2019-2020人教A版数学选修2-1课时分层作业16空间向量的正交分解及其坐标表示

1、课时分层作业（十六）空间向量的正交分解及其坐标表示（建议用时：60分钟）基础达标练一、选择题1 .给出下列命题：若a, b, c可以作为空间的一个基底，d与c共线，dw0,则a, b, d 也可以作为空间的一个基底；已知向量all b则a, b与任何向量都不能构成空间的一个基底；A, B, M, N是空间四点，若BA, BM,尿不能构成空间的一个基底，则A, B, M , N四点共面；已知a, b, c是空间的一个基底，若 m = a+c,则a, b, m也是空间的 一个基底.其中正确命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4D 根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的

2、一个、 一 基底.显然正确.中由BA, BM, BN不能构成空间的一个基底，知BA, BM ,一 一 、，一， ， 一，一 一一一， . BN共面.又BA, BM, BN过相同点B,知A, B, M, N四点共面.所以正确.下 面证明正确：假设d与a, b共面，则存在实数 入内使得d=白+ h,d与c共线，c*0, ,存在实数k,使得d=kcdw0,.”0,从而c=+k为，.c与a, b共面，与条件矛盾，. d与a, b不共面.同理可证也是正确 k的.于是四个命题都正确，故选D.2.在平行六面体 ABCD-AiBiCiDi中，M是上底面对角线 AC与BD的交点，一 一一- -i、，.、右AiB

3、i = a, AiDi = b, AiA= c,则 BiM可表小为（），11 LA. 2a+b+cB.2a-b+ c-111 . 1 .C. 2a /b+ cD. /a + /b+c, 尸1 D 由于 B1M = BB+BM = B1B+2(BA+ BC)=-2a + 2b+ c,故选 D.3.正方体 ABCD-ABCD 中，O1,。2, O3 分别是 AC, AB' , AD'的中点，.、. 一一一 . 一. 一，一一以A。1, AO2, A03为基底，AC'= xAO + yAO2+zA。3,则 x, y, z 的值是()1A . x=y=z=1B. x=y=z=5

4、c,C. x=y=z= 2D. x=y=z=2A AC= AA+ AD + AB1 一 -±1 一，心 1 一， Y=2(AB + AD)+ 2(AA + AD) + (AA + AB)1 1 , 1 , 2AC + 2AD + 2AB = AO1 + AO3+ AO2,由空间向量的基本定理，得x=y= z= 1.,_一 一. 一， 力4 .已知点0, A, B, C为空间不共面的四点，且向量 a=0A+0B+0C,， 一.， 一一向量b=0A+0B-0C,则与a, b不能构成空间基底的向量是（）A.O AB.O BC.0CD.0A 或 0BC 因为ab= 20C,所以a, b与0C

5、共面，不能构成空间的一个基底.5 .如图，在空间直角坐标系中，正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为1, B1E1 -，八一= 4A1B1,则 BE等于（）A.10' 1, i)B. - 1, 0, 1)c1 dC.,，-4, 1 )d.£ o, 1) 3 3 八.一r i 八 C 由题图知 B(1, 1, 0), e1, 4，1 !,所以 BE=p 4，1 二、填空题6 .已知空间的一个基底 a, b, c, m=ab+ c, n = xa+yb+ c,若 m 与 n 共线，则x=, y=.1 -1 因为m与n共线，所以存在实数 入使m=n,即ab+c=入&,1

6、 =入冬+入b+ I,于是有 1 =入y、1 = A,解得x= 1, 、y=-1.7 .如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若AB=a, AD= b, AA1 = c,则 B1M =.-2a+Jb-c B?M = AM-AB11？±1t1，-11_=2(AB + AD) (AB + AAi) = /AB+ /AD -AAi=-2a+，b c.8 .已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，建立如图所示的空间直角坐，一一八一一，一 、，一一，.一，标系，M,N分别是AB, PC的中点，并且RA = AD=1,则MN的坐标为.-2，0, 1） . PA=

7、AD = AB=1,且 PAL平面 ABCD, ADXAB,mJo, ! 0 i, P（0, 0, 1）, c（-1, 1, 0）,则 n g, 2，2,.MN= -J, 0, 1 .三、解答题9 .如图，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，MA= 一：ac, NdmJAD,设Ab 33=a, AD=b, AA = c,试用 a, b, c表小MN.解 连接 AN,则MN = MA + AN.由已知可得四边形ABCD是平行四边形，从而可得AC = AB+AD = a+b,MA=-；AC=-1（a+b）,又 AD = AD AA1 = bc,之 之; .之 之 1故 AN = AD +

8、 DN = AD ND = AD AiD3,1= b-3(b-c),所以 MN = MA + AN= 1(a+b)+b 1( b- c) 331= 3(a+b+ c).10 .如图，在正四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，O是AC与BD的交点，PO=1, M是PC的中点.设AB=a, AD = b, AP = c.cB(1)用向量a, b, c表示BM.一、. .一 . 一. ，一，一(2)在如图的空间直角坐标系中，求 BM的坐标.一T 1 L W Y Y T解(1)BM = BC+CM, BC=AD, CM = CP, CP = AP AC, AC=AB+AD,1rt ,

9、 1, 1rt2AB+AD + 2AP =一 心 1 一 二 一 1一 1 一 心 . BM = AD + 2(AP- AC) = AD + AP (AB + AD)= 2a+；b+ 1c.1 ,2，1 >(2)a = AB=(1, 0, 0), b= AD = (0, 1,0). . A(0, 0, 0), Og, 1, 0 i, p2, 2，1c= AP = OP-OA=g,一 111111 1 1 BM = -2a + b+ 2c= -2(1,0, 0) + 2。1,。)+2邑 2能力提升练1 .已知M, A, B, C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使向量MA, 1M

10、B, MC成为空间的一个基底的是（）->111A.OM = 4OA+aOB + aOC 333B.M A = M B+M CC.OM = OA+OB+OCD.MA = 2MB MCC 对于选项 A,由OM=xOA+yOB+zOC(x+y + z=1)? M, A, B, C 四一，一 ，一 一一、.，一 一， ，一 一点共面，知MA, MB, MC共面；对于选项 B, D,易知MA, MB, MC共面，故选C.2 .已知在长方体 ABCD-AiBiCiDi中，向量a在基底AB, AD, AAi下的坐，一一 一 .，一 标为(2, i, 3),则向量a在基底DA, DC, DDi下的坐标为

11、()A. (2, i, 3)B. (-i, 2, -3)C. (i, 8, 9)D. (-i, 8, 9)B . a = 2AB+ AD 3AAi = 2DC DA 3DDi= DA + 2DC3DDi, 向 量a在基底DA, DC, DDi下的坐标为(i, 2, 3),故选B.3 .在空间四边形 ABCD中，AB=a2c, CD = 5a 5b+ 8c,对角线 AC,BD的中点分别是E, F,则EF =5一 i 一 3 i 一 一 i 一 二 i一 i一 i3a2b+3c EF = 2(ED+ EB) = 4(AD + CD) + 4(AB + CB) = 4AB + 4BD +- i i

12、i i5CD + 4AB + 4CD+ 4DB = 2(AB+ CD) = 3a- 2b+ 3c.4.已知向量p在基底a, b, c下的坐标为(2, i, -i),则p在基底2a, b, c下的坐标为;在基底a+b, ab, c下的坐标为.3 i(i, i, i) I", 2, ij 由题意知 p=2a+b c,则向量p在基底2a, b, c下的坐标为(i, i, i),设向量p在基底a+b, a- b, c下的坐标为(x, y, z),则p= x( a+ b) + y(a b) + zc= (x+y)a+ (x y) b+ zc,又 p= 2a+ bc,-x+ y= 2 . Xxy

13、=1,z= 131解得 x= 2， y= 2， z= 1;；p在基底a+b, ab,c下的坐标为2, 1 .5.已知e1，出, e3为空间的一个基底，且 OP = 2e1一e2+3e3, OA= & + 2& -e3, OB= 3e + e2+2e3, OC=e1 + e2e3.(1)判断P, A, B, C四点是否共面.(2)能否以OA,OB,OC作为空间的一个基底？若能，试以这一基底表示OP; 若不能，请说明理由.解(1)假设P, A, B, C四点共面,则存在实数 x, y, z,使OP=xOA+ yOB + zOC,且 x+y+z= 1,即 2e1 e2 + 3e3 = x(e1 + 2e2- e3)+ y( 3e1 + e2+ 2e3)+ z(e1 + e2 e3).比较对应的系数,得到关于x, y, z的方程组xx 3y+z= 22 2x+ y+z= - 1,'- -x+2y z= 3x= 17解得 y= - 5 ,与x+ y+ z= 1矛盾,z= 30故P, A, B, C四点不共面.(2)若OA, OB, OC共面，则存在实数m, n,使OA=mOB+nOC,同(1)可证，