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1、二平面法向量的夹角一定等于二面角吗关键词：平面法向量 二面角摘 要：二平面法向量的夹角与二面角的关系用向量法求二面角的方法向量是数形结合的典范，具有几何与代数的二重性，是一个解决问题的重要的数学工具。在中学数学中向量最重要的应用领域就是用它解决立体几何的问题，这样就把抽象的空间思维转化为较机械的代数运算，为解决立体几何中的夹角与距离问题提供了极大的方便.但是在运用向量法求角时，一定要注意所取向量的夹角与所求的椅角之 间的关系，否则常会导致误解.下面我们先看 一个误解的例子：在未来导报高考周刊20052006学年度第32期(总第111期)中，利用空间向量求二面角一文中的例1 :在四棱锥VABCD

2、中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面 VAD，底面ABCD,求面VAD与 面VDB所成二面角的大小。解：建立如图1所示的空间直角坐标系，并设正方形边长为1.依据题意，得AB=(o, 1, o)是面VAD的法向量，设n=(1, y, z)是面VDB的法向量，则' n VB -0n VD 卫一y 二一zT=cos : AB,n =AB n 21AB n所以面VAD与面VDB所成的二面角的大小为:,21文一arccos 7误解分析：如图2 ,在二面角ct-t-B中，点P为平面a、P外一点，点A、B分别在平面a、 P 内，且P" PBU , AC、BC分别为平面 PA

3、B 与平面。、P的交线.显然有 /ACB为二面角« -t-P的平面角;/APB+/ACB=n(圆的内接四边形的对角互补)贝 U 二 AB,BP =：二 PA,PB -1-ACB二 AP,PB =二 PA,BP:" -/APB "ACB结论：1、当所取平面的法向量的方向，同时指向二面角内或二面角外时，平面法向量的夹角与二面角互补；2、当所取平面法向量的方向一个指向二面角内另一个指向二面角外时，法向量的夹角与二面角相等。在上例中，显然所取二平面的法向量同指向二面角内，所以面VAD与面VDB所成的二面角的大小为:,21、，-2121a -arccos(-)二 一 (廛-arccos) = arccos 777方法指点：不论所取平面法向量的方向如何， 平面法向量的夹角与二面角或相等或互补，这其中有且仅有一种情况成立。所以在运用向量法求二面角时，或可先确定二面角的取值范围，或可确定所取的两个法向量的方向，以便确定二平面法向量的夹角与二面角相等还是互补， 这样就可以避免误解。这一点不仅在运用向量法求二面角时要注意 ,在运用向量法求两条直线的夹角时同样应该注意。参考文献：1、未来导报高考周刊2005 2006学年度第32期（总第111 期 ）2、

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