八年级数学因式分解专题复习

1、因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是 我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅 是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十 分独特的作用.初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘 法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍.、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的

2、公式, 例如：(1 ) (a+b)(a-b) = a2-b 2a2-b 2=(a+b)(a-b);(2 ) (a ± b) 2 = a 2±2ab+b2a 2± 2ab+b2=(a ± b)2;(3 ) (a+b)(a2-ab+b 2) =a3+b3 a3+b3=(a+b)(a2-ab+b 2);(4 ) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3a3-b 3=(a-b)(a2+ab+b2).下面再补充两个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a 2+b2+c

3、2-ab -bc-ca);例.已知 a, b, c 是 MBC 的三边，且 a2+b2+c2 = ab+ bc + ca ,则AABC的形状是()A.直角三角形B等腰三角形C等边三角形 D等腰直角三角形解：a2b2c2=ab bcca =2a22b22c2= 2ab 2bc 2ca-222二 (a -b) (b -c) - (c - a)= 0= a = b = c、分组分解法.(一)分组后能直接提公因式例1、分解因式： am + an+bm+bn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有 a,后两项都含有b,因此可以考虑将

4、前两 项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式=(am+an)+(bm+bn)=a(m +n) +b(m +n)每组之间还有公因式！=(m n)(a b)解法二：第一、四项为一组；第二、三项为一组。例2、分解因式：2ax -10ay+5by -bx 解法一：第一、二项为一组； 第三、四项为一组。解：原式=(2ax _10ay) (5by_bx) =2a(x-5y) _b(x _5y) =(x -5y)(2a -b)原式= (2ax -bx) (-10ay 5by)=x(2a -b) -5y(2a -b)=(2a - b)(x - 5y)练习：分解因式1、a2ab+a

5、c-bc2、 xy - x - y +1(二)分组后能直接运用公式例3、分解因式：x222(6) 4a x - 4a y -b x+b yy2+ax+ay分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完 后就能继续分解，所以只能另外分组。解：原式=(x2 - y2) (ax - ay)=(x y)(x - y) a(x y)=(x y)(x - y a)例4、分解因式：a2 -2ab +b2 -c2222解：原式=(a -2ab b ) -c22=(a -b) -c=(a -b -c)(a -b c)练习：分解因式 3、x2 x9y2 3y 4、x2-y2-z2-2y

6、z(2) ax2 - bx2 bx - ax a - b综合练习：(1) x x2 6xy 9y2 -16a2 8a -1 +x2y -xy2 - y31722(4) a -6ab+12b+9b -4a(5) a4 -2a3 a2 -9四、十字相乘法.(一)二次项系数为1的二次三项式直接利用公式x2+(p+q)x+pq=(x + p)(x + q)进行分解特点：(1)二次项系数是1;(2)常数项是两个数的乘积；(3) 一次项系数是常数项的两因数的和。思考：十字相乘有什么基本规律？例.已知0<a&5,且a为整数，若2x2+3x+a能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a.解析：凡是能

7、十字相乘的二次三项 式ax2+bx+c,都要求 = b2 - 4ac >0而且是一个 完全平方数。于是 = 9-8a为完全平方数，a = 1例5、分解因式：x2 +5x+6分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。由于6=2X 3=(-2) X (-3)=1 X 6=(-1) X (-6),从中可以发现只有 2X3的分解适合, 即 2+3=5。12解：x2 5x 6 = x2 (2 3)x 2 31 2"3=(x+2)(x+3)1 X 2+1 X 3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要 等于一次项的系数。例6、分解因式：x2 -

8、7x +61-1二11-s_(-1) + (-6) = -7解：原式=x2 +(1)+(6)x+(1)(-6) =(x-1)(x-6)练习 5、分解因式(1)x2 +14x+24 (2)a2-15a+36 (3)x2+4x-5练习 6、分解因式(1)x2 +x 2(2) y22y15(3)x210x24(二)二次项系数不为1 二次三项式 ax2+bx + c 条件：(1) a=a1a2a1 . c1(2) c =gc2a2 c2(3) b =a1c2 a2Gb =a1c2 a2G分解结果：ax2 - bx - c = (a1x - c1)(a2x - c2)例7、分解因式：3x2 -11x +

9、10分析：1-23-5(-6) + (-5) = -11解：3x2 -11x 10 = (x -2)(3x -5)(2) 3x2 -7x 2练习7、分解因式：(1) 5x2十7x-6(三)二次项系数为1的齐次多项式 例8、分解因式：a2 8ab -128b2分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解1 一 . 8b1 "-16b8b+(-16b)= -8b解：a2 -8a b-1 2 82 = a2 8b (-16b)a 8b (-16b)=(a 8b)(a -16b)练习 8、分解因式 x2 -3xy +2y2(2) m2 -6mn +8n2(3)

10、 a2 - ab - 6b2(四)二次项系数不为1的齐次多项式例 9、2x2 -7xy 6y21 -2y2 -3y(-3y)+(-4y)= -7y解：原式=(x -2y)(2x -3y)例 10、x2 y2 - 3xy 2把xy看作一个整体 1 X -1(-1)+(-2)= -3解：原式=(xy -1)(xy -2)练习9、分解因式：(1) 15x2+7xy 4y2(2) a2x2 -6ax 8综合练习 10、(1) 8x6 -7x3 -1(2) 12x2 11xy-15y2(3) (x y)2 一3(x y) -102(4) (a+b) -4a -4b +3思考：分解因式：abcx (x2

11、3x 2)(4x2 8x 3) 90 (a2b2 c2)x - abc五、换元法。例 13、分解因式(1) 2005x2 -(20052 -1)x-20052(2) (x 1)(x 2)(x 3)( x 6) x解：(1)设 2005=a ,贝U原式=ax2 -(a2 -1)x-a=(ax 1)(x -a)=(2005x 1)(x - 2005)(2)型如abcd+e的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。原式=(x2 7x 6)(x2 5x 6) x2设 x2+5x+6 = A,贝 U x2 + 7x + 6 = A + 2x原式=(A 2x)A x2 = A2 2Ax x2=(A

12、x)2 = (x2 6x 6)2练习 13、分解因式(1) (x2 + xy + y2)2 4xy(x2 +y2)(3) (a2 +1)2 +(a2 +5)2 -4(a2 +3)2例 14、分解因式(1) 2x4 x3 6x x9 x6 x3 -3解：原式二(x9 1)十(x6 1)十(x3 1)=(x3 一 1)(x6 x3 1) (x3 一 1)(x3 1) (x3 -1) x + 2观察：此多项式的特点一一是关于x的降幕排列，每一项的次数依次少 1,并且系数成 “轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。解：原式=x2(2x2 -

13、x -6 -)=x2 2(x2 :)一(x 1)-61 x xxx设 x + =t ,则 x2 +4=t2 一2 xx.原式=x2 2(t2 2) t6= x2(2t2 t10)2J 2 Y 1、=x (2t -5 jt +2 = x 2x + 5 i x + + 2 i I x 人 x JL 2 _ W 1 一 " 2 一 2 一 一=x2x+ 5 ix x + +2 i=(2x 5x+2(x +2x+1) < x J < x J=(x 1)2(2x -1)(x -2)(2) x4 -4x3 x2 4x 1解：原式=x2(x2 -4x +1 + 4+ 2-) = x2x

14、2 +口 j _ 4 x _1 +1 x，x2 一 xj11c设x- = y,贝Ux +2 = y +2xx .原式=x2(y2 -4y 3) = x2(y -1)(y -3)2112.2=x (x -1)(x -3) = x 'xd x -'3x'1x x练习 14、(1) 6x4 +7x3-36x2 -7x+6(2) x4 + 2x3 + x2+1 + 2(x + x2)例15、分解因式(1) x3 -3x2 +4解法1拆项。原式=x3 1 -3x2 - 32=(x 1)(x -x 1) -3(x 1)(x -1)2=(x 1)(x 。x 1 -3x 3)2=(x

15、1)(x -4x 4)2=(x 1)(x -2)六、添项、拆项、配方法。解法2添项。原式=x3 -3x2 -4x 4x 42 一=x(x - 3x - 4) (4x 4)2=x(x 1)(x -4) 4(x 1) = (x 1)(x - 4x 4)2=(x 1)( x-2)=(x3 -1)(x6 x3 1 x3 1 1) =(x -1)(x2 x 1)(x6 2x3 - 3)练习15、分解因式(1) x3 -9x 84224(2) (x +1)十(x -1)十(x1) x4 -7x2 1,、422(4) x + x +2ax +1 - a(5) x4y4(x y)4(6) 2a2b2 2a2c

16、2 2b2c2 -a4 - b4 -c4七、待定系数法例 16、分解因式 x2 xy -6y2 x 13y -6分析：原式的前3项x2 +xy-6y2可以分为(x+3y)(x-2y),则原多项式必定可分为 (x 3y m)(x -2y n)解：设 x2 xy -6y2 x 13y -6 = (x 3y m)(x -2y n)22,/ (x 3y m)(x -2y n) = x xy -6y (m n)x (3n - 2m)y -mnxy -6y2 x 13y -6 = x2-2/、/c c 、xy - 6y (m n)x (3n -2m)y - mn对比左右两边相同项的系数可得m n = 14

17、 3n 2m = 13 ,mn = -6m = -2 .原式=(x 3y-2)(x-2y 3)例17、(1)当m为何值时，多项式x2 -y2+mx+5y-6能分解因式，并分解此多项式(2)如果x3+ax2+bx+8有两个因式为乂+1和乂+2,求a + b的值。(1)分析：前两项可以分解为(x + y)(x-y),故此多项式分解的形式必为(x y a)(x - y b)解：设 x2 y2 mx 5y -6 = (x y a)(x -y b)贝U x2 - y2 mx 5y -6 = x2 - y2 (a b)x (b - a)y ab比较对应的系数可得:'a + b = m.b-a=5

18、,解得:ab = -6a = -2a = 24 b = 3 或b = -3m = 1 m=-1.当m = ±1时，原多项式可以分解；当 m=1 时，原式=(x+y _2)(x_ y+3)；当 m = 1 时，原式=(x + y+2)(x _ y 一3)(2)分析：x3+ax2 +bx+8是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个 因式必为形如x + c的一次二项式。解：设x3ax2bx 8 = (x1)(x 2)(x c)贝x3ax2bx 8 = x3(3 c)x2 (2 3c)x- 2ca =3 ca = 7.b=2+3c 解得出=14,2c=8c=4a b = 21练

19、习 17、 (1) x2 -3xy _10y2 + x+9y2(2) x2 + 3xy + 2y2 + 5x + 7y + 6(3)已知：x2 2xy3y2+6x14y + p能分解成两个一次因式之积，求常数p并 且分解因式。(4) k为何值时，x22xy+ky2 +3x5y+2能分解成两个一次因式的乘积，并 分解此多项式。第二部分：习题大全经典一：一、填空题1.把一个多项式化成几个整式的的形式，叫做把这个多项式分解因式。2分解因式： m3-4m=.3.分解因式： x 2-4y 2=.4、分解因式：-x2 -4x -4 =。5.将x“-yn分解因式的结果为(x 2+y2)(x+y)(x-y),

20、则n的值为.22c 2 c 26、x-y =5,xy = 6,则x y-xy =, 2x +2y =。二、选择题3 222 3 7、多项式15m n +5m n-20m n的公因式是（）2 2-22A 5mn b 、5m n c、5m n d、5mn8、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是 （）A、2-a 3 a -3 =a -9 b22a -b = a b a-b2a -4a -5 = a a -4 -5m2 -2m-3mjm-2-10 .下列多项式能分解因式的是()(A)x2-y (B)x2+1(C)x2+y+y2 (D)x2-4x+411 .把（xy） 2 （yx）分解因式为（）A.

21、(x-y)(x-y-1)B.(y-x)(x-y-1)C.(y-x)(y-x-1)D.(y-x)(y x+1)12 .下列各个分解因式中正确的是()A. 10ab2c + 6ac2+2ac=2ac (5b2+3c)B. (a- b) 2 (b a) 2= (a-b) 2 (a-b+1)C. x (b+c a) y (a b c) a+bc= (b+c a) (x + y1)D. (a-2b) (3a+ b) -5 (2ba) 2= (a 2b) (11b 2a)13 .若k-12xy+9x2是一个完全平方式，那么k应为（A.2B.4 C.2y 2 D.4y 2三、把下列各式分解因式：24 214

22、、nx-ny15、4m -9n16 m m -n n n -m17、a3 -2a2b ab222_ 2/cx2 4 -16x218、19、2 一，、2、9(m + n) -16(m-n).解答题20、如图，在一块边长a=6.67cm的正方形纸片中，挖去一个边长b =3.33cm的正方形求纸片剩余部分的面积。I(5)个等式。22、观察下列等式的规律，并根据这种规律写出第，八 2(1) x -1 = x 1 x -1_42 x -1 = x 1 )|X 1 x -1 x -1 = x 1 x 1 x 1 x -1(4) x16 -1 = x81 x4 1 x2 1 ii x 1 x -1经典二:因

23、式分解小结知识总结归纳因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算,在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，1 .因式分解的对象是多项式；2 .因式分解的结果一定是整式乘积的形式；3 .分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；4 .公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5 .结果如有相同因式，应写成哥的形式；6 .题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；7 .因式分解的一般步骤是：(1)通常采用一 “提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提， 其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤

24、都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；(2)若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项(添项) 等方法；下面我们一起来回顾本章所学的内容。1.通过基本思路达到分解多项式的目的例 1.分解因式 x5 -x4 +x3 -x2 +x -1分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把X5 x4 +X3和x2 +X1分 别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把X5.X4, X3 -X2, X1分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。解一：原式=(x5 _X4 X3) -(X

25、2 -X 1)322=X (X -X1) -(X -X 1)32二(X 1)(x -X 1)22=(x -1)(x -x 1)(xx 1)解二：原式=(x5 -X4) (x3 -X2) (x -1)42=x (x -1) x (x -1) (x -1)=(x -1)(x4 x - 1)4_ 22二(x T)( x2x 1) -x 22=(x -1)(X -x 1)( X X 1)2.通过变形达到分解的目的例1.分解因式X3 +3X24解一：将3x2拆成2x2 +x2 ,则有原式=x3 , 2x2 (x2 -4)=x2(x 2) (x 2)(x -2)二(x 2)(x2 x -2)二(x -1)

26、(x 2)2解二：将常数44拆成-1-3,则有3.在证明题中的应用原式=x3 -1 (3x2 -3)=(x -1)(x2 x 1) (x -1)(3x 3)2=(x - 1)(x 4x 4)=(x -1)(x 2)2例：求证：多项式(x2 -4)(x2 -10x+21) +100的值一定是非负数分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。本题要证明 这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。证明：(x2 -4)(x2 -10X 21) 100二(x 2)(x -2)(x -3)(x -7)100=(x 2)(x -7)(x -2)(x -3)10022二(x 5x -14)(x

27、 5x 6) 100设 y =x2 5x ,贝(J原式 =(y _14)(y 6) 100 =y2 -8y 16 =(y 4)2:无论y取何值都有(y 4)2至0二(x2 4)(x2 -10x +21)+100的值一定是非负数4.因式分解中的转化思想例：分解因式：(a+2b+c)3 (a+b)3 (b+c)3分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b, b+c与a+2b+c的关系, 努力寻找一种代换的方法。解：设 a+b=A, b+c=B, a+2b+c=A+B二原式=(A +B)3 -A3 -B3=A3 3A2B - 3AB2 - B3 -A3 -B3 22= 3A2B 3AB 2

28、= 3AB(A B)=3(a b)(b c)(a 2 b c)说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。中考点拨例 1.在 MBC 中，三边 a,b,c 满足 a2 16b2 c2+6ab + 10bc = 0求证：a - c =2b证明： a2 -16b2 -c2 6ab 10bc = 02 一22一 2.a 6ab 9b -c 10bc -25b =0即(a 3b)2 -(c -5b)2 =0(a 8b -c)(a -2b c) =0a b ca 8b c,即 a 8b -c 0于是有a -2b , c =0即 a , c = 2b说明：此题是代数、几何的综合题，难度

29、不大，学生应掌握这类题不能丢分。例2.已知：x+=2,则x3 +4=xx3 Q 11O 1斛：x =(x )(x -1)xxx11 2=(x -)(x -) -2-1 xx=2 1二2说明：利用x2 +3=(x+1)2 2等式化繁为易。 x x题型展示1 .若x为任意整数，求证：(7 _x)(3_x)(4 _x2)的值不大于100。解：.(7x)(3x)(4_x2)-100- _(x -7)(x 2)(x -3)(x -2) -100- _(x2 -5x -14)(x2 -5x 6) -100- -(x2 -5x) -8(x2 -5x) 162 2_-_(x2 -5x -4)2 .0 _2 一

30、.(7 -x)(3 -x)(4 -x2) _100说明：代数证明问题在初二是较为困难的问题。一个多项式的值不大于100,即要求它们的差小于零，把它们的差用因式分解等方法包等变形成完全平方是一种常用的 方法。2. 将a2 +(a+1)2 +(a2 +a)2分解因式，并用分解结果计算62 +72 +422。解：a2 (a 1)2 (a2 a)2二a2 a2 2a 1 (a2 a)2 222= 2(a a) 1 (a a)= (a2 a 1)262 72 422 =(36 6 1)2 =432 =1849说明：利用因式分解简化有理数的计算。实战模拟1 .分解因式：(1) 3x5 -10x4 -8x3 -3x2 10x 8(2) (a2 3a -3)(a2 3a 1) -53.矩形的周长是28cmi两边x,y使x3 +x2y _xy2 _y3 =0 ,求矩形的面积。4 .求证：n3+5n是6的倍数。(其中n为整数)5 . 已知：a、b、c 是非零实数，且 a2+b2+c2=i, a(1+)+b(1+1)+c(1+1)= 与，求 a+b+c b c c a a b6 .已知：a、b、c为三角形的三边，比较a2+b2c2和4