《几何与代数》

1、非齐次线性方程组非齐次线性方程组 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111若记若记,aaaaaaaaaAmnmmnn 212222111211 nxxxx21m21bbbb则非齐次线性方程组可写成矩阵形式：则非齐次线性方程组可写成矩阵形式：.1bxAnnm aaaaaaaaaaaaAmnmjmmnjnj21222221111211a1a2ajan若记若记b 2211 xaxaxann则非齐次线性方程组可写成向量形式：则非齐次线性方程组可写成向量形式：2 2齐次线性方程组齐次线性方程组 000221122221211212111nmn

2、mmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa若记若记,aaaaaaaaaAmnmmnn 212222111211 nxxxx21 0000则齐次线性方程组可写成矩阵形式：则齐次线性方程组可写成矩阵形式：. 01 nnmxA aaaaaaaaaaaaAmnmjmmnjnj21222221111211a1a2ajan若记若记0 2211 xaxaxann则齐次线性方程组可写成向量形式：则齐次线性方程组可写成向量形式： 定理定理1 非齐次方程组解的判定非齐次方程组解的判定 设方程组的系数矩阵设方程组的系数矩阵A是是mn 阶矩阵，阶矩阵，b是常是常数项，设数项，设=(A b)是增广矩阵是增广矩阵,

3、 经过初等行变换化经过初等行变换化成阶梯形矩阵成阶梯形矩阵R。则方程组。则方程组有解有解的充分必要条件是的充分必要条件是R中的拐角元素不出现最后一列；中的拐角元素不出现最后一列；（1）方程组有）方程组有唯一解唯一解的充分必要条件是的充分必要条件是R中的拐中的拐角元素不出现最后一列，并且拐角元素的个数等角元素不出现最后一列，并且拐角元素的个数等于未知量的个数；于未知量的个数；（2）方程组有）方程组有无数解无数解的充分必要条件是的充分必要条件是R中的拐中的拐角元素不出现最后一列，并且拐角元素的个数小角元素不出现最后一列，并且拐角元素的个数小于未知量的个数；于未知量的个数；定理定理2 齐次齐次方程组

4、解的判定方程组解的判定 设方程组的系数矩阵设方程组的系数矩阵A是是mn 阶矩阵，阶矩阵，A 经过经过初等行变换化成阶梯形矩阵初等行变换化成阶梯形矩阵R。则有。则有（1）方程组有唯一零解的充分必要条件是）方程组有唯一零解的充分必要条件是R中拐角中拐角元素的个数等于未知量的个数。元素的个数等于未知量的个数。（2）方程组有非零解的充分必要条件是）方程组有非零解的充分必要条件是R中拐角元中拐角元素的个数小于未知量的个数。素的个数小于未知量的个数。( ( ) )( ( ) )nRAR ( ( ) )( ( ) )nRAR 有无穷多解有无穷多解. .bAx 非齐次线性方程组非齐次线性方程组bAx 齐次线性

5、方程组齐次线性方程组0 Ax( ( ) )nAR ;0只只有有零零解解 Ax( ( ) )nAR .0有有非非零零解解 Ax;有有唯唯一一解解bAx 齐次线性方程组齐次线性方程组：系数矩阵化成最简阶梯矩阵，：系数矩阵化成最简阶梯矩阵，便可写出其通解；便可写出其通解；非齐次线性方程组：非齐次线性方程组：增广矩阵化成阶梯形矩阵，增广矩阵化成阶梯形矩阵，便可判断其是否有解若有解，化成最简阶梯便可判断其是否有解若有解，化成最简阶梯矩阵，便可写出其通解；矩阵，便可写出其通解；例例1 1 求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组.0340222022432143214321 xxxxxxxxxxxx解解 34

6、1122121221A 463046301221施行初等行变换：施行初等行变换：对系数矩阵对系数矩阵 A13122rrrr 0000342101221)3(223 rrr212rr 00003421035201即得与原方程组同解的方程组即得与原方程组同解的方程组 , 0342, 0352432431xxxxxx ,342,3522413222221cxcxccxccx).,(43可任意取值可任意取值xx由此即得由此即得 ,342,352432431xxxxxx形形式式，把把它它写写成成通通常常的的参参数数令令2413,cxcx .1034350122214321 ccxxxx例例2 2 设有线

7、性方程组设有线性方程组 23213213211 xxxxxxxxx?,有有无无穷穷多多个个解解有有解解取取何何值值时时问问 解解 21111111),( bA 11111112 作作初初等等行行变变换换，对对增增广广矩矩阵阵),(bAB 2222111011011 32222120011011 ( () )( () )( () ) ( () )( () ) 22112100111011 ( ( ) ),11时时当当 ( ( ) )( () )., 3,方方程程组组有有无无穷穷多多解解 bARAR其通解为其通解为 33223211xxxxxxx( () ).,32为为任任意意实实数数xx 000000001111),(bA( ( ) ),12时时当当 ( () ) 22120011011),( bA这时又分两种情形：这时又分两种情形：( ( ) )( (