第七章刚体的平面运动

1、本章内容本章内容7.1 7.1 刚体平面运动的描述刚体平面运动的描述7.2 7.2 平面图形上各点的速度平面图形上各点的速度7.3 7.3 平面图形上各点的加速度平面图形上各点的加速度 刚体的平面运动刚体的平面运动是工程机械中较常见的一种运动，是一是工程机械中较常见的一种运动，是一种较为复杂的运动。对它的研究是在研究刚体的平移和定轴种较为复杂的运动。对它的研究是在研究刚体的平移和定轴转动的基础上，通过运动合成和分解的方法，将其分解为上转动的基础上，通过运动合成和分解的方法，将其分解为上述两种基本运动。然后应用合成运动的理论，推导出平面运述两种基本运动。然后应用合成运动的理论，推导出平面运动刚体

2、上一点的速度和加速度的计算公式。动刚体上一点的速度和加速度的计算公式。 7.1 7.1 刚体平面运动的描述刚体平面运动的描述 刚体在运动过程中，其上任一点到某一固定平面的距离始刚体在运动过程中，其上任一点到某一固定平面的距离始终保持不变。也就是说，刚体上任一点都在与该固定平面平行终保持不变。也就是说，刚体上任一点都在与该固定平面平行的某一平面内运动。具有这种特点的运动称为的某一平面内运动。具有这种特点的运动称为刚体的平面运动刚体的平面运动。一平面运动的定义一平面运动的定义 刚体的平面运动刚体的平面运动可以看作为可以看作为平移与转动的合成，平移与转动的合成，也可看作也可看作为为绕不断运动的轴的转

3、动。绕不断运动的轴的转动。例如例如: : 曲柄连杆机构中连杆曲柄连杆机构中连杆AB的运的运动，动，A点作圆周运动，点作圆周运动，B点作直线运点作直线运动动，因此，因此，AB 杆的运动既不是平动杆的运动既不是平动也不是定轴转动，而是平面运动。也不是定轴转动，而是平面运动。 用一个平行于固定平面用一个平行于固定平面的平面的平面截割刚体，得平面图形截割刚体，得平面图形S S。当刚体运动时，。当刚体运动时，图形内任意一点始终在自身平面内运动。图形内任意一点始终在自身平面内运动。 于是，平面图形上各点的运动可以代表刚体内所有点的运动。于是，平面图形上各点的运动可以代表刚体内所有点的运动。因此，刚体的平面

4、运动可简化为平面图形在它自身平面内的运动。因此，刚体的平面运动可简化为平面图形在它自身平面内的运动。即即在研究平面运动时，不需考虑刚体的形状和尺寸，只需研究平在研究平面运动时，不需考虑刚体的形状和尺寸，只需研究平面图形的运动，确定平面图形上各点的速度和加速度。面图形的运动，确定平面图形上各点的速度和加速度。二平面运动的简化二平面运动的简化当刚体作平面运动时，当刚体作平面运动时，直线直线A1A2作平移作平移点点A可代表直线可代表直线A1A2的运动的运动直线直线B1B2作平移作平移点点B可代表直线可代表直线B1B2的运动的运动B1BB2为了确定代表平面运动刚体的平面图形的位置，只需确定为了确定代表

5、平面运动刚体的平面图形的位置，只需确定平面图形内任意一条线段的位置平面图形内任意一条线段的位置三平面运动方程三平面运动方程平面运动方程平面运动方程)(1otfx)(2otfy)(3tf对于每一瞬时对于每一瞬时t ，都可以求出对应的，都可以求出对应的 ， 图形图形S 在该瞬在该瞬时的位置也就确定了。时的位置也就确定了。,ooyx 任意线段任意线段 的位置可用的位置可用 点的坐标和点的坐标和 与与x 轴夹角表示。轴夹角表示。因此图形因此图形S 的位置决定于的位置决定于三个独立的参变量。所以三个独立的参变量。所以,ooyxMOMOO四四平面运动分解为平移和转动平面运动分解为平移和转动当图形当图形S上

6、上 角不变时，则刚体作平移。角不变时，则刚体作平移。当图形当图形S上上 点不动时，则刚体作定轴转动。点不动时，则刚体作定轴转动。O故故刚体平面运动刚体平面运动可以看成是可以看成是平平移移和转动的合成运动和转动的合成运动, ,即随同即随同 的平移和绕的平移和绕 点点的转动。的转动。OO例如例如车轮的运动车轮的运动 车轮的平面运动可以看车轮的平面运动可以看成是车轮随同车厢（车轴）成是车轮随同车厢（车轴）的平移和相对车厢的平移和相对车厢（车轴）（车轴）的转动的合成。的转动的合成。车轮对于定系的平面运动车轮对于定系的平面运动（绝对运动）（绝对运动）车厢（动系车厢（动系O x y ) 相对定系的平移相对

7、定系的平移（牵连运动）（牵连运动）车轮相对车厢（动系车轮相对车厢（动系O x y ）的转动）的转动（相对运动）（相对运动） 我们称动系上的原点我们称动系上的原点O为为基点基点。绕基点绕基点O的转动的转动车轮的平面运动车轮的平面运动 刚体的平面运动可以刚体的平面运动可以分解为随基点的平移和绕基分解为随基点的平移和绕基点的转动。点的转动。 结论：结论：随基点随基点 的平移的平移O例如例如: 平面图形平面图形在在 t 时间内从位置时间内从位置I运动到位置运动到位置II21以以A为基点为基点: 随基点随基点A平动到平动到AB后后, 绕基点转绕基点转 角到角到AB1以以B为基点为基点: 随基点随基点B平

8、动到平动到AB后后, 绕基点转绕基点转 角到角到AB221 因为：因为：AB AB AB ，所以：所以：, limlim20t10ttt; 21,ttdddd21 平面运动随基点平移的运动规律与基点的平面运动随基点平移的运动规律与基点的选择有关，而绕基点转动的规律与基点选取无关选择有关，而绕基点转动的规律与基点选取无关 ( (即在同一瞬间，图形绕任一基点转动的即在同一瞬间，图形绕任一基点转动的 , , 都都是相同的）是相同的） 。基点的选取是任意的基点的选取是任意的 ( (通常选取通常选取运动情况已知的点作为基点运动情况已知的点作为基点) ) 。结论：结论：曲柄连杆机构曲柄连杆机构AB杆作平面

9、运动杆作平面运动平面运动的分解平面运动的分解A作圆周运动，作圆周运动，B点作直线运点作直线运动，动， 若分别取两点为基点，若分别取两点为基点，则牵连运动规律不同，即平则牵连运动规律不同，即平移的速度、加速度不同，但移的速度、加速度不同，但相对运动规律相同。相对运动规律相同。 7. 2平面图形上各点的速度平面图形上各点的速度根据速度合成定理根据速度合成定理,reavvv则则M点速度为：点速度为：OMOMvvv一、一、 基点法基点法 则动点则动点M的运动可视为随同基点的运动可视为随同基点O点点的平移（牵连运动）的平移（牵连运动） 和绕基点和绕基点O点的圆周点的圆周运动（相对运动）的合成。运动（相对

10、运动）的合成。MOMOvOM方方向向的的大大小小： , 指向与指向与 转向一致转向一致 可取可取O为基点为基点, 将动系固结于将动系固结于O点点,动系作平移。动系作平移。已知：图形已知：图形S内一点内一点O的速度的速度 ，图形角速度图形角速度 ，求：求：OvMvvOvMOvM;Mv=va;Ov=ve ,OMv=vr结论：结论：平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。图形绕基点转动速度的矢量和。取点取点A为基点，则点为基点，则点B的速度为的速度为BABAvvv根据这个结论，平面图形内任意两根据这个结论，平面图形内任意两点

11、的速度必存在一定的关系。点的速度必存在一定的关系。其中其中 ABvBA方向垂直方向垂直AB。 这种求解速度的方法称为这种求解速度的方法称为基点法基点法。它是求解平面。它是求解平面图形内一点速度的基本方法。图形内一点速度的基本方法。AvABvBAvBvA 同一平面图形上任意同一平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影相等。两点的速度在该两点连线上的投影相等。()()B ABA ABvv速度投影定理：速度投影定理：这种求解速度的方法称为这种求解速度的方法称为速度投影法速度投影法二速度投影法二速度投影法 由于由于A ，B点是任意的，因此点是任意的，因此 表示了表示了图形上任意两点速度间的关系由于

12、恒有图形上任意两点速度间的关系由于恒有 ，因，因此将上式在此将上式在AB上投影，有上投影，有 BAABvBABAvvvAvABvBAvBvA机构中机构中,OA作定轴转动作定轴转动,AB作平面运作平面运 动动,滑块滑块B作平动。作平动。 研究研究 AB，以，以 A为基点，且方向如图示。为基点，且方向如图示。, lvAllABvllvvllvvBAAB/45tantan)(245cos /cosABAAB（） 例例11 已知：曲柄连杆机构已知：曲柄连杆机构OA=AB=l，曲柄曲柄OA以匀以匀 转动。转动。 求：当求：当 =45时时, , 滑块滑块B 的速度及的速度及AB 杆的角速度杆的角速度根据根

13、据,BAABvvv在在点做点做 速度平行四边形，如图示。速度平行四边形，如图示。1.基点法基点法vAvBvBAvA解：解：vAvBvBAvAABABvv)()(AB根据速度投影定理根据速度投影定理cosBAvvcosAB/vv 不能求出不能求出AB 研究研究AB, ,方向方向 OA, 方向沿方向沿BO直线直线lvABvll245cos /2.速度投影法速度投影法解：解： 尺尺AB作平面运动作平面运动1.基点法基点法BAABvvvcotABvv例例2 椭圆规尺的椭圆规尺的A端以速度端以速度vA沿沿x轴的负向运动，如图所示，轴的负向运动，如图所示，AB=l。试求试求B端的速度以及尺端的速度以及尺A

14、B的角速度。的角速度。sinABAvv设尺设尺AB的角速度为的角速度为 ，则则 ABvBA所以所以sinABAlvABvyABoxvAvAvBAvBABABvv)()(AB根据速度投影定理根据速度投影定理vvABcos=sin不能求出不能求出AB2.速度投影法速度投影法cotABvv 研究研究 AB，以，以 A为基点。为基点。所以所以则则例例3 如图所示四连杆机构如图所示四连杆机构OABO1中，中， ,曲柄曲柄 OA的角的角速度速度3rad/s。试求当试求当90而曲柄而曲柄O1B重合于重合于O1O的延长线的延长线上时，杆上时，杆AB和曲柄和曲柄O1B的角速度。的角速度。ABBOOA21=1机构

15、中机构中,OA、 O1B作定轴转动，作定轴转动，AB作平面运动。作平面运动。 研究研究 AB，以，以 A为基点，速度分析如图示。为基点，速度分析如图示。BAABv+v=v 则则在在点做点做 速度平行四边形，如图示。速度平行四边形，如图示。解：解： O1ABOvAvBAvBvAOAvA= 其其中中ABvABBA=BOvBOB11=3rad/s=30sin=ABvABvABAAB5.2rad/s=3=30cot=111BOvBOvABBO各方向如图示各方向如图示（）（）例例4 4：曲柄曲柄OA长长100mm，以角速度，以角速度=2rad/s转动。连杆转动。连杆AB带动摇杆带动摇杆CD，并拖动轮并拖

16、动轮E沿水平面滚动。已知沿水平面滚动。已知CD=3CB，图示位置时图示位置时A，B，E三点恰在一水平线上，三点恰在一水平线上，且且CDED。求此瞬时点求此瞬时点E的速度。的速度。vDvBvAvE30解：解：杆杆OA绕绕O轴轴转动转动OAvA由速度投影定理，得由速度投影定理，得ABvv30cosm/s34 . 032ABvv摇杆摇杆CD绕绕C轴转动，有轴转动，有CDCBvvBD由速度投影定理，得由速度投影定理，得DEvv30cosm/s8 . 0EvBv3m/s32 . 1m/s2 . 0三、速度瞬心法三、速度瞬心法（2）若选取速度为零的点作为基点，求解速度问题的）若选取速度为零的点作为基点，求

17、解速度问题的计算会大大简化那么，在某一瞬时图形是否有一点计算会大大简化那么，在某一瞬时图形是否有一点速度等于零？如果存在的话，该点如何确定？速度等于零？如果存在的话，该点如何确定？1.1.问题的提出问题的提出（1 1）图片）图片点点C称为称为瞬时速度中心瞬时速度中心，简称，简称速度瞬心速度瞬心。2.2. 定理定理一般情况，在每一瞬时，平面图形上都唯一地存在一一般情况，在每一瞬时，平面图形上都唯一地存在一个速度为零的点。个速度为零的点。vAAMCvAvAvMAvCA证明：过点证明：过点A作作vA的垂线的垂线AN。NMAMAvvvAMvvAM随着点随着点M在在AN上的位置不同，上的位置不同，vM的

18、大的大小也不同。因此可找到一点小也不同。因此可找到一点C, 该点的该点的瞬时速度等于零。如令瞬时速度等于零。如令AvAC 0ACvvAC取点取点A为基点，则为基点，则AN上点上点M的速度为的速度为3.3.平面图形内各点速度及其分布平面图形内各点速度及其分布DACB点点C为速度瞬心，即为速度瞬心，即 vC=0。取点取点C为基点，则为基点，则A, B, D各点的速度各点的速度ACACACvvvvBCBCBCvvvvDCDCDCvvvv由此的结论：由此的结论：平面图形内任一点的速度等于该平面图形内任一点的速度等于该点随图形绕速度瞬心点随图形绕速度瞬心瞬时瞬时转动的速度转动的速度。,ACvvACA,B

19、CvvBCBDCvvDCDvAvBvD 平面图形在任一瞬时的运动可以视为平面图形在任一瞬时的运动可以视为绕速度瞬心绕速度瞬心的瞬时转动，的瞬时转动，速度瞬心又称为平面图形的瞬时转动中心。速度瞬心又称为平面图形的瞬时转动中心。4. 几种确定速度瞬心位置的方法几种确定速度瞬心位置的方法 （1）已知一平面图形在固定面上作无滑动的滚已知一平面图形在固定面上作无滑动的滚 动动, 则图形与固定面的接触点则图形与固定面的接触点C为速度瞬心为速度瞬心 ABvvvvBABA (a),同同向向与与ABvvvvBABA (b),反反向向与与(a) (b) （2）已知某瞬时已知某瞬时A 、B两点速度两点速度 大小大小

20、,且且 ， 则瞬心必在则瞬心必在AB的连线与两速度矢的端点连线的交点上。的连线与两速度矢的端点连线的交点上。BAvv , , ABvAABvB（3）已知某瞬时平面图形上已知某瞬时平面图形上A,B两点速度两点速度 的方向，且的方向，且 . BAvv 、 不平行不平行与与BAvv过过A , B两点分别作速度两点分别作速度 的垂线的垂线,交点交点C即为该瞬间的速度瞬心即为该瞬间的速度瞬心.BAvv 、C （4）已知某瞬时已知某瞬时A,B两点的速度相等，即两点的速度相等，即 。此时。此时, 瞬心瞬心在无穷远处在无穷远处,图形的角速度图形的角速度 =0, 图形上各图形上各 点速度相等点速度相等, 这种情

21、况这种情况称为称为瞬时平移瞬时平移. (此时各点的加速度不相等此时各点的加速度不相等)BAvv 例如例如: 曲柄连杆机构在图示位置时，连杆曲柄连杆机构在图示位置时，连杆BC的运动的运动设匀角速度设匀角速度 ，则，则)(2ABaanBB而的方向沿而的方向沿AC，cBaa ca此时连杆此时连杆BC的图形角速度的图形角速度 。0BC为为瞬时平移瞬时平移vBvCaBBC杆上各点的速度都相等杆上各点的速度都相等. 但各点的加速度并不相等但各点的加速度并不相等aC（1 1）速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的，而是）速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的，而是 随时间不断变化的。在任一瞬时是唯一存在的。随时

22、间不断变化的。在任一瞬时是唯一存在的。 （2 2）速度瞬心处的速度为零）速度瞬心处的速度为零, , 加速度不一定为零。不加速度不一定为零。不 同于定轴转动同于定轴转动（3 3）刚体作瞬时平移时，虽然各点的速度相同，但各）刚体作瞬时平移时，虽然各点的速度相同，但各 点的加速度是不一定相同的。不同于刚体作平移。点的加速度是不一定相同的。不同于刚体作平移。5. 5. 注意的问题注意的问题OOv例例5 沿直线沿直线作纯滚动的车轮作纯滚动的车轮已知已知: 车轮半径为车轮半径为R， 轮心轮心O点的速点的速度为度为 。求求: 轮缘上点轮缘上点B、C 、D的的速度。速度。Ov解解：车轮作平面运动。车轮作平面运

23、动。 )(P0Av车轮的角速度为车轮的角速度为RvOBvDvCv,2OBvv ,2OCvv （1 1）计算简便计算简便ODvv2ABCD（2 2）速度分布直观速度分布直观瞬心法瞬心法P机构中机构中,OA作定轴转动作定轴转动,AB作平面运动作平面运动,滑块滑块B作平动。作平动。 例例6 已知：曲柄连杆机构已知：曲柄连杆机构OA=AB=l，曲柄曲柄OA以匀以匀 转动。转动。 求：当求：当 =45时时, 滑块滑块B的速度及的速度及AB杆的角速度杆的角速度解：解：vAvBCABlBCvABB2= 研究研究AB，已知的方向，因此，已知的方向，因此 可确定出可确定出C点为速度瞬心点为速度瞬心BAvv ,3

24、. 速度瞬心法速度瞬心法l=AC ,l=vAllACvAAB=/=/=2. 速度投影法速度投影法1. 基点法基点法解：解：尺尺AB作平面运动作平面运动1.基点法基点法 例例7 椭圆规尺的椭圆规尺的A端以速度端以速度vA沿沿x轴的负向运动，如图所示，轴的负向运动，如图所示，AB=l。试求。试求B端的速度以及尺端的速度以及尺AB的角速度。的角速度。yABoxvAvB2.速度瞬心法速度瞬心法已知已知A、B两点速度的方位，两点速度的方位，分别作分别作A、B两点的速度垂线，两点的速度垂线，sinAAlvACvcotvAABvvACBCBC用瞬心法可以求图形内任意点的速度用瞬心法可以求图形内任意点的速度

25、DCvD两条直线交于点两条直线交于点C，C点就是点就是AB尺的速度瞬心。尺的速度瞬心。 CDvD例例8 图示平面机构中，图示平面机构中，AB=BD=DE=l=300mm。在图示位置时，。在图示位置时，BD/AE,杆杆AB角速度为角速度为 = 5 rad/s。试求此瞬时杆。试求此瞬时杆DE的角速度和的角速度和杆杆BD中点中点C的速度。的速度。ABDEC60o60o解：解： AB杆，杆，DE杆分别绕杆分别绕A、E轴轴作定轴转动，作定轴转动，BD杆作平面运杆作平面运动。动。sm51B.lv研究研究BD杆，其速度瞬心为杆，其速度瞬心为PvBvDvCDE杆的角速度为：杆的角速度为：srad5DEBDBD

26、DDEPDDEv则则BD杆的角速度为：杆的角速度为：srad53 . 05 . 1BDPBvBP所以所以C点的速度为：点的速度为：PCvBDCsm299. 1233 . 05sin60BDl DE BD例例9 曲柄肘杆压床机构曲柄肘杆压床机构已知：已知：OA=0.15m , n=300 rpm ,AB=0.76m, BC=BD=0.53m. 图示位置时图示位置时, AB水平水平求该位置时的、求该位置时的、 及及ABBD Dvrad/s103030030nm/s 5 . 11015. 0OAvA/s ABAPvAABrad16. 7376. 025 . 160sin5 . 11m/s 72. 2

27、16. 75 . 076. 016. 760cos1ABBPvABB BDP2为等边三角形为等边三角形DP2=BP2=BDrad/s 13.553.073.22BPvBBDm/s72.213.553.02 DPvBDD解：解： OA,BC作定轴转动作定轴转动,AB,BD均作平面运动均作平面运动根据题意：根据题意：研究研究AB杆杆, P1为其速度瞬心为其速度瞬心vAvBP1P2vDABBD研究研究BD, P2为其速度瞬心为其速度瞬心, 7. 3平面图形上各点的加速度平面图形上各点的加速度ntreaBABABAABa+a=a=a ; a=a ; a=a于是于是,由牵连平动时加速度合成定理由牵连平动

28、时加速度合成定理可得如下公式可得如下公式reaaaantBABAABa+a+a=a取取A为为基点，基点，将平动坐标系固结于将平动坐标系固结于A点点取取B动点，则动点，则B点的运动分解为点的运动分解为相对运动相对运动为圆周运动为圆周运动和和牵连运动为平动牵连运动为平动已知：图形已知：图形S 内一点内一点A 的加速度的加速度 和图形和图形 的的 , （某一瞬时）。（某一瞬时）。求：求： 该瞬时图形上任一点该瞬时图形上任一点B的加速度。的加速度。Aa一、求各点加速度一、求各点加速度其中：，方向其中：，方向 AB，指向与，指向与 一致；一致；，方向沿，方向沿AB，指向，指向A点。点。AB=atBA2A

29、BanBA 即即平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和随图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。这。这种求解加速度的方法称为种求解加速度的方法称为基点法基点法。是求解平面图形内一点加。是求解平面图形内一点加速度的基本方法。速度的基本方法。上述公式是一平面矢量方程。需知其中六个要素，方能求上述公式是一平面矢量方程。需知其中六个要素，方能求出其余两个。由于出其余两个。由于 方位总是已知，所以在使用该公式方位总是已知，所以在使用该公式中，只要再知道四个要素，即可解出问题的待求量。中，只要再知

30、道四个要素，即可解出问题的待求量。ntBABAa,antBABAABa+a+a=a39分析：分析：大小大小 ？ 2 方向方向 ？ 故应先求出故应先求出 nPOtPOOPa+a+a=a/Rv=O（） 例例10 半径为半径为R的车轮沿直线作纯滚动的车轮沿直线作纯滚动, 已知轮心已知轮心O点的速度点的速度及加速度及加速度 , 求车轮与轨道接触点求车轮与轨道接触点P的加速度。的加速度。OvOa解：轮解：轮O作平面运动，作平面运动，P为速度瞬心，为速度瞬心，Ra=dtdvRdtdOO1=（）40 由此看出，速度瞬心由此看出，速度瞬心P 的加速度并不等于零，即它不是加速度的加速度并不等于零，即它不是加速度

31、瞬心。当车轮沿固定的直线轨道作纯滚动时，其速度瞬心瞬心。当车轮沿固定的直线轨道作纯滚动时，其速度瞬心P 的加的加速度指向轮心。速度指向轮心。以以O为基点，有为基点，有nPOtPOOPa+a+a=aRvRvR=R=a ,a=R=aOOnPOOtPO222=)( nPOPaa （ 与与 等值反向）等值反向）OatPOa)(/2RvaOP其中：其中：做出加速度矢量图，由图中看出：做出加速度矢量图，由图中看出：解：解：(a) AB作平动，作平动，)a=a ,a=a( a=a ,v=vBABABABAnnttBOAO B;/Oa A,/Oa= B;/Ov A,/Ov=BABA212t21t12211=

32、而而又又2121= ;=例例11 已知已知O1A=O2B, 图示瞬时图示瞬时 O1A /O2B 试问试问(a),(b)两种情况下两种情况下 1和和 2，1和和2是否相等？是否相等？(b) AB作平面运动作平面运动, 图示瞬时图示瞬时 作瞬时平动作瞬时平动 , 0,=ABBAvvBOvAOvBOAOBA221121/ ,/ ,=ABBABBABAABAa+a=a+a ntnt 得得cossincossin22222211BOBO=AO+AO11-BAaantntntBABAAABBa+a+a+a=aa+以以A为基点，作为基点，作B点的加速度矢量图如右点的加速度矢量图如右向向AB连线投影，注意到：

33、连线投影，注意到：0=nBAaB a BttABanABa aBn a An aAt ctg2212112 即即+=并由此看出：并由此看出：AB作瞬时平移作瞬时平移21 = 滚子半径滚子半径R=15cm, n=60 rpm求：当求：当 =60时时 (OA AB),滚轮的滚轮的 ，例例12 曲柄滚轮机构。曲柄滚轮机构。解：解：OA定轴转动定轴转动,AB杆和轮杆和轮B作平面运动作平面运动研究研究AB：rad/s 32153 /30/1APvAAB（）cm/s 30215rad/s 230/6030/OAvnAP1为其速度瞬心为其速度瞬心)(cm/s 3203215321ABBBPv分析分析: 要想

34、求出滚轮的要想求出滚轮的 , 先要求出先要求出vB , aBP2P1vB取取A为基点，为基点，2222cm/s60)2(15=OAaanAA指向指向O点点nBAtBAABaaaa+=BAABaABnBA沿沿 其其中中,3320)32(153222=大小大小 ？ ？ 方向方向 作加速度矢量图，将上式向作加速度矢量图，将上式向BA线上投影线上投影nBABaa0030cos)(cm/s5 .13134032332030cos222=nBABaarad/s25. 7153202=BPvBB22rad/s77. 8155 .131=BPaBB）(）(研究轮研究轮B：P2为其速度瞬心为其速度瞬心 例例13

35、 在椭圆规机构中，曲柄在椭圆规机构中，曲柄OD以匀角速度以匀角速度绕绕O轴轴转动，转动，OD=AD=BD=l。求当。求当= =60时，时，AB的角加速度的角加速度和点和点A的加速度。的加速度。aDaDatADanADaAC解：解：杆杆OD定轴转动，定轴转动，AB平面运平面运 动。动。2laD研究研究AB杆，取点杆，取点D为基点，求为基点，求点点A的加速度的加速度ntADADADaaaa其中其中ADaABAD2n(1)2nlaADvAvDABDCODDCvDAB大小大小 ？ ？方向方向 0tADa0tADaADABn)2cos(cosADDAaaasincossin0ntADADDaaaaDaD

36、atADanADaACvAvDAB2laA将将(1)式分别在式分别在和和轴上投影轴上投影ntADADADaaaa(1)解得：解得：则：则： 工程中的机构都是由数个物体组成的，各物体间通过工程中的机构都是由数个物体组成的，各物体间通过联接点而传递运动联接点而传递运动。为分析机构的运动，首先要分清各物。为分析机构的运动，首先要分清各物体都作什么运动，要计算有关联接点的速度和加速度。体都作什么运动，要计算有关联接点的速度和加速度。 为分析某点的运动，为分析某点的运动，如能如能找出其位置与时间的函数关找出其位置与时间的函数关系，则系，则可直接建立运动方程可直接建立运动方程，用，用解析方法解析方法求其运

37、动全过程求其运动全过程的速度和加速度。当的速度和加速度。当难以建立点的运动方程或只对机构某难以建立点的运动方程或只对机构某些瞬时位置的运动参数感兴趣时些瞬时位置的运动参数感兴趣时，可根据刚体各种不同运，可根据刚体各种不同运动的形式，确定此动的形式，确定此刚体的运动与其上一点运动的关系刚体的运动与其上一点运动的关系，并，并常用常用合成运动或平面运动的理论合成运动或平面运动的理论来分析相关的两个点在某来分析相关的两个点在某瞬时的速度和加速度的联系。瞬时的速度和加速度的联系。二、二、运动学综合应用举例运动学综合应用举例 平面运动理论平面运动理论用来分析用来分析同一平面运动刚体同一平面运动刚体上两个上

38、两个不同点不同点间间的速度和加速度联系。当两个刚体相接触而的速度和加速度联系。当两个刚体相接触而有相对滑动有相对滑动时时，则，则需用合成运动的理论分析需用合成运动的理论分析这两个不同刚体上相重合一点这两个不同刚体上相重合一点的速度和加速度联系。两物体间有相互运动，虽不接触，其的速度和加速度联系。两物体间有相互运动，虽不接触，其重合点的运动也符合合成运动的关系。重合点的运动也符合合成运动的关系。 复杂的机构中，可能同时有平面运动和点的合成运动问复杂的机构中，可能同时有平面运动和点的合成运动问题，应注意分别分析、综合应用有关理论。题，应注意分别分析、综合应用有关理论。分析：分析：BE杆作平面运动，

39、杆作平面运动，BD杆平移，点杆平移，点B连同滑块在连同滑块在OA杆上杆上滑动，并带动杆滑动，并带动杆OA转动，滑块转动，滑块E平移。可先对平移。可先对BE杆用平面运动杆用平面运动理论求出点理论求出点B的速度和加速度，再按合成运动方法求解杆的速度和加速度，再按合成运动方法求解杆OA的的角速度和角加速度。角速度和角加速度。 例例1414 如图所示平面机构，滑块如图所示平面机构，滑块B可沿杆可沿杆OA滑动。杆滑动。杆BE与与BD分别与滑分别与滑块块B铰接，铰接，BD杆可沿水平导轨运动。杆可沿水平导轨运动。滑块滑块E以匀速以匀速v沿铅直导轨向上运动，沿铅直导轨向上运动，杆杆BE长为长为 。图示瞬时杆。

40、图示瞬时杆OA铅直，铅直，且与杆且与杆BE夹角为夹角为4545 。求该瞬时杆。求该瞬时杆OA的角速度与角加速度。的角速度与角加速度。 l 2v BE杆作平面运动，由杆作平面运动，由v及及vB方向可方向可知此瞬时点知此瞬时点O为为BE的的速度瞬心速度瞬心，因此，因此vvB解：解：（1 1）用平面运动理论求点）用平面运动理论求点B的速度和加速度的速度和加速度lv=OEv=BEv=l lv=OBvBEB=以以E为为基点基点，点，点B的加速度为的加速度为aEaBEtaBEnaBB大小：大小： ? 0 ? 方向：方向： 加速度矢量图如右，其中加速度矢量图如右，其中lvBE=aBEBE22n2=tnBEB

41、EBEa = a +a+a(a)将将(a)式向式向轴上投影得：轴上投影得：n=cos45BEBaa则得：则得：lv=aaBEB2n2cos45=（2 2）用点的合成运动理论求）用点的合成运动理论求OA杆杆的角速度和角加速度的角速度和角加速度vvavrve取滑块取滑块B为为动点，动系动点，动系固结于固结于OA杆上杆上aervvv由由速度合成定理速度合成定理各各速度矢量速度矢量如图所示，如图所示，显然有：显然有：aer0vv v, 即：即：v=v=vae则则OA杆的角速度为杆的角速度为：lv=OBv=OAe作作加速度矢量加速度矢量如图所示，如图所示， 由由加速度合成定理加速度合成定理大小：大小：

42、aB ? ？ 0方向：方向： 将将(b)式向水平方向投影得：式向水平方向投影得：tnaeerC=+aaaaa(b)tea= aa即：即：lv=aaaB2ate2=22te2lv=OBa=OA故：故：方向如图示方向如图示方向如图示方向如图示OAOABteaneaaaraCa其中其中aBvvv 例例15 杆杆AB以不变的速度以不变的速度v沿水平方向运动，套筒沿水平方向运动，套筒B与与杆杆AB的端点铰接，并套在绕的端点铰接，并套在绕O轴转动的杆轴转动的杆OC上上, ,可沿该可沿该杆滑动。已知杆滑动。已知AB和和OE两平行线间的距离为两平行线间的距离为b。求在图示。求在图示位置位置( (=60，=30

43、，OD=BD)时，杆时，杆OC的角速度和的角速度和角加速度、滑块角加速度、滑块E的速度和加速度。的速度和加速度。解：解：(1)速度分析速度分析vevDDEvavrvEC取杆取杆AB上的点上的点B为动点，为动点，动系固连于杆动系固连于杆OC上。上。OCvvv2360sinaevvv2160cosarbvOBvOC43e研究研究DE杆，杆，点点C为其速度瞬心为其速度瞬心vODvOCD43bvDCvDDE42vECvDEEaervvv由由速度合成定理速度合成定理 OCatearaneac(2) 加速度分析加速度分析取杆取杆AB上的点上的点B为动点，为动点，动系固连于杆动系固连于杆OC上。上。tnae

44、ercaaaaa其中其中:0aabvvaOC4322rc将将上上式在式在n轴上投影，得轴上投影，得:cte0aa ,43 2ctebvaa22te833bvOBaOCn大小：大小： ? ？ 方向：方向： OCatearaneacatDanEDatEDaEanDatDanD杆杆DE作平面运动。作平面运动。取点取点D为为基点，求点基点，求点E的加速度的加速度tntnEDDEDEDaaaaa其中：其中：bvODaOCD832tbvDEaDEED1622n将将上上式在式在DE上投影，得上投影，得tn30cosDEDEaaabvaE387 2大小：大小： ? ? 方向：方向： 222n4839bvODa

45、OCD58第七章刚体平面运动习题课第七章刚体平面运动习题课 1. 刚体平面运动的定义刚体平面运动的定义刚体运动时，其上任一点到某固定平面的距离保持不变。刚体运动时，其上任一点到某固定平面的距离保持不变。2. 刚体平面运动的简化刚体平面运动的简化可以用刚体上一个与固定平面平行的平面图形可以用刚体上一个与固定平面平行的平面图形S在自身平在自身平 面内的运动代替刚体的整体运动。面内的运动代替刚体的整体运动。 3. 刚体平面运动的分解刚体平面运动的分解 分解为分解为 4. 基点基点可以选择平面图形内任意一点可以选择平面图形内任意一点, ,通常是运动状态已知的点。通常是运动状态已知的点。 随基点的平移（

46、平移规律与基点的选择有关）随基点的平移（平移规律与基点的选择有关）绕基点的转动（转动规律与基点的选择无关）绕基点的转动（转动规律与基点的选择无关）一概念与内容一概念与内容595. 瞬心（速度瞬心）瞬心（速度瞬心） （1）任一瞬时任一瞬时,平面图形或扩大部分都唯一存在一个速度为零的平面图形或扩大部分都唯一存在一个速度为零的 点。点。 （2）瞬心位置随时间改变。瞬心位置随时间改变。（3）每一瞬时平面图形的运动可视为绕该瞬时瞬心的转。这每一瞬时平面图形的运动可视为绕该瞬时瞬心的转。这 种绕瞬心的瞬时转动与定轴转动不同。种绕瞬心的瞬时转动与定轴转动不同。（4） =0, 瞬心位于无穷远处瞬心位于无穷远处

47、, 各点速度相同各点速度相同, 刚体作瞬时平刚体作瞬时平 移移, 瞬时平移与平移不同。瞬时平移与平移不同。6. 刚体定轴转动和平面平动是刚体平面运动的特例。刚体定轴转动和平面平动是刚体平面运动的特例。7. 求平面图形上任一点速度的方法求平面图形上任一点速度的方法 （1）基点法：）基点法： （2）速度投影法：）速度投影法： （3）速度瞬心法：）速度瞬心法： 其中，基点法是最基本的公式，瞬心法是基点法的特例。其中，基点法是最基本的公式，瞬心法是基点法的特例。为为基基点点AvvvBAAB , ABAABBvv为为瞬瞬心心一一致致与与CBCvBPvBB . , , 60 8. 求平面图形上一点加速度的

48、方法求平面图形上一点加速度的方法基点法：基点法： ，A为基点为基点, 是最常用的方法是最常用的方法nBABAABaaaa9. 平面运动方法与合成运动方法的应用条件平面运动方法与合成运动方法的应用条件 （1）平面运动方法用于研究）平面运动方法用于研究一个平面运动刚体一个平面运动刚体上任意两点的上任意两点的 速度、加速度之间的关系及任意一点的速度、加速度与速度、加速度之间的关系及任意一点的速度、加速度与 图形角速度、角加速度之间的关系。图形角速度、角加速度之间的关系。 （2）合成运动方法常用来确定）合成运动方法常用来确定两个相接触的物体两个相接触的物体在接触点处在接触点处 有相对滑动时的运动关系的

49、传递。有相对滑动时的运动关系的传递。61 1. 根据题意和刚体各种运动的定义，判断机构中各刚体的运动根据题意和刚体各种运动的定义，判断机构中各刚体的运动 形式。注意每一次的研究对象只是一个刚体。形式。注意每一次的研究对象只是一个刚体。 2. 对作平面运动的刚体，根据已知条件和待求量，选择求解速对作平面运动的刚体，根据已知条件和待求量，选择求解速 度度(角速度角速度)问题的方法问题的方法, 用基点法求加速度用基点法求加速度(角加速度角加速度) 3. 作速度分析和加速度分析，求出待求量。作速度分析和加速度分析，求出待求量。 基点法基点法: 恰当选取基点，作速度平行四边形，加速度矢量图；恰当选取基点

50、，作速度平行四边形，加速度矢量图； 速度投影法速度投影法: 不能求出图形不能求出图形 ; 速度瞬心法：速度瞬心法：确定瞬心的位置是关键。确定瞬心的位置是关键。二解题步骤和要点二解题步骤和要点例例1 行星齿轮机构行星齿轮机构已知已知: R, r , o 轮轮A作纯滚动，求作纯滚动，求21,MMvv解：解：OA定轴转动定轴转动; 轮轮A作平面运动作平面运动, 瞬心瞬心P点点,)(2211ooMrRrrRrPMvooArrRrrRv )(）(方方向向均均如如图图示示,)(2222ooMrRrrRrPMv例例2 平面机构中平面机构中, 楔块楔块M: =30, v=12cm/s ; 盘盘: r = 4c

51、m , 与与 楔楔 块间无滑动。求圆盘的块间无滑动。求圆盘的 及轴及轴O的速度和的速度和B点速度。点速度。解：解：轴轴O, 杆杆OC, 楔块楔块M均作平动均作平动, 圆盘作平面运动，圆盘作平面运动，P为速度瞬心为速度瞬心, cm/s 12vvArad/s 3230cos412cos12=rPAvA)(m/s 343230sin4sinrPOvom722142242120cos22222OBPOOBPOPB) ( m/s 3 .182143272PBPBvB）(（1）比较比较例例1和和例例2可以看出可以看出, 不能认为圆轮只滚不滑时不能认为圆轮只滚不滑时, 接触点就是瞬心接触点就是瞬心, 只有在

52、接触面是固定面时只有在接触面是固定面时, 圆轮上接圆轮上接 触点才是速度瞬心。触点才是速度瞬心。 （2） 每个作平面运动的刚体在每一瞬时都有自己的速度瞬每个作平面运动的刚体在每一瞬时都有自己的速度瞬 心和角速度心和角速度, 并且瞬心在刚体或其扩大部分上并且瞬心在刚体或其扩大部分上, 不能认不能认 为瞬心在其它刚体上。为瞬心在其它刚体上。 例如例如, 例例9 中中AB的瞬心在的瞬心在P1 点点, ,BD的瞬心在的瞬心在P2点点, 而且而且P1也不是也不是CB杆上的点。杆上的点。解解: OA定轴转动定轴转动 ; AB, BC均作平面运动均作平面运动, 滑块滑块B和和C均作平动均作平动(1) 求求C

53、v取取AB杆为研究对象，杆为研究对象，oABBrBPv31例例3 已知：配气机构中，已知：配气机构中，OA= r , 以等以等 o转动转动, 在某瞬时在某瞬时 = 60 AB BC, AB=6 r , BC= 。 求求 该瞬时滑块该瞬时滑块C的的 速度和加速度。速度和加速度。r331PP1为其速度瞬心，为其速度瞬心，rABAP360cos1 331ooAABrrAPvrABBP3360sin1 方向如图示方向如图示方向如图示方向如图示AB取取BC杆为研究对象，杆为研究对象，oBrv3ooBCCrrCPv2396 21P2PP2为其速度瞬心，为其速度瞬心，rCBCP960tan2 63632ooBBCrrBPvrCBBP3660cos2 方向如图示方向如图示方向如图示方向如图示BC(2)求求Ca先以先以A为基点为基点求求B点加速度：点加速度：nBAtB