北师大版九年级数学知识点汇总

1、欢迎阅读欢迎阅读占八、欢迎阅读第一章特殊平行四边形一、平行四边形1、定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。2、性质：(1)平行四边形的对边平行且相等。(2)平行四边形的对角相等，邻角互补。(3)平行四边形的对角线互相平分，两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的三角形。一.-r.y_ i'、, - *- r/(4)平行四边形是中心对称图形。3、判定：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形。(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形。-i / 产/ ?1)(3) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形。(5)对角线互相平分的四边形是平

2、行四边形。4、面积：S平行四边形二底乂高二、菱形1、定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。U二二二"-一一 1 I2、性质：(1)菱形具有平行四边形的所有性质。I I(2)菱形的四条边都相等。(3)菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；两条对角线把菱形分成四个 全等的直角三角形。(4)菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形(两条)。3、判定：(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形。(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形。(3)四条边都相等的四边形是菱形4、面积：S菱形二底乂高；S菱形二对角线乘积的一半三、矩形1、定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。2、性质：(1

3、)矩形具有平行四边形的所有性质。(2)矩形的四个角都是直角。(3)矩形的对角线相等且互相平分，两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形。(4)推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。(5)矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形(两条)。3、判定：(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形。 - Ar ' , I I(2)对角线相等的平行四边形是矩形。(3)有三个角是直角的四边形是矩形。4、面积：S矩形=底乂局四、正方形1、定义：有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形。2、性质：(1)正方形具有菱形和矩形的所有性质。(2)正方形的四条边都相等，四个角都是直角。(3)正方形

4、的对角线互相垂直平分且相等，两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。"J 二：' L 1 |(4)正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形(四条)。I I3、判定：(1)有一组邻边相等的矩形是正方形。、(2)对角线互相垂直的矩形是正方形。：方形二菱形+矩形(3)有一个角是直角的菱形是正方形。(4)对角线相等的菱形是正方形。一14、面积：S正方形=边长的平方；S正方形二对角线乘积的一半五、中点四边形1、定义：以四边形四条边的中点为顶点组成的四边形2、中点四边形：一般四边形一平行四边形；平行四边形一平行四边形；菱形一矩形；矩形一菱形；正方形一正方形。第二章一元二次方程一、定

5、义：我们把形如ax2+bx+c =o(a,b, c为常数，a=o)的方程，称为一元二次方程。其中ax2, bx ,c分别称为二次项，一次项和常数项，a, b分别称为二次项系数和一次项系数。二、解一元二次方程的方法1、配方法：移项一二次项系数化为1 一配方(方程两边同时加上一次项系数一半的平方)一开平方(有正负两个结果)一求解一写根。2、公式法：化为一般形式(ax2+bx+c=o) 一找出a, b, c (记得带上符号)一代入根的判别式2 一b 二b2 - 4ac 2. ._.(b 4ac ) 一代入求根公式 x= (b -4ac > 0) 一求解一与根。2a3、因式分解法：当一元二次方程

6、的一边为0,另一边易于分解成两个一次因式的乘积时可用因式分解法。(1)提公因式法：ac + bc = 0 - c(a+b)=022(2)公式法：平方差公式：a2-b2 =(a+b)(a -b)222完全平方公式：a2 -2ab b2 =(ab)22(3)十子相乘法： x +(p+q)x + pq=(x + p)(x+q)三、一元二次方程根的判别式：对于一元二次方程 ax2+bx+c = o(a =。)2(1)当b -4ac>0时，方程有两个不相等的实数根。I I(2)当b2 -4ac=0时，方程有两个相等的实数根。(3)当b2 -4ac <0时，方程没有实数根。四、一元二次方程根与

7、系数之间的关系(韦达定理).一 一 2bc如果万程ax +bx+c =o(a 0o)有两个头数根 x1，x2,那么 为+x2 =一-，xx2= aa五、应用一元二次方程(1、几何面积问题；2、销售问题)审题一寻找数量关系和等量关系一设未知数(直接假设和间接假设)一列一元二次方程一解方程一检验一作答。第三章概率的进一步认识、列表法和化树状图法1、列表法：当一次实验涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能 的结果，通常采用列表法。2、画树状图法：当一次实验涉及 3个或更多因素时，列表就不方便，为了不重不漏地列出所有可能的结 果，通常采用画树状图法。二、频率估计概率：一

8、般的，在大量重复实验时，如果事件A发成的频率-稳定于某个常数P,那么事n件A发生的概率P(A)=P二,二二一二，第四章图形的相似一、成比例线段1一丁/产-i ，/:)a c1、定义：四条线段a,b,c,d中，如果a与b的比等于c与d的比，即一=一，那么这四条线段a,b,c,d叫 b d做成比例线段，简称比例线段。I 2、性质：(1)基本性质：如果 2 = 2,那么ad=bc；b d如果ad=bc(a,b,c,d都不等于0),那么,='b d(2)等比性质：如果(3)合比性质：如果a = j|=m(b+d+IH+n#0), b d na c a b cd一=一,那么=b db d、平行线

9、分线段成比例 1、定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 2、推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例、相似多边形 1、定义：各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比2、性质：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方四、相似三角形1、定义：三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形2、判定：(1)两角分别相等的两个三角形相似(2)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似(3)三边成比例的两个三角形相似3、性质：(1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角

10、平分线的比都等于相似比(3)相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方AC BC五、黄金分割：点C把线段AB分成两条线段AC和BC (AC ABC),如果一C=C,那么称线段AB ACAB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点， AC与AB的比叫做黄金比，A *即 AC: AB 定 0.618:10六、位似图形1、定义：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P,P'所在的直线都经过同一点 O,且有OP' 二k OP(k#0),那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比3、画图步骤：(1

11、)尺规作图法： 确定位似中心；确定原图形中的关键点关于中心的对应点；描出 新图形lf L(2)坐标法：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘于同I I一个数k(k*0),所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为k第五章投影与视图一、投影：物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象，影子所在的平 面叫做投影面1、中心投影：由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影。如物体在灯泡发出的光照射下 形成的影子就是中心投影欢迎阅读2、平行投影：由平行光线形成的投影叫做平行投影。如物体在太阳光的照射下形成的影子（简称日影） 就是平

12、行投影。若平行光线与投影面垂直，则这种投影称为正投影二、三视图1、视图：用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形，称为物体的视图2、三视图概念：（1）主视图：从正面得到的视图叫做主视图，反映物体的长和高（2）左视图：从左面得到的视图叫做左视图，反映物体的长和宽（3）俯视图：从上面得到的视图叫做俯视图，反映物体的高和宽3、三视图特点：（1）主视图和俯视图的长对正（2）主视图和左视图的高平齐二,-1（3）左视图和俯视图的宽相等第六章反比例函数一, =I.k一、定义：一般的，形如y=-（k为常数，k#0）的函数，叫做反比例函数。其中 x是自变量，y是函数。 x自变量x的取值范围是不等于0的一切实数k

13、1一、表达式：1、y =-；2、y=kx ;& xy = k三、图象与性质1、图象：由两条曲线组成（双曲线）FI 'lI2、性质：函数1图象所在象限增减性»、三象限在同一象限内，y 随x的增大而减小第二、四象限在同一象限内，y 随x的增大而增大k越大，函数图象越远离坐标原点3、反比例函数比例系数k的几何意义 k.如图，在反比例函数 y=一上任取一点P（x,y）,过这一点分别作 x轴，y轴x的垂线PE , PF与坐标轴围成的矩形 PEOF的面积S= xy =|k4、对称性：（1）中心对称，对称中心是坐标原点（2）轴对称：对称轴为直线 y = x和直线y = -x第七章

14、直角三角形的边角关系、锐角三角函数在RtMBC中,/C=90 ,则/A的三角函数为邻边定 义表;Ik式取值范围b关 系正弦（小为锐角）余弦（ZA为锐角）正切（小为锐角）A、特殊角的三角函数值三角函数30°45°60°1、解直角三角形1、直角三角形的边角关系：（1）两锐角关系：/A+/B=90°（2）三边关系：a2+b2=c2 （勾股定理）a . _ b(3) 边角关系： sinA=cosB=, cosA=sinB=cc2、解直角三角形的类型和解法已知条件图形已知一直角边和一个锐角(a/A)B已知斜边和一个锐角(c/A)/b边A 'C已知两直角边（

15、a,b）邻边b已知斜边和一条直角边解法(c,a)第八章二次函数、概念：一般的，若两个变量 x, y之间的对应关系可以表示成y= ax2+bx + c（a,b,c是常数，a#o）的形式，则称y是x的二次函数，其中，x是自变量，a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项二、二次函数图象及其性质1、图像与性质函数y x r L图象:IIi ,性 质开口 方向开口向上开口向卜开口向上开口向卜对称轴直线x = h直线x =- 2a增减性当x <h时，y随的 x增大而减小；当x Ah时，y随x 的增大而增大当x<h时，y随x的增大而增大；当xh时，y随的 x增大而减小；b .一

16、当x c 时，y随 2a的x增大而减小；当xab-时，y随 2ax的增大而增大b .一当x < 时，y随 2ax的增大而增大；当x a 时，y随 2a的x增大而减小；a>0时，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧， y随x的增大而增大； a < 0时，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧， y随x的增大而减小顶点最值抛物线有最低点， 当x = h时，y有最 小值，抛物线有最高点， 当x = h时，y有最 大值抛物线有最低点，当x = -2时，y有最2a小值抛物线有最高点，当x = -时，y有最2a大值4ac-b2y最大值一4a2、抛物线与a,b,c的关系决

17、定抛物线开口方向a A0,抛物线开口向上；a <0,抛物线开口向卜决定抛物线开口大小a|越大，开口越小决定抛物线对称轴位置， 对称轴为直线x = b 2ab=0,对称轴为y轴；ab>0,对称轴在y轴左侧；1同号在左，ab<0,对称轴在y轴右侧 J异号在右决定抛物线与y轴的交点位置c = 0,抛物线过原点；c > 0 ,抛物线与y轴交于正半轴；c <0 ,抛物线与y轴交于负半轴决定抛物线与x轴的交点b2 - 4ac > 0时，与x轴后两个交点； b 4ac = 0时，与x轴后一个交点；b 4ac<0时，与x轴没后交点决定顶点位置Ei24产 b 4ac-b

18、2、 顶点坐标为 -,12a 4a j三、二次函数表达式的确定。确定二次函数表示的方法仍是待定系数法，有以下三种方法：21、一般式：右已知抛物线过三点，一般设函数表达式为y = ax +bx + c(a#o)f - rj、J' I22、顶点式：若已知抛物线的顶点是(h,k),可设函数表达式为 y=a(x-h) +k(a#0)3、交点式：若已知抛物线与 x轴两个交点(为,0), (x2,0),可设函数表达式y = a(x-x, X x-X2 X a#0)四、二次函数的平移规律移动力向平移前的表达式平移后的表达式简记向左平移m个单位左加向右平移m个单位右减向上平移m个单位上加何卜平移m个单

19、位下减江后平移之前函数表达式必须先化为顶点式五、二次函数与一元二次方程的关系二次函数y = ax2+bx+c(a #o )的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点；有一个交点；没有交 点，当图象与x轴有交点时，令y=0,解方程ax2+bx + c=0就可以求出与x轴交点的横坐标ax2 +bx + c = 0 的根抛物线y = ax2 + bx + c与x轴的交点两个不相等的实数根两个交点两个相等的实数根一个交点没有实数根没后交点第九章圆、圆的有关概念和性质1、圆的基本概念：(1)圆：到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点是圆心，定长是半径(2)弦、直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦

20、；经过圆心的弦叫做直径r ' _ _ _ j一 r ,(3)弧：圆上任意两点间的部分叫做弧；大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧(4)等圆、等弧：能够重合的圆叫做等圆；能够重合的弧叫做等弧, . _ . I -i产/丫 1 )(5)圆心角：顶点在圆心，端点在圆上的角叫做圆心角(6)圆周角：定点和端点都在圆上的角叫做圆周角2、圆的性质(1)圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴；圆也是中心对称图形，对称中心是圆心II I(2)把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得到的图形都与原图形重合(3)过不在同一直线上的三个点确定一个圆二、与圆有关的定理和推论文字语百图形几何话百囚壮6

21、？ 弧？弦之定理：在同圆或等圆中，相等的圆J心角所对的弧相等，所对的弦也相等在同圆或等圆中，1、圆心角相等：/AOB=/DOE2、弧相等：AB = DE推论：在同圆或等圆中，如果两个 圆心角，两条弧，两条弦中 有一组相等，那么它们所对 应的其余各组量都分别相等3、弦相等：AB = DE以上条件知其中一个可得其二圆周角定理定理：圆周角的度数等于它所对的 弧的圆心角度数的一半丁 /AOB是久B所对的圆心角， /C是么B所对的圆周角，推论1:同弧或等弧所对的圆周角 相等丁 / C和/ D都是么B所对的圆周角1/产.产/ 1o _ -、.*产推论2:直径所对的圆周角是直角，900的圆周角所对的弦是直径

22、A AB是O的直径/C是AB所对的圆周角 NC是久B所对的圆周角AB是O的直径推论3:圆的内接四边形对角互补 "" "" /v四边形ABCD是O的内接四边形垂径定理定理：垂直于弦的直径平分弦，并 且平分弦所对的两条弧AB是O的直径, :.CE = DE , BC =AB-LCDBD , AC = AD推论：平分弦（不是直径）的直径 垂直十弦，并且平分弦所对 的两条弧,: AB是l_ O的直径, AB_LCD 于点 EBC = BD , AC =CE = DEAD三、与圆有关的位置关系1、点与圆、直线与圆的位置关系文字语百图形几何话百位圆 置的点 与设1_。的半径为r ,点到圆心的距离为d , 则有：点在圆外点A在圆外二d > r点在圆上点B在圆上u d = r点在园内点C在圆外。d < r直线与圆的位置关系设。的半径为r,圆心O到直线l的距离为d 则有：相