于0?确定直线y=ax + b在x轴（即直线y =0）上方部分的 所有点的横坐标的范围要点四、反比例函数1 .反比例函数的定义k一般地，形如y=（ k为常数，k#0）的函数称为反比例函数，其中 x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于 0的一切实数.k反比例函数斛析式的确7E方法是待7E系数法.由于反比例函数 y =中，只有一个待定系数 k ,因此只需要知道一对x、y的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式.kk要点诠释：在y =中，自变量x的

12、取值范围是xM，y=（kH。）可以写成了二匕（上二0）的形式,也可以写成初二上的形式.2 .反比例函数的图象和性质（1）反比例函数图象k反比例函数y = （k #0）的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、 三象限或第二、 x四象限.它们关于原点对称，反比例函数的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交.要点诠释：k观察反比例函数y = -（上wO）的图象可得：x和y的值都不能为0,并且图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点.小 ky = （k #0）的图象是轴对称图形，对称轴为y = 乂和丫 = -x两

13、条直线；x. ky = （k =0）的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0, 0）;x小 k 一ky =和y = （k W0）在同一坐标系中的图象关于 x轴对称，也关于 y轴对称.%汪：正比例函数 y=k1x与反比例函数 y=上，x当ki k2 0时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原 点成中心对称.（2）反比例函数的性质图象位置与反比例函数性质当k A0时，x、y同号,图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小；当k0, 一、三象限；k 0, 一、三象限 k 0, y随x的增大而增大k 0 ,在每个象限，y随x的增大而减小k 0f【思路点拨】要使函数有意义，需或解这个不等式

14、组即可【答案与解析】2x -1解：要使函数y = /交_2有意义，则X要符合：2x之0X x .X -1即：或x-1 0Tx-1 1或工：L.【总结升华】自变量的取值范围是使函数有意义的举一反三：【变式】求出下列函数中自变量 X的取值范围(2) y3x 2|x-2|(3) y = s/2x33 + V32x解：(1)要使y有意义，需x W0 且 xw 1；(2)要使y =x-2-0 一 2 一解得x2且x#2;3(3)要使y = J2x3十，32x有意义,需|2x-3-0解得3-2x.0类型二、平面直角坐标系.平面直角坐标系中，已知ABC三个顶点的坐标分别是A(-3 , -1), B(1 ,

15、3), C(2, -3).求 ABC【思路点拨】 三角形的三边都不与坐标轴平行，根据平面直角坐标系的特点，可以将三角形的面积转化为 梯形或长方形的面积减去多余的直角三角形的面积，即可求得此三角形的面积.【答案与解析】过点A、C分别作平行于y轴的直线与过 B点平行于x轴的直线交于点 DD E,则四边形ACEM梯形， 根据点 A(-3 , -1)、B(1 , 3)、C(2, -3)可求得 AA 4, CE= 6, DB= 4, BE= 1, DE= 5,所以 ABC的面 积为：1 ,1.1Sa ABC(AD CE) DE ADDB CE BE2 22 一3 ,c、 11c/=一(4 +6)父5 m

16、4 M4 m6 M1 =14 .4 22【总结升华】 点的坐标能体现点到坐标轴的距离，解决平面直角坐标系中的三角形面积问题，就是要充分 利用这一点，将不规则图形转化为规则图形，再利用相关图形的面积计算公式求解.举一反三：【变式】如图所示，已知 A(1 , 0), A2(1 , 1), A3(-1 , 1), A4(-1 , -1) , A(2, -1),则点A2008的坐标为.【答案】(-502 , -502).类型三、一次函数C 3.如图，直线y =kx+b经过A (2, 1)和B ( 3, 0)两点，则不等式组 xkx + b0的2解集为【答案】-3x-2;1【解析】从图象上看，y = k

17、x+b的图象在x轴下万，且在y = x上方的图象为回红线的部分，而这部分2的图象自变量x的范围在3x-2.【总结升华】 也可以先求出y = kx +b的解析式，然后解不等式得出结果举一反三：【变式】如图所示，直线 y=kx+b经过点A( 1, 2)和点B( 2, 0),直线y=2x过点A,则不等式2x kx+b 2时，kx + b 0,所以一2v x v 1是不等式2xv kx + b0）的图象上有点P1, P2, P3,它们的横坐标依次为1, 2,x3, 4.分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为Si, S2, S3,则 S1+S2+S3=.ccc,、3S1

18、S2s3 = 1 (y1 - y4)二2【解析】由题意及图象可知，三个长方形的长都为1,设P1（1,y1），p2（2,y2）,P3（3 ,y3）,P4（4 ,、221y4).代入 y = (x a0)可求得 y=2, y2 = 1, y3 = ，y4= 一， x32【总结升华】 严格根据点在函数图象上，解出每个矩形的宽度，就可以求出S+S2+S3的值.类型五、实践与探索 6. （2015狗阳）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y （微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示（当4x10时，y与x成反比例）.（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式.（2）问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间多少小时？【思路点拨】（1）分别利用正比例函数以及反比例函数解析式求法得出即可;（2）利用y=4分别得出x的值，进而得出答案.【答案与解析】解：（1）当0W