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文档简介

1、精选优质文档-倾情为你奉上 泰勒定理及带有拉格朗日余项泰勒公式的应用探讨 【摘要】泰勒定理是把函数用多项式近似表示的重要依据,是数学分析课程的重要内容.给出了泰勒定理的证明,泰勒定理是拉格朗日中值定理的推广，相应地泰勒公式也是拉格朗日中值公式的推广 泰勒公式在数学以及其他学科当中有着广泛的应用，本文讨论了带有拉格朗日余项的泰勒公式之间的关系,从纯数学的方面说明了泰勒公式的应用，以及在近似计算、求极限、求导数、积分计算、判断级数收敛性、证明一些等式和不等式等方面的应用. 【关键词】泰勒定理; 泰勒公式; 拉格朗日型余项1、 泰勒定理及证明 定理1: 若函数f( x) 在a，b上存在直至n 阶的连

2、续导涵数，在( a，b ) 内存在（n + 1） 阶导数，则对任意给定的x，x0a，b，至少存在一点( a，b) ，使得 证明: 作辅助函数 所要证明的定理式即为 2、 带有拉格朗日余项的泰勒公式 若函数f( x) 在a，b上存在直至n 阶的连续导涵数，在( a，b ) 内存在（n + 1） 阶导数，则对任意给定的x，x0a，b，至少存在一点( a，b) ，使得 上式称为泰勒公式，它的余项为 所以上式又称为带有拉格朗日余项的泰勒公式. 并且当n=0时，上式即为拉格朗日中值公式 故上式可看作拉格朗日中值定理的推广.顺便在此介绍一下拉格朗日中值定理.拉格朗日中值定理：若函数f满足如下条件： 在这里

3、定理就不做证明了.由此可看出泰勒定理与拉格朗日中值定理之间的关系. 上式也称为（带有拉格朗日余项的）迈克劳林公式.3、 泰勒定理及带有拉格朗日余项泰勒公式的应用(一)证明含高阶导数的值的问题 由连续函数的介值定理知，至少存在一点 使得 (2) 证明等式和不等式 (3) 求极限的问题 (4) 判定级数的收敛性 （5） 证明函数有界问题 （6） 同时求同一点的不同阶的导数值故由泰勒展开式的唯一性，有 (7） 近似计算近似值并估计误差. 故可估算出误差 因而它有3位有效数字. 据此可得到新的近似值 这个结果有4位有效数字. （8） 证明数的类型 据上式可得： 参考文献【1】华东师范大学.数学分析（上、下册）.高等教育出版社.【2】同济大学.高等数学（上册）.高等教育出版社.【3】吉米多维奇.数学分析习题集解（四）.山东科学技术出版社.【4】C.H.爱德华.微积分发展史.北京出版社.【5】数值分析简明教程.

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