第十二章微分方程54119

1、第十二章 微分方程一、一阶微分方程1基本概念 一阶微分方程形式：或一阶微分方程的解：使微分方程恒成立的。一阶微分方程的通解：含有一个任意常数的解初始条件：。一阶微分方程特解：初值问题的解。2一阶微分方程的类型及解法一阶微分方程有以下几种形式：（1）可分离变量方程：解法：分离变量；两边同时积分，（2）齐次方程：（或）解法：令，则，然后代入方程中化为可分离变量型方程（3）一阶线性微分方程： （或）解法：一是利用通解公式：；二是应用常数变异法.（4）伯努利方程：（或）解法：通过变量代换，将方程化为一阶线性微分方程（5）全微分方程：满足解法：通解为（6）可化为齐次的方程：解法：令，化为，解方程组得出h

2、和k，化为齐次方程对于上面六种类型的方程，它们各自都有固定的解法。如果所给的方程按上述思路不能转化为已知类型的方程，这时常用的方法和技巧如下：A熟悉常见的微分方程形式；B选取适当的变量代换，转化成上述可解类型的方程；C变换自变量和因变量（即有时把看成自变量，而考虑的方程类型）；【例1】若连续函数满足关系式：，求解：求导得 为可分离变量的方程分离变量为积分得 因此，所求通解为 将代入得，所以【例2】求微分方程的通解。解：令，则，可化为即 为可分离变量的方程分离变量 积分得 所以 故原方程的通解为 【例3】求微分方程的通解。解：令，则，代入方程得，解方程组得令，原方程化为齐次方程令，则，代入上式得

3、 即，分离变量 积分得将带入得【例4】求微分方程的通解。解：因为所以 为一阶线性微分方程故原方程的通解为【例5】求方程满足的特解。解法1：将原方程整理成，即标准的齐次方程，令代入原方程得 解得 ，即代入有，原方程特解是解法2：整理原方程得，为贝努利方程，令代入原方程得，是以为未知数的一阶线性方程，解之得，即将代入得，原方程特解是【例6】求微分方程的通解解：因为，故此方程为全微分方程。取，则所以原方程的通解为【例7】求的通解解：令，则，代入原方程中，得，此方程为可分离变量得方程。分离变量得 积分 将代回，得通解 即 【例8】求微分方程的通解。分析：原方程为非标准型方程，把它可化为，用凑微分法，可

4、变形为，则进行变量代换。解：因为用凑微分法，可变形为 令，则方程变为 ，此方程为可分离变量的方程。分离变量 积分得故原方程的通解为【例9】设可导，且满足方程，求解：等式两边对求导得 即 为一阶线性非齐次微分方程，且，解得将代入得，所以 【例10】设曲线积分在右半平面内与路径无关，其中可导，且，求.解：因为曲线积分与路径无关，所以，得 即亦即可解得此一阶常系数非齐次线性微分方程的通解为再由，可得特解.二、 高阶微分方程1高阶微分方程的定义：2可降阶的高阶微分方程类型及解法可降阶的高阶微分方程有三种类型： （1）解法：逐次积分（2） 特点：不显含的方程 解法：设，则，代入方程中得。已降为一阶。（2

5、） 特点：显含的方程 解法：设，则代入方程中得，已降为一阶。【例1】求微分方程的通解.解：由于不显含，令，则，代入原方程得即 为一阶线性微分方程利用公式得即 积分得 【例2】求微分方程满足初始条件的特解。解：由于不显含x，令，所以，代入原方程得所以 或 当时，此方程为可分离变量的方程，分离变量得积分得 ，所以 ， 即 将代入得，从而 分离变量得 ，将代入得所求方程的特解为 当时，即，积分得，特解为，含在内。3二阶线性微分方程的解的结构二阶线性齐次微分方程： 二阶线性非齐次微分方程：解的结构性质：（1）若和是齐次方程的解，则齐次方程的解。（2）若和是齐次方程的线性无关解，则是齐次方程的通解。 （

6、3）若是齐次方程的通解，是非齐次方程的特解，则是非齐次方程的通解。（4）若和分别是非齐次方程的特解，则是非齐次方程的特解。（5）若和分别是非齐次方程的特解，则是对应齐次方程的特解。4二阶常系数线性微分方程（1）二阶常系数齐次方程：解法：由特征方程，解出特征根和。通解为：当（实根）时，；当时，；当时，。（2）二阶常系数非齐次方程特解 解法：1）写出特征方程并求根；2）求对应的齐次线性方程的通解；3）根据不同类型的自由项，利用待定系数法求出一个特解；4）写出原方程的通解。自由项有两种：当时，原方程的特解形式是。 当时，原方程的特解形式是。【例1】设和都是的连续函数，并设线性无关的函数都是二阶非齐次

7、线性方程 的解，是任意常数，则该非齐次方程的通解是 (A)(B) (C) (D) 【 】解：因为是二阶非齐次线性方程的解，且线性无关，所以，是对应齐次方程的两个线性无关的特解，非齐次线性方程的通解为：【例2】具有特解,的三阶常系数齐次线性微分方程是 (A) (B) (C) (D) 【 】解：由特解知，代入(A),(B),(C),(D)的特征方程验证(B)满足。【例3】求微分方程的通解.解：特征方程为，解得特征根，则齐次方程通解是因为为型，且为重根，可设特解，将代入原方程得，即所以通解为 【例4】 求方程的通解解：特征方程为 ，解得特征根 ，则齐次方程通解是其中为型，且不是特征根，可设特解，代入

8、原方程得，即为型，且为特征根，可设特解，代入原方程得，即故原方程的特解，所求通解为【例5】设函数满足微分方程，且其图形在点处的切线与曲线在该点的切线重合，求函数.解：特征方程为，解得特征根，则齐次方程通解是因为为型，且为单根，可设特解，代入原方程得，即所以通解为 因为的图形在点处的切线与曲线在该点的切线重合，所以代入得，则【例6】设具有二阶连续导数，且 ， ，已知曲线积分与积分路径无关，求.解：因为曲线积分与路径无关，所以，根据曲线积分与路径无关的条件，得即亦即可解得此二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为再由，可得特解【例7】设函数连续，且满足，求.解：等式两边对求导得两边再对求导得 ，即 为

9、二阶线性非齐次微分方程，且解此二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为再由可得特解【例8】利用代换，将方程化简，并求出原方程的通解解：因为，代入整理得 通解为 将代入得 5欧拉方程， 为常数解法：做变换 或，记将欧拉方程化为常系数线性微分方程，解方程，将代回即可。【例9】求欧拉方程（x>0）的通解.解：令 即，代入方程 ，即 亦即 特征方程为，解得特征根通解为 【例10】求欧拉方程的通解.解：令 即，代入方程 ，即 亦即 特征方程为，解得特征根齐次方程的通解为 为型，且不是根，可设特解，代入原方程得，即所以通解为 6微分方程的幂级数解法（1）一阶微分方程幂级数解法求一阶微分方程满足初始条件的

10、特解.解法：设，将代入原方程定出常数，即可得特解.（2）二阶微分方程幂级数解法定理：如果二阶微分方程中的系数P(x)和Q(x)可在-R<x<R内展开为x的幂级数，那么在-R<x<R内方程必有形如的解解法：设，将代入原方程定出常数，即可得解.【例11】用幂级数求方程满足初始条件的特解.解：因为，故设代入方程得 ，即比较等式两边得 所以方程的解为【例12】用幂级数求方程的解.解：因为，满足定理条件，它们可在内展开成x的幂级数，解可设为 代入原方程得 即 亦即 化简后得 所以 即都可用表示，都可用表示.所以方程的解为三、微分方程的建立微分方程的建立总体上讲有两条途径，其一利用

11、已知的概念、定理、物理学定律等建立方程；其二是微小量分析的方法来建立方程。当然不排除在某一具体的题目处理时两种方法的综合运用。几何方面：已知曲线切线的斜率、曲线的曲率、变上限的弧长、变上限曲边梯形的面积、变上限旋转体的体积，或上述的某些组合，求曲线的方程，可由已知条件建立微分方程。物理方面：已知运动的速度规律、加速度（或外力）的规律，求运动的位移与时间的关系，则由运动方程或牛顿第二定律建立微分方程。其它：已知某函数的变化率求该函数，可建立微分方程。【例1】设对任意，曲线上点处的切线在轴上的截距等于 ，求的一般表达式.解：在点处的切线斜率为，在轴上的截距为，切线方程为 即 对x求导得 整理得 为

12、可降阶的微分方程，不显含y令，有，代入上式有 分离变量 ，积分得，即所以 【例2】设是一向上凸的连续曲线，其上任意一点处的曲率为，且此曲线上点处的切线方程为，求该曲线的方程并求函数的极值解：因为是一向上凸的连续曲线，所以，由题意整理得 ，其中.为可降阶的微分方程，不显含y,令，有，代入上式有 分离变量 ，积分得，即将代入得 ， ，积分得将代入得 曲线方程为，令 得 为唯一驻点，且，所以是y取的极大值【例3】在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的。设该人群的总人数为N，在时刻已掌握新技术的人数，在任意时刻已掌握新技术的人数（将视为连续可微变量），其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数，求.解：有题设知 ，分离变量 ，即积分得 将代入得 ，所以 【例4】从船上向海中沉放某