对数函数及其性质教案

1、2.2.2对数函数及其性质（一）教学目标（一） 教学知识点1 .对数函数的概念；2 .对数函数的图象与性质.（二）能力训练要求1 .理解对数函数的概念；2 .掌握对数函数的图象、性质；3 .培养学生数形结合的意识.（三）德育渗透目标1 .认识事物之间的普遍联系与相互转化；2 .用联系的观点看问题；3 . 了解对数函数在生产生活中的简单应用.教学重点对数函数的图象、性质.教学难点对数函数的图象与指数函数的关系.教学过程一、复习引入：1、指对数互化关系：ab = N = log a N = b2、 y = ax（a 0且a *1）的图象和性质.a 10V a0得x # 0,，函数y = log a

2、 x2的定义域是x|x#。;(2)由 4x0 得 x4,，函数 y = loga(4 - x)的定义域是x|x0 得 x1 ,y =*，函数1x -1的定义域是（1,y2.对数函数的图象:通过列表、描点、连线作 y = log 2 x与y = 10gl x的图象:2思考：y = log 2 x与y =10gl x的图象有什么关系?23, （1）根据对称性（关于x轴对称）已知y=1og3x的图像，你能画出y=10gl3x的图像吗?（2）在同一坐标系中画出下列对数函数的图象， 观察图象，找出各函数图象的共同特征，分析其不同之处，并归纳其性质(1) y=log2x(2) y = log 1 x2(3

3、) y = log 3 x(4) y = logi x34.对数函数的性质由对数函数的图象，观察得出对数函数的性质a 10v a v 1图象2.5-21211.5U110.5001001-15-2121-性质定义域：（0, +0）值域：R过点（1 , 0）,即当x=1时，y=0x( (0,1)时 y 0xe (0,1)时 y 0xe (1,y)时 y 0,a #1).解：考查对数函数y=log2x,因为它的底数21 ,所以它在（0, +8）上是增函数，于是 10g2 3.4 log28.5.考查对数函数 y =log 0.3 x,因为它的底数00.31 时，y =log a X在（0, +oo

4、）上是增函数，于是 loga 5.1 loga 5.9 ；当 0 a log a 5.9 .小结2：分类讨论的思想.对数函数的单调性取决于对数的底数是大于1还是小于1 .而已知条件并未指明，因此需要对底数a进行讨论，体现了分类讨论的思想，要求学生逐步掌握四、练习1。(P73、2)求下列函数的定义域： 1(1) y=log 3(1-x)(2)y=log 2 x(4)y = Jog3 x(5y = log2(164x)G3)y= 10g711 -3x(6) y =logx(3 x)解：(1)由 1-x0 得 xv 1 二所求函数定义域为x|xv1；（2）由10g 2x刈，得x力，又x0，所求函数定

5、义域为x|x0且x旬;011由13x ，得x -，所求函数7E义域为x|xv - ；331 -3x =0x 0 m x A0（4）由3，得，.x，所求函数7E义域为x|x/.Jog3x*0*至 1练习2、函数y =1oga（x +1）-2 （a A0, a #1）的图象恒过定点（3、已知函数y = loga(x+1) (a a0, a # 1)的定义域与值域都是0,1,求a的值。(因时间而定，选讲)五、课堂小结对数函数定义、图象、性质；对数的定义，指数式与对数式互换；比较两个数的大小.六、课后作业：1 .阅读教材第7072页；2 .习案P191192面。2.2.2对数函数及其性质(二)教学目标

6、1.教学知识点1 .对数函数的单调性；2.同底数对数比较大小；3.不同底数对数比较大小；4 .对数形式的复合函数的定义域、值域；5 .对数形式的复合函数的单调性.2.能力训练要求4.掌握对数函数的单调性；2 .掌握同底数对数比较大小的方法;3 .掌握不同底数对数比较大小的方法；4 .掌握对数形式的复合函数的定义域、值域；5.掌握对数形式的复合函数的单调性；6.培养学生的数学应用意识.3.德育渗透目标1 .用联系的观点分析问题、解决问题； 2 .认识事物之间的相互转化.教学重点2 .利用对数函数单调性比较同底数对数的大小；3 .求对数形式的复合函数的定义域、值域的方法；4 .求对数形式的复合函数

7、的单调性的方法.教学难点1 .不同底数的对数比较大小；2 .对数形式的复合函数的单调性的讨论.教学过程一、复习引入：1 .对数函数的定义：函数y =loga x (a 0且a =1)叫做对数函数，对数函数 y = loga x (a 0且a =1)的定义域为(0,七叼，值域为(q D .2、对数函数的性质：a 10v a v 1图象32.1-218_1.51L10.1/0101001467-151-.I|.1 .性质定义域：(0, +0).值域：R.过点(1, 0),即当x=1时，y=0 .xw(Q1)时 y 0 .xw (0,1)时 y0 .x w (1,)时 y 0 .在(0, +8)上是

8、增函数.在(0, +8)上是减函数._ _ . 5.函数y=x+a与y = log ax的图象可能是 3.书P73面练习3二、新授内容：例1.比较下列各组中两个值的大小:(1) log 6 7, log 7 6 ; log 3 n，log 2 0.8.(3) 60.7, 0.76, log 0.76解： : log 67Alog6 6 = 1 , log 7 6 log 31 =0 , log 2 0.8 log 2 0.8 .小结1：引入中间变量比较大小：例1仍是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小， 当不能直接比较时，经常在两个对数中间插入1或0等，间接比较两个对数的大小 .练习：1 .

9、比较大小(备用题)1， cc hP ， log030.7 log040.3 ； 10g340.7 log06 0.8 -； log030.1 a log02 0.1 loga (水2 +2x + 3)成立，4求使此不等式成立的x的取值范围.一99 299 29斛：.x =-使原不等式成乂 . loga () 一2 log a 1 (-)+2 -+3)44444即lOgaAaOga39.而上码.所以y = log aX为减函数，故0Va1.161616162- 八x ：二 -1 或 x . 2解得 1 x 0，原不等式可化为x2+2x+3A02_2 一、x -x -2 -x +2 x +35故使

10、不等式成立的x的取值范围是(2, 5)2例3.若函数f(x)=logax (0a1)在区间a, 2a上的最大值是最小值的3倍,一 .2求a的值。 (a =)4例4.求证：函数f (x) =log2x在(0, 1)上是增函数.1 -x解：设 0 V xi vx2V 1 ,x2,x1,“(1 - x1)x2 1 - x1贝U f (x2)-f (xi) = log 2 log 2= lOg 2= log 2 .1 - x21-4(1 - x2)x1xi 1-x2x2,1 - x1x21- xi_0xkx2 1, L 1. 贝Ulog221 0,xi1 -x2xi1- x2. f (x2)f (x1

11、).故函数f (x)在(0, 1)上是增函数例 5.已知 f (x) = log a (a -ax) (a 1).(1)求f (x)的定义域和值域；(2)判证并证明f (x)的单调性.解：(1)由 a1, a -ax0,而 aax,则 x1.故 f (x)的定义域为(1, +3,而 axva,可知 0v a -ax1.贝U log a(a -ax)x2 1 ,又 a 1,.a” ax2 , /.a 一ax1 a ax2 , log a (a -ax1 )0= x _4x_50= -1cx5,由一1 x 5，在此区间内(x2 +4x+5)max = 9 ,0 -x2 +4x+5 -2 , 33，

12、定义域为-1,5,值域为-2,+).例 8.(备选题) 已知 f (x) = log ax (a0, an),当 0vxivx2时，试比较f(x2)与2f(x1) + f (x2)的大小，并利用函数图象给予几何解释.【解析】因为 f(x1六)-gf(K) f(x2) =lOga 2 - glOgax1 lOgax2,Xi x2Xi - x2=log a-loga Jx1x2 =loga -,又 0VXiVX2,22.XiX2Xi +X2- 2Jx1x2 =(Jx1_阮)2 0,即 Xi+ X22jx1x2 ,x1+x2 1.2 X1X2一.x xx Xc 1于是当 a1 时，log a ,0.

13、 此时 f (2) 一 f (Xi) + f (X2 )2.X1X222同理 0 vav 1 时 f (x1 +x2) v 3f (x1) + f (x2)22或：当a 1时，此时函数y = log ax的图象向上凸.x x1显然，P点坐标为f(y2),又A、B两点的中点 Q的纵坐标为-f (X1) + f (X2),X Xo 1由几何性质可知f(-2) f (Xi) +f (X2).22当0va1时，函数图象向下凹.从几何角度可知loga X1+X2 v02 x1 x2 x Xo1此时 f (-)0且a名，当 a1 时，Iva2. 当 0a1 时，,0a1 ,综上述，0a0,值域 t 0.问

14、题1：函数s=vt的定义域、值域分别是什么？s问题2:函数t=一中，谁是谁的函数？ vs问题3:函数 s = vt与函数1=一之间有什么关系？ v2、又如，在函数y=2x+6中，x是自变量，y是x的函数，定义域xW R,值域yW R .我们从函数y=2x+6中解出x,就可以得到式子 x = 3 .这样，对于y在R中任何一个2值，通过式子x =- -3, x在R中都有唯一的值和它对应.因此，它也确定了一个函数：2y为自变量，x为y的函数，定义域是 yWR,值域是x R.3、再如：指数函数y=ax中，x是自变量，y是x的函数，由指数式与对数式的互化有：x = log a y对于y在(0, + 00

15、 )中任何一个值，通过式子 x = log a y , x在R中都有 唯一的值和它对应. 因此，它也确定了一个函数： x = loga y , y为自变量，x为y的函数， 定义域是y亡(0, +如)，值域是xw R .二、讲解新课：1 .反函数的定义一般地，设函数y = f(x)(xW A)的值域是C,根据这个函数中 x, y的关系，用y把x 表示出，得到x=中(y).若对于y在C中的任何一个值，通过 x= (y), x在A中都有唯一 的值和它对应，那么，x二(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x= (y) (yC)叫做函数y = f (x)(x乏A)的反函数，记作x=f,(

16、y),习惯上改写成y = f/(x)开始的两个例子：s=vt记为f (t) =vt ,则它的反函数就可以写为f (t)=-,同样v1 xy=2x+6记为f(x) =2x+6,则它的反函数为：f,(x)=3.2探讨1 ：所有函数都有反函数吗？为什么？反函数也是函数，因为它符合函数的定义，从反函数的定义可知，对于任意一个函数y = f(x)来说，不一定有反函数，如y = x ,只有“一一对应”确定的函数才有反函数，y=x ,xW0,F)有反函数是 y=Jx探讨2 :互为反函数定义域、值域的关系函数y = f (x)反函数y= f,(x)定义域AC值域CA探讨3 : y = f ,x)的反函数是什么

17、？若函数y = f(x)有反函数y=f,(x),那么函数y = f，(x)的反函数就是y=f(x),这就是说，函数y = f (x)与y = f,(x)互为反函数.探讨4：探究互为反函数的函数的图像关系观察讨论函数、反函数的图像，归纳结论：1 ，(1)函数y = f (x)的图象和匕的反函数 y=f (x)的图象关于直线 y=x对称.(2)互为反函数的两个函数具有相同的增减性.三、讲解例题：例1.求下列函数的反函数：3 y =3x-1(x 匚 R); y = x +1(x=R).y 1解：由y =3x 1解得x =3x 1，函数y = 3x1(x匚R)的反函数是 y= (x = R),由 y

18、= x3 +1(x W R)解得 x= 3 y -1 ,函数 y = x3 +1(x w R)的反函数是 y =xx -1 (x w R)小结：求反函数的一般步骤分三步，一解、二换、三注明.例2.函数y =loga(x1) (a 0且a #1)的反函数的图象经过点(1, 4),求a的值.【解析】根据反函数的概念，知函数y =loga(x1) (a 0且a =1)的反函数的图象经过点(4, 1),1 =loga3,a=3.【小结】若函数 y=f(x)的图象经过点(a,b),则其反函数的图象经过点(b,a).例3.已知函数y = f (x) = Jx +1 ,求f/(3)的值.解：方法一：: x

19、0-y 1 由 y = Vx+1 解得：x=(y1)2，f 1(x) =(x -1)2(x 1)为原函数的反函数，f,(3) =4.方法二：由反函数的定义得：3 =石十1,解得：x= 4, 即f,(3)=4.练习1 .求下列函数的反函数:(1) y=4x(x 的,x(2)y=0.25 (xCR),1、x -y=(一)(x(R),3(4)y=(V2)x(xR),(5)y=igx(x0),(6) y=2 log4x(x0)x ,一(a0,an,x0)2 y= log a (2x)(a 0,且 a司x 0)(8)y= logy= log 0.25 x(x0)解：(1)所求反函数为：y= log 4 x(x0), (2)所求反函数为:所求反函数为：y=log1 x (x0),