基本不等式及其应用复习讲义

1、第2节基本不等式及其应用最新考纲 1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小) 值问题.I基R修断回归教材，夯实基础知识梳理 a+ b1 .基本不等式：ab& ar(1)基本不等式成立的条件：a>0, b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a=b时取等号.其中afb称为正数a, b的算术平均数， yb称为正数a, b的几何平均数.2 .两个重要的不等式(1)a2 + b2>2ab(a, bCR),当且仅当a=b时取等号.(2)ab<a+b2丁 j(a, bCR),当且仅当a=b时取等号. <273 .利用基本不等式求最值已知x>

2、;0, y>0,则(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x= y时、x+ y有最小值是2/p(简记：积 定和最小).S2如果和x+y是定值s,那么当且仅当xy时，xy有最大正是，简记：和定积 最大).常用结论与微点提醒12+ bj>2(a, b同号)，当且仅当a=b时取等号.2.ab<&+ b 2 a +b T 022a+ b3.& Vabwa2 + b22(a>0, b>0).a十b4 .连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致诊断自测1 .思考辨析(在括号内打或“X”)(1)两个不等式a2+b2>2ab与，b。茄成立的条件是相同

3、的.()(2)函数y= x+1的最小值是2.()x(3)函数f(x) = sin x+-的最小值为4.()sin x(4)x>0且y>0是x+ y>2的充要条件.() y x解析(1)不等式a2 + b2>2ab成立的条件是a, bCR；a+ bJ不等式 2 成立的条件是a>。，b>0.一 1(2)函数y= x+-值域是( 8, -2U2, +oo),没有最小值. x(3)函数f(x) = sin x+ 的最小值为-5. sin xx y(4)x>0且y>0是一+ '>2的充分不必要条件. y x答案 (1)X (2)X (3)x

4、(4)X2 .设x>0, y>0,且x + y=18,则xy的最大值为()A.80B.77C.81D.82解析xy<仁"f = 81,当且仅当x=y=9时取等号.答案 C13 .右函数f(x) = x+ -7(x>2)在x= a处取取小值，则a等于()x 2A.1+/B.1 +3C.3D.4解析 当 x>2 时，x-2>0, f(x) = (x-2) + x12+2>2yj (x-2) x-x1 + 2 = 4,1一 一 .一 一. 一 一一 . 一当且仅当x2=iI(x>2),即x=3时取等号，即当f(x)取得最小值时，即a= x 2

5、、3 .答案 C4 .(2017山东卷)若直线x+y= 1(a>0, b>0)过点(1 , 2),则2a+b的最小值为 a b1 2解析由题设可得三+b= -00,2a + b = (2a + b)+28 M且仅当b=常，即b=2a时，等号成立;故2a+ b的最小值为8.答案 85.(教材习题改编)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 18 m,则这个矩形的长为 m,宽为 m时菜园面积最大.解析 设矩形的长为x m,宽为y m.则x+ 2y= 30,所以S= xy=夕(2y)交要或2y 2 22515= 225,当且仅当x = 2y,即x=15, v=省时取等号.

6、15答案15寺I考点突破I 陪':必吓T学谒蚪分类训练.以例求法考点一配凑法求最值5 一1【例1】(1)右x<7，则f(x)=4x 2 + ;1的取大值为;4-4x 5(2)函数v=一"一 二 的最大值为.x+ 3+ , x 15- 4<X为因)1所以 54x>0,1则 f(x) = 4x 2+435 = 3 4x+ 5 4x j+ 3<-2、/ (5-4x) -+3= -2+3= 1.5J5 4x，1-当且仅当5-4x=,即x=1时，等号成立. 5 4x一1故f(x) = 4x 2+-一;的最大值为1. 4x 5(2)令1 = /1 >0,则

7、x= t2+1,所以 y = t2+1 + 3+t = t2 + t+4.当 t=0,即 x= 1 时，y= 0;,一一一,1当t>0,即x> 1时，y=七一, t+f+1因为t + ：>24 = 4（当且仅当t = 2时取等号）， ,11所以 y=05，t+j+11 .即y的最大值为1（当t=2,即x=5时y取得最大值）.5答案（1）1规律方法1.应用基本不等式解题一定要注意应用的前提:定” “三相等” .所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值 时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.2.在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出

8、积、和为常 数的形式，然后再利用基本不等式.1，一【训练1】（1）（2018西安月考）若对任意x> 1,不等式x+ 力1a色成立, 则实数a的取值范围是x2 + 2函数y=(x>1)的最小值为x 1解析（1）因为函数f（x） = x+ 11在1, +00）上单调递增 所以函数g（x） = x+ 1 x1+ 2在0, +8）上单调递增，所以函数 g（x）在1, +8）的最小值为g（1）x十1=1,因此对任意x> 1不等式x+;一1a包成立，所以a&g（x）最小值=1,故2x+ 12实数a的取值范围是21x2 + 2（x2 2x+1） + （2x 2） +3尸=x1(x

9、1) 2+2 (x 1) +3一x-1= (x-1)+六+22出+2.3当且仅当x仁一，即十十12 +y 3 (y+ 1) 6=6,时，等号成立.答案 (1)-oo1(2)2 3+ 2考点二常数代换或消元法求最值（易错警示）【例2】（1）（一题多解）若正数x, y满足x+3y= 5xy,则3x+4y的最小值为 （2）（一题多解）已知x>0, y>0, x+ 3y+xy= 9, WJ x+3y的最小值为解析（1）法一由x+3y= 5xy可得J+言=1, 5y 5x131 , 一 ，、y=5时，等万成立）,3x+ 4y= (3x+ 4y) 5y+ 5x二屋+续Y+ 5(当且仅当>

10、12y即x=1,5 5 5y 5x 55'5y 5x，'3x+ 4y的最小值是5.法二由x+ 3y =5xy,彳3x3y5y 1'. x>0, y>0,y>5,.3X+ 4片券+ 4尸整9 4 4 , 5+54y5泻)一 13, 9 + “5+5.13=5,1一 ,当且仅当y= 2时等方成立，（3x+ 4y）min = 5.（2）由已知得x=93y.法一（消元法） 因为 x>0, y>0,所以 0<y<3,9- 3y所以 x+3y= (+3y1 +y=比+ 3(y+ 1) 62 1一 .112当且仅当1Z?= 3(y+1),即

11、y=1, x= 3 时，(x+ 3y)min = 6.法二. x>0, y>0, 9(x+ 3y) = xy= gx (3y)&g 1三丫当且仅当x= 3y时等号成立.2设 x+3y = t>0,则 t +12t1080,(t-6)(t+18)>0,又. t>0, .t6.故当 x=3, y=1 时，(x+3y)min = 6.答案(1)5 (2)6规律方法 条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法，即根据条件建立两个 量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变 形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子， 然后利用基本不等式

12、求解最 值；三是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解 .易错警示(1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致. _ 一 111 一 一一，一【训练2】(1)已知x,y均为正实数，且不+示=6，则x+ y的最小值为()A.24B.32C.20D.28 (2)(2018石家庄质检)已知直线l: ax+ byab=0(a>0, b>0)经过点(2, 3),则a + b的最小值为.111解析(1) /x, y均为正实数，且亡+士=1,x I 2 y I 2 J则 x+y= (x+2 + y+2)

13、 4=6 岛 + 木卜+2 + 丫+2) 4x+ 2 y+ 26巳而+ x+ 2卜4>6Xx±2y+2)y+ 2 x+ 2 4 = 20,当且仅当x= y= 10时取等号.；x+ y的最小值为20.故选C.一一 2a 一（2）因为直线l经过点（2,3）,所以2a+3b ab=0,所以b=>0,所以a 3>0,a 3三=5 + 2优，当且a 32a6_所以 a+b= a+ a 3+5>5 + 2. / (a3)a 3a 3，仅当a 3=三，即a= 3+优，b=2+76时等号成立.a 3答案 (1)C(2)54 276考点三基本不等式在实际问题中的应用【例3】 运

14、货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制500X& 100（单位：千米/时）.假设汽油的价格是每升 2元，而汽车每小时耗油x22+360,司机的工资是每小时14元.（1）求这次行车总费用y关于x的表达式；当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值解（1）设所用时间为t=130（h）, X2V=等 X 2X(2 +x130右 I+14X，x 50, 100.360x一 、,一 一 一 130X 18 2X130所以，这次行车总费用y关于x的表达式是y=-x+-36Q_x，x 50, 1002340 13(或 y=-x-+筱，x 50, 100). 130X

15、 18 2X 130(2)y= x+ 160-x> 26 月, t 130X18 2X130当且仅当一X-= Bx,即x=18>/i0时等号成立.故当x= 18/千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26国元.规律方法 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数 .2 .根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.3 .在求函数的最值时，一定要在定义域（使实际问题有意义的自变量的取值范围） 求解.【训练3】2016年11月3日20点43分我国长征五号运载火箭在海南文昌发射中心成功发射，它被公认为我国已从航天大国向航天强国迈进的重要标志.长征

16、五号运载火箭的设计生产采用了很多新技术新材料，甲工厂承担了某种材料的生 产，并以x千克/时的速度匀速生产(为保证质量要求1&XW10),每小时可消耗A 材料kx2 + 9千克，已知每小时生产1千克该产品时，消耗A材料10千克.(1)设生产m千克该产品，消耗A材料y千克，试把y表示为x的函数.(2)要使生产1 000千克该产品消耗的A材料最少，工厂应选取何种生产速度？并 求消耗的A材料最少为多少？解(1)由题意，得k+9=10,即k= 1,生产m千克该产品需要的时间是m, x所以 y=x(kx2+9) = mb+9 J, x 1, 10.(2)由知，生产1 000千克该产品消耗的A材料为

17、y=1 000k+ 9 1 000X 2m =6 000,当且仅当x= 9,即x=3时，等号成立，且31, 10. x故工厂应选取3千克/时的生产速度，消耗的 A材料最少，最少为6 000千克.分层训练，提升能力I课时作业基础巩固题组(建议用时：30分钟)一、选择题1 .下列不等式一定成立的是()A.lg x2+1 >lg x(x>0)一. 1 、B.sin x+sn>2(xwk：t , kCZ)C.x2+1>2|x|(x R)_1DK <1(xR)解析 当x> 0时，x2+4> 2x2=x,所以lg32+；j> lg x(x> 0),故选

18、项A不 正确；运用基本不等式时需保证 “一正” “二定” “三相等"，当xw k九，kC1Z时，sin x的正负不止，故选项B不正确；显然选项C正确；当x=0时，有/+1 =1,选项D不正确.答案 C2 .若2x+ 2y= 1,则x+ y的取值范围是（）A.0, 2B.-2, 0C.-2, +oo)D.( 00, 2解析242”<2x+2y=1,所以 2x+ y<4,所以 x + y<-2.答案 Dx3 .（2018平顶山一模）若对于任意的x>0,不等式x2+3x+1 &a恒成立，则实数 a的取值范围为（）A.与 十°0）BC, +0

19、6;)C.1 OO -'5D.解析由x>0,得x2+3x+1 =17x+3 2，51x+31，一， ， ,一5,当且仅当x=1时，等一. 1万成立，则a>5.答案 A 4若a>0, b>0,且a+b=4,则下列不等式包成立的是A 1 JA.<7ab 4C. ,ab>21 1B.a+b&1D.a2+b2>81解析 4=a+b>2«b（当且仅当a=b时，等方成立），即4五02, ab<4, ab1,选项A, C不成立；1+1= a¥=>1,选项B不成立；a2+b2=（a+b）24 a b ab ab2a

20、b=16 2ab> 8,选项 D 成立.答案 D5 .若a, b都是正数,则（1 + b i- ,+4aj的最小值为（）A.7B.8C.9D.10解析:a, b都是正数，（1 +嶷1+管）=5+告+45 + 2 4a = 9,当且仅当b = 2a>0时取等号.答案 C6 .若正数x, y满足4x2 + 9y2+3xy= 30,则xy的最大值是（）A.4B.5C.2D.5334解析 由 x>0, y>0,得 4x2 + 9y2+3xy>2 （2x） （3y） + 3xy（当且仅当 2x= 3y 时等号成立），；12xy+ 3xy<30,即xy&2,.

21、xy的最大值为2.答案 C7 .已知x>0, y>0且4xy x 2y=4,贝U xy的最小值为（）A.-22B.2 2C. 2D.2解析 x>0, y>0, x+2y> 2/2xy,4xy （x+ 2y） < 4xy 2/2xy,4< 4xy 2 2xy,则（必y 2）（42xy+ 1）>0,2xy> 2,xy> 2.答案 D8 .（2018郑州质检）已知a, bC（0,十）,且a+b+1=5,则a+b的取值范 a b围是（）A.1 , 4B.2 , +oo）C.（2, 4）D.（4,解析 因为 a+b + a + b=（a+b），

22、+Ob）= 5,又 a,bC （0,十）,所以 a+b=-5y1+K ab<5巨，当且仅当a=b时，等号成立，即（a+b）2-5（a+ b） + 4<0,解得1+db1<a+b<4.答案 A二、填空题9 .正数a, b满足ab= a+ b+3,则ab的取值范围是.解析 ,a, b是正数，ab= a+ b+ 3>2/ab+ 3,解得相3,即ab> 9.答案9, +oo),一一a4+4b4+1 , 一 一、，10 .(2017天津卷)若a, bCR, ab>0,则ab的最小值为,1 c4ab+-t>2 ab4ab - L=4, ab 'aba

23、b解析a, bC R, ab>0, a4 + 4b4+1 4a2b2+1 ：>：=任=2b2, 当且仅当,114ag aPa2，,即:厂时取得等号.3答案4x + ax+ 1111.已知函数f(x) =-.(aCR),若对于任意的x N+, f(x)3恒成立，则ax十1的取值范围是.解析对任意x N +, f(x)>3,x2 + ax+11/8)即一x1- >3 恒成立，即 a> - x+x !+ 3.88设 g(x) = x + , xCN +,贝U g(x) = x+->4/2, xx当 x=2也时等号成立，又 g(2) = 6, g(3) = 17,

24、g(4)=6. 3. g(2)>g(3), .g(x)min = 137 .3+ 8 !：+ 3< -|,.a>-8,故a的取值范围是J-8,二 8、答案 |l-3, +00 J12.(2018成都诊断)某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂 和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓 库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之 间的距离为千米时，运费与仓储费之和最小，最小为 万元.解析 设工厂和仓库之间的距离为x千米，运费为y1万元，仓储费为y2万元，k2_、则 y = kx(k1 w 0), y2= (

25、k2*0),x、.工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元,；ki=5, k2 = 20,运费与仓储费之和为gx+201元.5x+ 20>25xx 20xx最小，为20万元.一 .i20= 20,当且仅当5x=20,即x=2时，运费与仓储费N和答案 2 20能力提升题组（建议用时：15分钟）13.（2018西安模拟）若4ABC的内角满足sin A+&sin B = 2sin C,则cos C的最小值是（）6 6 .2A. 4BC.十D.解析由正弦定理，得a+Z2b=2c.缶、Jca2+b2-c2所以 cos C =不工2aba2+b2 a+ 2b 23a2 + 2b2 272ab2ab8ab2&ab2也ab 乖亚8ab当且仅当3a2 = 2b2,即73a=/2b时，等号成立.所以cos C的最小值为叱42.答案 A14.（2018安徽江南十校联考）已知数歹【an满足an+1+an=（n+1） cosn2L（n>2, n11 ，CN+）, 8是数列an的前n项