吉林省名校2019年高考一模数学文科试题解析卷

1、吉林省名校2019年高考一模数学文科试题解析卷一、选择题。1 .设复数z=(5+i)(1i) (i为虚数单位)，则z的虚部是()A. 4iB. 4C. -4iD. -4【答案】D【分析】由复数z=(5+i ；(1-i )=64i,即可得到复数的虚部，得到答案。【详解】由题意，复数z = (5 + i )(1 i )= 5 - 5i+ii2 =64i ,所以复数z的虚部为_4,故选D。【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的概念，其中解答中熟记复数的乘法运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。2 .已知集合 A = x|y = J2x2, xWR, B=x|1MxM3, xZ

2、集合 AflB中元素的个数为()A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】B【分析】根据集合的交集的运算，求得 A - B - -1,0,1),即可得到答案。【详解】由题意，可得集合 A=x|J2MxwJ2 , B=1,0,1,2,3,则 ACB = 1,0,1,故选B。【点睛】本题主要考查了集合的运算，以及构成集合的元素的个数的判定，其中解答中熟记集合的交集的 运算，得到集合 APlB是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。2 2x y3 .已知曲线 可2=1 (a>0, b>0)的一条渐近线经过点 a b(72, J6),则该双曲线的离心率为()A. 2B. 2C.

3、3【解析】【分析】将点（J2, J6）代入双曲线的渐近线方程，由此求得 b的值，进而求得双曲线的离心率.a【详解】双曲线的一条渐近线方程为 y =P x ,将点（J2, 76 Y弋入双曲线的渐近线方程得 捉=鼠近, aab=>/3,故 e = 1/b） =sjV+3 =2，故选 A. a. a【点睛】 本小题主要考查双曲线的渐近线方程，考查双曲线的离心率的求法，属于基础题4.某机构对青年观众是否喜欢跨年晚会进行了调查，人数如表所示:/、喜欢喜欢男性青年观众3010女性青年观众3050现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了6

4、人，则n =（）A. 12B. 16C. 24D. 32【答案】C【解析】【分析】先求得总人数，然后根据总人数中“不喜欢的男性青年观众”所占的比例列方程，解方程求得抽取的人数【详解】依题意，总、人数为30+30+10+50 = 120,其中“不喜欢的男性青年观众”有 30人，故306 口 ,，口=-,解得n = 24.所以本小题选 C.120 n【点睛】本小题主要考查分层抽样的有关计算，考查图表分析能力，属于基础题 5 .若一个圆锥轴截面是面积为 1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（）A. ,2-：B. 2 2C. 2-D. 4二【答案】A【解析】【分析】由轴截面是面积为1的等腰直角三角形

5、，得到底面半径及母线长即可得到该圆锥的侧面积.【详解】设圆锥的底面半径为r,高为h,母线长为1,由题可知，r=h= 1 ,则 1 x(V2r ) =1 , , r =1, 1 =、, 2侧面积为71rl = J2n故选：A【点睛】本题考查圆锥的计算；得到圆锥的底面半径是解决本题的突破点；注意圆锥的侧面积 =泪的应用.x 2y-4<0,6 .设x, y满足约束条件<xy1E0,，则z= 2x + y的最大值是()2x y 1 _ 0,A. 1B. 4C. 6D. 7【答案】D【解析】【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z = -2x+y表示直线在y轴上的截距，只需

6、求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可.【详解】由条件画出可行域如图：z = -2x+y表示直线在y轴上的截距，当l ： y=2x + z平移到过点 A时，z最大,x 2y =4又由 y2x y 1=0,解得A -2,3此时,zmax = 7 .故选D.【点睛】 本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题.sin x, x -47.已知函数f(x)=4 ,则下列结论正确的是()|兀cosx, x 一4A. f(x)是周期函数jiC. f(x)的图象关于直线 x=一对称4【答案】C【解析】B. f(x)奇函数一、45 二D. f(x)在x=处取得最大值2作出函数f x的图象

7、，结合函数的周期性，奇偶性、对称性以及最值的性质，分别进行判断，即可得到答案。【详解】由题意，作出函数 f (x)的图象，如图所示,则由图象可知函数 f (x )不是周期函数，所以 A不正确;同时图象不关于原点对称，所以不是奇函数，所以B不正确;2右 x>0,贝 U f(一十 x)= cos(+ x)=(cos x -sin x),442EL二 (cosx-sin x),此时 f ( + x)24fjx),2右 xE0,则 f (+x) =sin(+x)=(cosx+sinx),442f(4-x)=cos(4.x) =(cosx+sin x),此时 f (一 + x) = f (一 x)

8、, 44综上恒有f (一+x) = f(x),即图象关于x =一对称，所以C是正确的； 4445 二5 二5 二由当x=时，函数f x = f()=cos=0不是函数的最大值，所以 D错误,222故选Co【点睛】本题主要考查了与三角函数有关的命题的真假判定问题，其中解答中涉及到三角函数的周期性、 奇偶性、对称性以及函数的最值问题，其中正确作出函数的图象是解答本题的关键，着重考查了数形结合 思想，以及推理与运算能力，属于中档试题。8.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B =A = l#=O否丁 输HlA. 4B. 13C. 40D. 41【答案】C【解析】【分析】运行程序，进行计算，当

9、A >5时退出循环，输出 B的值.【详解】B=1, A=2; B = 4, A=3; B=13, A=4; B=40, a = 5.因为 54,所以输出8 =40.【点睛】本小题主要考查程序框图，考查计算程序框图输出的结果9 .在 AABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a，b, c，若 b = 1, a(2sin B - J3 cosc) = J3cos A ,点D是边BC的中点，且AD =晅，则MBC的面积为()C.5或2百D.基或V328【解析】2 -1 T T -, 21 F 2【详解】 由题可知 2sinAsinB V3sinAcosC =5/3sinCcosA , 2

10、sinAsinB = V3sinB ,则 SinA =A = 一或3.因为 AD =一(AB +AC ),所以 AD = (AB + AC ),即 3242 1 2 2n一13 后AD = b +c +2bccosA ,当 A=时，c = 3,所以 AABC的面积为一bcsinA = " ;当 43242 二1一A =时，c=4,所以AABC的面积为bcsinA=J3. 32故答案为：D.【点睛】 这个题考查了三角函数两角和差公式的逆用，以及向量的模长的应用，三角函数的面积公式的应 用，题型比较综合.10.已知抛物线C : y2 =6x,直线l过点P（2,2）,且与抛物线 C交于M

11、, N两点，若线段 MN的中点恰好为点 P ,则直线l的斜率为（）A. 1B. 5C. 3D.-3424【答案】C【解析】【分析】由题意可知设M （xi, yi） , N（X2, y2）,代入抛物线方程作差求得：（必+丫2 Xyi _丫2 ）=6（Xi X2 ）,由中点坐标公式可知：Xi+X2=4, yi+y2 = 4,代入求得直线MN勺斜率.2V； = 6Xi 1y2 =6X2 2【详解】设 M（X1,y,）, N（X2,y2 ）代入 C ： y2=6X,得,(1)-(2)得(y1 +y2 Xw )=6(k -X2 ).因为线段MN的中点恰好为点yy2 = 4从而4（y1 一y2 ）=6（x

12、1 一X2 ）,即l的斜率为X - y2 _3XI -x22故选C.【点睛】本题考查中点弦所在直线的斜率求法，考查“点差法”的应用，中点坐标公式的应用，考查运算 能力，属于中档题.11.函数f (x) =xsin2x+cosx的大致图象有可能是()【答案】A根据函数的奇偶性排除 D选项.根据f (x ) = cosx(2xsinx+1 )的零点个数，对选项进行排除，由此得出正确选项【详解】 函数f(x )是偶函数，排除D；由f (x ) = 2xsinxcosx+cosx = cosx(2xsinx + 1),知当二冗 3 九 人八.，1.1x = (0,2n 附，cosx = 0有两个解 一

13、，一，令 2xsinx+1 = 0,sinx =,而 y =sinx与 y =在2 22x2x(0,2几疳两个不同的交点(如下图所示)，故函数在(0,2口上有4个零点，故选 A.12.已知x >0,函数f(x)=x 22（e 一“ +（e +a）的最小值为6,则a =x . xe -eA. -2【答案】B【解析】【分析】B. - 1 或7C. 1 或-7D. 2将f （x枇简成ex _eY 2a22,4,广，/ +§z2-2a ,利用基本不等式求得最小值，即可得到a.ex -e【详解】f x =2_2x-2xx-x2x-x. x-x2e e 12a e -e 厂2a e -e

14、-2a e -e 2a 2x-xe -e-x-e=ef 三一 2ae -e>2V2a2+2-2a=6，(当且仅当 ex -e-=J2a2十2时等号成立），即 a2 -6a -7 =0,解得 a =T或7.故选B.【点睛】 本题考查了函数的最值，考查了基本不等式的应用，将函数进行合理变形是关键，属于中档题、填空题。.一 ,. M t.，一 13 .已知向重a, b不共线，m =2a -3b，n = 3a +kb，如果m n ,则k =【解析】【分析】由向量mn,所以2a3，=九(3甘+诺),得到3九=2且？* = 3,即可求解，得到答案。【详解】由题意，向量mn,所以2a-3_=九(3目+

15、岛,9则3九=2且力-k = 3,斛佝k =2k, 【点睛】本题主要考查了向量的共线条件的应用，其中解答中熟记向量共线条件，列出关于 的关系式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。x14 .已知函数f(x)满足f =x -3x ,则曲线y=f(x)在点(1, f (1)处的切线万程为 2【答案】18x-y-16=0【解析】【分析】先求得f(x)及f(1)，再求导求得f '(1 )即为切线的斜率，最后利用点斜式写出曲线在点(1, f (1 )处的切线方程.x_3.3【详斛】令t =一，则 x =2t ,所以 f (t )=8t 6t，即 f (x ) = 8x 6x.2且f

16、 (1尸2 ,_3又 f'(x) = 24x -6,f ' 1 =18.所以切线方程为y2 = 18(x1),即 18x -y -16 =0.故答案为18x -y -16 =0.【点睛】 本题考查了函数解析式的求法，考查了导数的运算法则和导数几何意义，属于中档题.15.已知 sin10 o+mcos100=-2cos40 °,贝U m=.【答案】一 3【解析】【分析】利用两角和差余弦公式展开，利用对应关系求出 m的值即可.【详解】由 sin10' +mcos10 = -2cos403 得：【答案】20二【解析】 【分析】E,由几何体的直观图为三棱锥 A-BCD

17、 ,其中 MBD的外接圆的圆心为 F , ABCD的外接圆的圆心为A BCD的球心为O,球的半径为 R,且OE，平面BCD , OF，平面ABD ,在 MBD和BCD 中，分别求得FA=2和OF =1,根据球的性质，求得求得半径，即可求解外接球的表面积。【详解】由三视图可推知，几何体的直观图为三棱锥A-BCD ,如图所示，其中AABD的外接圆的圆心为 F , ABCD的外接圆的圆心为 E, ABCD的球心为O,球的半径为 R ,且OE _L平面BCD , OF上平面ABD .因为 MBD是顶角为120°的等腰三角形，BD所以 MBD的外接圆的直径为2r =一BD一=4，即r = 2,

18、即FA = 2 ,sin. BAD又由ABCD为边长为2 J3的等边三角形，所以 EH =1,即OF =1,根据球的性质，可得 R = JFA2+OF2 = J2F =疾，2所以外接球的表面积为 4二、.5)： =20二.0 C【点睛】本题主要考查了球的表面积的计算，以及三棱锥外接球的性质的应用，其中解答中根据几何体的 结构特征和球的性质求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及运算与求解能力，属于 中档试题。三、解答题。17.已知数列 Qn为等差数列，a7-a2 =10 ,且a1，a6, a21依次成等比数列.(1)求数列Ln的通项公式；12(2)设bn =,数列bn的前n项和为

19、Sn ,若Sn =，求n的值.anan 125【答案】(1) an =2n 3 (2) n =10【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为 d,运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得首项和公差，即 可得到所求通项公式；1 11（2）求得bn = 1一），运用裂项相消求和可得 S,解方程可得n.2 2n 3 2n 5【详解】解：（1）设数列an为公差为d的等差数列，a7-a2=10,即 5d = 10,即 d = 2,a1, a6, a21依次成等比数列,可得a6?= a1a21,即（氏+10） 2 =%（为+40）,解得a1 = 5,则an=5+2 （n - 1） = 2n+3；

20、_ .11111（2） bn =-= 一 （-）,anan 12n 3 2n 52 2n 3 2n 5、，11111 11即有前 n项和为 Sn = 1 （1 -1 +- -1 +|H+-一二）25 7 7 9 2n 3 2n 5111n2 5 2n 55 2n 5-2.由 Sn=,可得 5n=4n+10,25解得n= 10.【点睛】 本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，考查数列的裂项相消求和，以及方程思想 和运算能力，属于基础题.y （单位：人）与时间ti18.随着科技的发展，网购已经逐渐融入了人们的生活.在家里面不用出门就可以买到自己想要的东西，在 网上付款即可，两三天就会送到

21、自己的家门口，如果近的话当天买当天就能送到，或者第二天就能送到，所以网购是非常方便的购物方式.某公司组织统计了近五年来该公司网购的人数（单位：年）的数据，列表如下:ti12345y2427416479(1)依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y与t的关系，请计算相关系数 r并加以说明(计算结果精确到0.01) .(若|r卜0.75,则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)x tiyi -nty附：相关系数公式vti-t 2 vyi-y2if5695 75.47(2)建立y关于回归方程,并预测第六年该公司的网购人数(计算结果精确到整数).ti -tyi -y q ty-nty【答案】(

22、1)见解析;(1)由已知数据求得的关系.(2)求出(1)由题知t =3,“ti2一 nf2i 1(2)网购人数约为r值，由接近1可得yb?与i?的值，得到线852 ,1以用线性回归模型拟合y与tn一“ i J -t yin 2iJi -t二47目关程度很高，从归方程，取=6求得y值v ti-ti=1x nJtiYi - nty10 , JZ (yi-y)2 =/2278,i=1：yi -y)2inq-小:0.97 0.75.147147147.一 = 1胃227802 < 5695150.94故y与t的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合.n, ，口 .?-nty (2)由(1)得 b

23、?=-ZT=14.7，“甘_讨3=47-14.7 3 =2.9.所以y与t的回归方程为y=i4.7t+2.9.将t =6带入回归方程，得 y =91.191,所以预测第6年该公司的网购人数约为91人.【点睛】本题考查线性回归方程，考查学生读取图表的能力及运算求解能力，是中档题.19.在四柱ABCD AB1C1D1中，底面ABCD为平行四边形， AA _L平面ABCD . AB = 2AD = 4 ,冗.DAB 二一3(1)证明：平面D1BC _L平面D1BD ；(2)若直线D】B与底面ABCD所成角为M , N , Q分别为BD, CD , DD的中点，求三棱锥 6C -MNQ的体积.【答案】

24、(1)见证明；(2) V =6C -MINQ6【解析】【分析】(1)推导出DDL平面ABCD DM BC ADL BD由AD/ BC得BC± BD从而BCL平面DBD由此能证明平面DBC1平面DBD(2)由DiD _L平面ABCD得/DiBD可以计算出DD ,再利用锥体体积公式求得6VQ _CMN , 根据等体积法即为VC JMNQ .【详解】(1) .DiD _L平面ABCD , BCu平面ABCD,D1D _ BC .一 _ H又 AB=4, AD =2, /DAB=一,3BD = i 22 42 一2 2 4 cos =2.3 ,AD2+BD2 =AB2， AD -L BD .

25、又 AD/BC ,BC _ BD .又. D1DCBD=D, BDu 平面 D1BD, D1DU 平面 D1BD,BC _L平面 D1BD ,而 BC 仁平面 D1BC ,平面 D1BC _L 平面 D1BD ；(2) D1D _L 平面 ABCD ,/D1BD即为直线D1B与底面ABCD所成的角，即/D1BD=一,6而 BD =2向， DD1 =2 .又 VC JMNQ_ 1-VQ _CMN =二 VQ _BDC )4VC JMNQ=-1 1 2,3 2 1=34 3 26【点睛】 本题考查面面垂直的证明，考查线面角的定义及求法，考查了三棱锥体积的常用求法，涉及空间 中线线、线面、面面间的位

26、置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.2220.顺次连接椭圆C： +4=1但：0)的四个顶点恰好构成了一个边长为J3且面积为2J2a b的棱形.(1)求椭圆C勺方程；(2)过点Q(0, 2)的直线l与椭圆C交于A, B两点，%人koB=1 ,其中O为坐标原点，求|AB|.【答案】(1)£+y2=1 ab =41211【解析】【分析】(1)利用已知建立a, b的方程，解出a, b即可.(2)先考虑斜率不存在时，则koA与koB不存在，可设直线为y =kx-2 ,与椭圆联立，利用韦达定理结合条件解得k,再利用弦长公式计算AB即可.【详解】(1)由题可知2ab=2无，a2+b2=3

27、,解得 a=V2，b=2所以椭圆C的方程为L + y2 =1 . 2(2)设 A(X1,y1)，BN, V2),当直线l斜率不存在时，明显不符合题意，故设l的方程为y =kx-2 ,2代入方程 x- + y2=i,整理得(1+2k2 )x28kx+6=0. 222_33由 =64k 24 2k +1 >0,解得 k2> 28k6所以 为, x2 =2 , x1x2 =2 .12k12k,2y1y2 k xx2 -2k xi x24 koA koB = - 1 ,x1 x2x1 x2解得k2 =5 .AB=1 k2x1一x2入二巨11【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位

28、置关系，设而不求，利用韦达定理是解决此类问 题的常见方法，考查运算能力，属于中档题. , 、，12,、121.已知函数 f(x)=lnx + -x (m+1)x+m + 22(1)设x=2是函数f(x)的极值点，求 m的值，并求f(x)gm调区间；若对任意的xw(1p, f(x)>0恒成立，求m11【答案】(1) f(x)在(0,1)和(2,收)上单调递增，在(1,2)上单调递减.(2) m£1 221.(1)由题意，求得函数的导致f (x)=x+m1,根据x=2是函数f(x)的极值点，求得xm=3,利用导数符号，即可求解函数的单调区间；2所以f (x)在(2,上单调递增，在1

29、.-,2上单调递减.21. . ,一 由函数的导致f (x) = x+m1,当m<1时，得到f(x )在(1,收)上单调递增，又由 xf (x )> f (1 )=0,即可证明，当 m >1时，f (x)先减后增，不符合题意，即可得到答案。1 21【详斛】(1)由题忌，函数 f(x)=lnx+xm+1 )x+ m+(x>0),1则 f (x )=x + -m -1, x13因为x=2是函数f x的极值点，所以f'（2）=2+m1=0,故m = 3, 22即 f'(x)=x+l5,令-5x+2 解得 0<x<1或 x>2. x 2x 2

30、2x2-2令 f，(x)=2x 5x 2 <0,解得-<x<2, 2x2所以f (x)在10, ,2（2,上单调递增，在1-,2 |上单调递减.一 一.1(2)由 f (x)=x+m1, x当m M1时，f x )>0 ,则f (x )在(1,")上单调递增,1 21又 f (1)=0，所以 lnx+x (m+1)x + m+ a0恒成立； 22.1.当m>1时，易知f (x )=x+m1在(1,依)上单调递增, x故存在x0 w(1, y'使得f '(沏)=0 ,所以f（X ）在（1,% ）上单调递减，在（x。，"）上单调递增

31、, 又f （1） = 0,则f （凡）0,这与f （x ）0恒成立矛盾.综上，m m 1.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、 逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应 的不等关系式，求解参数的取值范围；有时也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问 题._ x = a(1 Sint)22.在直角坐标系xOy中，曲线C1 ：4(a>0, t为参数).在以坐标原点为极点，xy =acoSt轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2 ： 0 = ( P R).6(1)说明Ci是哪一种曲线，并将 G的方程化为极坐标方程；(2)若直线C3的方程为y = J3x，设C2与Ci的交点为O, M , C3与Ci的交点为O, N ,若AOMN的面积为2 J3 ,求a的值.【答案】(1) Ci是以(a,0)为圆心，a为半径的圆.Ci的极坐标方程 P =2acosH .(2) a = 2【解析】【分析】(i)消去参数