数学思想方法在集合教学中的渗透

1、数学思想方法在集合教学中的渗透秭归二中 宋英集合单元是高中教材非常重要的内容，蕴涵着丰富 的数学思想方法，教学过程中，教师若能注意认真地挖掘与提炼，适时而有效地渗透数学思想方法，对于开发学生的智力，培养学生的能力，发展学生的思维，具有十分重要的意义。下面结合在教学中的实践，谈谈自己 的体会。1 渗透数性结合的思想方法数与形是数学研究的两类基本对象，也是数学发展的两大支柱。他们既有联系又各有特点。数形结合就是充分利用“形”的直观性和“数”的精确性，通过数与形的相互转化使问题简捷求解的一种数学方法。教学过程中，涉及集合的交，并，补集等运算，要充分结合集合的数轴表示和韦恩图表示，以数思形，数形结合。

2、例 已知集合U=x|x是不大于10 的自然数，集合A ,B是U 的两个子集，且满足A B=4，5，（CuB ）A=1，2，3，（CuA ）（CuB ）=6，7，8，求集合A 和B 。解析 本题采用数形结合的方法求解，即用韦恩图将已知条件在图中标出，从中找出结果。既直观，又简捷。解答 如图所示A B=4，5，将4，5写在A B 中。 （CuB ）A=1，2，3，将1，2，3写在A 中。（CuA ）（CuB ）=6，7，8 将6，7，8写在U 中A ，B 之外。（CuB ）A 和（CuA ）（CuB ）中均无9，109，10在B 中。故A=1，2，3，4，5，B=4，5，9，10。2 渗透分类讨论

3、的思想方法分类就是按照一定的标准把研究的对象分成几部分或几种情况。采取“化整为零，各个击破”的手段。通过它可以达到把几个复杂的问题分解成若干个相对简单的问题，获得完整解答的目的。分类讨论的思想在每年高考试题中几乎必考。具体应用分类讨论思想解题时，必须弄清“引起讨论的因素是什么”，“分类讨论的步骤是什么”以及“如何简化讨论”等问题。例 已知集合A=x|x+ x6=0，B=x|mx +1=0，若A B=B，求由实数m 所构成的集合M 。解析：由A B=B，可知BA ，而A=-3，2，从而顺利地求出实数的取值集合M 。要注意空集是任何非空集合的真子集，所以按B 中元素的个数进行分类讨论。解答：A B

4、=B BA ，又A=-3，2，B 中至多有一个元素，B= 或B=-3或B=2当B= 时，m=0；当B=-3时，m=；当B=2时m=-故M=-，0，3 渗透化归转换的思想方法化归思想是指在处理，解决数学问题是，把那些需要解决的问题通过某些转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题，运用化归思想的基本原则是化难为易，化生疏为熟悉，化繁为简，化未知为已知，化正为反。例 已知集合A=x|x4mx+2m+6=0,xR . 若A R-, 求实数m 的取值范围.解析 集合A 是方程x 4mx+2m+6=0的实数解组成的集合，A R-意味着方程的根有以下3种情况：两负根；一负根一零根；一负根一正根。分别求

5、解相当麻烦。而上述3种情况可以概括为方程的较小的根为负根，即0 , 但这个不等式也不易求解，如何寻求捷径解决这个问题呢？如果考虑A R-的反面：A R-=，问题可转化为先求方程的两根都非负数时的m 的取值范围，再应用补集求解就非常容易。解答 设全集U=m|=16m- 8m- 240=m|m-1或m 若方程的两根都是非负数，则有m U,4m 0,2m+60得m 故m| m关于U 的补集m| m-1即为所求的m 的取值范围。点评 本题应用化正为反的化归思想顺利求解。渗透归纳猜想的思想方法猜想是人们依据事实，凭借直觉所作出的一种大胆的假设，它是一种积极的创造活动。在教学中，引导学生进行归纳猜想，培养

6、他们的猜想能力是提高学生创造能力，培养其创新精神的一条有效途径。老师要做一个有心人，注意诱导启迪学生，让他们大胆猜想。教材中有这样一道例题：写出集合a,b 所有的子集和真子集。其解答较为简单，集合a,b 的子集是，a , b , a,b , 真子集是, a , b . 教学到此，似乎例题已经完成，但是我并未就此放过，进一步提出问题让学生思考；1 写出集合a,b,c 的所有子集，它们有多少个？2 写出集合a,b,c,d 的所有子集，它们有多少个？3 写出集合a,b,c,d,e 的所有子集，它们有多少个？ 根据上述4题的结果，请你观察并思考：集合中元素的个数和它的子集个数有何规律？如果集合中含有n

7、 个元素，它的子集个数是多少？学生经过充分思考，讨论，得到下列猜想：若集合中含有n 个元素，那么它的子集个数是2个，进一步得到，它的非空子集的个数是2-1个，它的真子集的个数是2-1个，它的非空真子集的个数是2-2个。到此，教师对学生的猜想要作充分肯定，并大力鼓励学生的探索精神和创新意识。渗透数学建摸的思想方法例 向50名学生调查对A ，B 两事件的态度有如下结果：赞成A 的人数是全体人数的，其余的不赞成；赞成B 的人数比赞成A 的多3 人，其余的不赞成，另外对A ，B 都不赞成的学生人数比都赞成的学生人数多1人，问A ，B 都赞成的学生和都不赞成的学生个多少人？解析 因为赞成A 和赞成B 的

8、人数都是可以确定的。都不赞成的人数与都赞成的人数关系明确，故只要设出其中都赞成的人数，其余的都可以表示出来，从而建立集合模型，利用韦恩图示，顺利求解。解答 赞成的人数为，赞成的人数为。如图，记50名学生组成的集合为，赞成事件的学生全体为集合，赞成事件的学生全体为集合。设对事件都赞成的学生人数为，则对都不赞成的学生数为，赞成而不赞成的人数为，赞成而不赞成的人数为.由题意可得方程，解得.所以，对都赞成的学生有21人，对都不赞成的学生有8人.总之，数学思想是数学的内在形式，是学生获得数学知识、发展思维能力的动力和工具。数学思想方法的渗透是一个潜移默化的过程，是在学生掌握数学知识的同时经过多次理解和反复应用逐步形成。教师在教学中如能抓住数学