考点41 用综合法求角与距离（解析版）.docx

1、考点41用综合法求角与距离基础知识回顾直线与直线的位置关系（1）位置关系的分类J平行直线共面直线1相交直线、异面直线：不同在任何一个平面内,没有公共点（2）异面直线所成的角 定义：设。，次是两条异面直线，经过空间任一点。作直线/shf旺,把/与盼所成的锐角（或直角）叫做异面直线。与/，所成的角（或夹角）. 范围：（。,2_-等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.2. 直线和平面所成的角定义平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是Q2的角.1

2、1范围：|_0,2_.3. 二面角的有关概念二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角: 二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角. 范围：0,71.1、己知长方体ABCD-AxBxCxDxAAx=AB=y3,AD=,则异面直线&C和GD所成角的余弦值为（）yf66A.4B.3也也C.6D.6【答案】：A.AC=Ji，:.MQ=,在AMQP中，MP=MQ2+PQ2=匝,在APMV中，由余弦定理得22半，又异面直线所成角的范围是（0,：,MN2+NP2-PM2(季I+(#沪一(斗尸2

3、,MN,NP2,MN,NPcosZMNP=一匕匕匕.如与g所成角的余弦值为半2、直三棱柱ABC-AiBiCi中，ZBCA=90°,M,N分别是AiBi,AiG的中点，BC=CA=CCi,则BM与AN所成的角的余弦值为（）A.志B.§C.近QD.豆105102【答案】C【解析】如图所示，取8C的中点P,连结NP、AP,'：M,N分别是*占，AC的中点，四边形海尸为平行四边形，:.BMHPN,所求角的余弦值等于匕W的余弦值，不妨令BC=CA=CC=2,则AN=AP=/5,NP=MB=V6，.cosZANP=ll2+ll2-lAPI2(a/5)2+(V6)2-(V5)2应

4、-2x|应V|泌|设点P在线段CC.±,直线OP与平设点P在线段CC.±,直线OP与平3、如图，在正方体ABCD-ABCXD中，点0为线段的中点.面所成的角为a,贝Isin«的取值范围是A.C.*D.【答案】B77【解析】直线OP与平面ABD所成的角为a的取值范围是ZAOAt由于必遂=季,血4=2.普季=孕季,峭=，所以血的取值范围是【解析】：如图，连接出。，AG,由题易知BC/AD,所以ZCiDAi是异面直线&C与Ci。所成的角,。1。2+出£)2又AA=AB=y3yAD=,所以AD=2,DCi=派,AiCi=2,由余弦定理，得cosZCiDA

5、i=2XCiDXAiDy6=4，故选A.2、棱长都为2的直平行六面体ABCD-ABxCxDx中，匕&10=60°,则对角线AC与侧面DCCyDx所成角的正弦值为()1A.2【答案】：C【解析】：过点Ai作直线AiMXDiCi,交CiQi的延长线于点连接CM,可得AiM±平面DDiCiC,则AMV3AMV3ZAiCM就是直线AiC与平面DDxCxC所成的角.由所有棱长均为2及ZAiZ)iCi=120°,得AiM=Ai£>isin60°=3，又AiC=/Ai3+CC?=V(20)2+22=4,所以sinNAiCM=AC=4，故选C.3

6、、一个正四面体的侧面展开图如图所示，点G为BF的中点，则在该正四面体中，直线EG与直线所成角的余弦值为【答案】：6【解析】：该正四面体如图所示，取A。的中点H,连接GH,EH,则GH/AB,所以ZHGE为直线EG与直线所成的角.设该正四面体的棱长为2,则HE=EG=吏,GH=1.在HEG中，由余弦定理，得cosHb+EG2*也ZHGE=2HGEG=6.4、已知直三棱柱ABC-ABC中，ZABC=120°,AB=2,BC=CCi=l,则异面直线A3与B0所成角的余弦值为VJo【答案】：5【解析】：如图所示,设N,F分别为A8,B曷和的中点，则4B1,的夹角为切V和NP的夹角或其补角,1

7、通MN=5AB=2,1也NP=2BC=2,作的中点Q,则PQM为直角三角形，.FQ=1,MQ=2AC.aabc中，由余弦定理得AC2=AB2-BC2-2ABBCcosZABC=4+l2X2XlXyn2X2X2在MQP中，MP=W2+fq2=2,在中，由余弦定理得MM+NPZPM2cosZMNP=2MNNP又异面直线所成角的范围是0,2，VTb.ABi与BCi所成角的余弦值为5题型一、运用综合法研究异面直线所成角例1、（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）在正方体ABCD-AQD,中，P为Bq的中点，则直线器与AD所成的角为（）7171A.一2【答案】【解析】【解析】如图，连接BCi，PCi，

8、PB,因为人。国BG，所以ZPBC】或其补角为直线朋与所成的角,则异面直线AE与CD所设正方体棱长为2,则,在RtABE中，因为8鸟_1_平面4且6；3,所以BB±PC.,又FC；_L片“，BBCBQ=0所以PC、1平面PBB,所以PC.1PB,设正方体棱长为2,则BC】=2,PC=、DB=g,./PC、1兀sin/PBG=*=s，所以ZPBC=-.少。z6故选：D变式K（2018-新课标II,文9）在正方体ABCD-AOCq中，E为棱CQ的中点，成角的正切值为（）2A.笠B虫22【答案】C【解析】连接BE,因为AB/CD,所以ZEAB是异面直线准与CD所成角,AB=BC=2CE=2

9、,在RtABCE中，BE=BC2+CE2=a/22+12=5tan/EAB=JL.异面直线AE与CD所成角的正切值为亚，故选C.AB22方法总结：用平移法求异面直线所成的角的三个步骤(1) 一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；二证：证明作出的角是异面直线所成的角；(2) 三求：解三角形，求出所作的角.考向二运用综合法研究线面角例2、2018年高考浙江卷】如图，己知多面体ABCAiBiCi,AiA,BiB,GC均垂直于平面ABC,ZABC=120AiA=,CiC=l,AB=BC=BiB=2.B(1) 证明：ABil.平面AiBiCi；(2) 求直线AG与平面ABBi所成的角的正弦值.【

10、解析】方法一：(1)由AB=ZAA=4,BB=ZAA_LAB,BB_LAB得AB】=叫=2也,所以成+购=瞒.故A8上由BC=2,BB=2,CC=1,BB、3BC,CCBC得B】C次,由AB=BC=ZZABC=120°得人。=2右，由CCX1AC，得AC=Ji5,所以A房+bc；=AC；,故ABB.q,(2)如图，过点q作CQJ_AB|,交直线4鸟于点d,连结人。.由AB.±平面得平面ABC1平面AB0,由CD_LAB得G。上平面ABB,所以ZQAD是AG与平面AB0所成的角.由§C=a/5,AB=2>flqC=>fi得cosZCA8=,sinZG48

11、=,所以cq=B故血4专=碧因此，直线屿与平面伽所成的角的正弦值是鲁变式1、如图，是。的直径，网垂直于。所在的平面，C是圆周上不同于A,B的一动点.(1)证明：P3C是直角三角形；若31=&8=2,且当直线FC与平面ABC所成角的正切值为y2时，求直线&B与平面PBC所成角的正弦值.c证明二.曲是。的直径，。是圆周上不同于3的一动点.:.BC.LAC,9：PA_L平面ABC,:.BCVPA,PAHAC=A,PA,ACU平面网C,:.BC1_平面B4C,ABC±PC,：4BPC是直角三角形.(2)解:如图，过A作AHPC于H,cVBC1平面B4C,:.BCLAH,%PC

12、CBC=C,PC,BCU平面PBC,:.AHA_平面PBC,:.ZABH是直线AB与平面PBC所成的角，VM±平面ABC,AZPCA即是PC与平面ABC所成的角，PAtanZPCA=AC=yf2,又M=2,.AC=S，B4AC2a/3.,在RtA/y4C中，AH=yJ3,2y3AH3也.,在RtAAB/7中，sinZABH=AB=2=3，返即直线而3与平面PBC所成角的正弦值为3备课笔记：求直线与平面所成的角的三个步骤一作：根据定义作出线面角；(1) 二证：证明作出的角是线面所成的角；三求：求出所作的角.考向三二面角例3如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，ZABC=60%PA=

13、AC=a,PB=PD=y2a9点E在PD上，且FE：ED=2:1.证明：平面ABCD；(1) 求以AC为棱，E4C与DAC为面的二面角的大小；证明：因为底面ABCD是菱形，ZABC=60°9所以AB=AD=AC=a,在中，由B42+AB2=2tz2=窿,矢PPAA.AB.同理B4_LA。，所以31上平面ABCD.(1) 解：如图1所示，作EG/PA交&D于G,由31_L平面ABCD,知EGJ_平面ABCD，作GH±AC于H,连接EH,则EHA.AC,则ZEHG为所求二面角的平面角，设为。又PE：ED=2:1,1 2则£*G=3SAG=3。，GH=AGsin

14、60°=EG也从而tan0=GH=3，所以。=30°.变式1、如图，ABC的外接圆。O的半径为CD±OO所在的平面，BE/CD,CO=4,BC=2,且BE=,tan=AEB=2炬.(1)求证：平面ADC±平面BCDE；(2)试问线段DE上是否存在点使得直线AM与平面ACD所成角的正弦值为7?若存在，确定点M的位置，若不存在，请说明理由.证明平面ABC,BE/CD,:.BEL平面ABC,:.BE±AB.VBE1,tan/AEB=2,:.AEy/21,从而AB=yAE2-BE2=2yl5.。的半径为寿，:.AB是直径，.AC_LBC,又CD

15、7;平面ABC.BCu平面ABC,；.CD_LBC,故BC±平面ACD.BCu平面BCDE,.平面AOCL平面BCDE.（2）解方法一假设点M存在，过点M作MNLCD于N,连接AN,作MFA.CB于F,连接AF.平面ADCl.平面BCDE,平面AOCC平面BCDE=DC,MNU平面BCDE,:.MNA_平面ACD,ZMAN为MA与平面ACD所成的角.3 3设MNx,计算易得，DN=0x,MF42X,故尸+必尸=寸4很+。尸+心尸16+计+42=7,MNsinZMAN=AM=16+x2+48解得x=3（舍去）,2故MN=CB,从而满足条件的点M存在，且DM=§DE.方法总结：求二面角方法一：利用定义作出二面角的平面角，转换为在三角形中来求.方法二：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角