微分方程与差分方程简介

1、第八章 微分方程与差分方程简介本章内容简介从本质上说,函数是用变量来刻画客观事物内部联系的,因此利用函数关系就可以对客观事物的规律性进行研究,在实际问题中,如何寻求函数关系具有十分重要的意义。在许多问题中,我们所要的函数关系可能一时找不到,但是根据问题所提供的信息,有时可以列出一个含有要找的未知函数及其导数的关系式,这种关系式就是微分方程,对这种方程进行研究,寻找未知函数的过程,我们称为解微分方程。本章主要介绍微分方程的一些基本概念和几种常用的解微分方程的方法。本章基本要求1. 理解下列基本概念:微分方程、微分方程的阶、微分方程的解、微分方程的通解、微分方程满足某个初始条件的特解。2. 会识别

2、和求解可分离变量的方程与一阶线性微分方程。3. 会利用降阶法求解特殊的高阶微分方程。4. 了解二阶线性微分方程解的基本定理和二阶线性微分方程通解的结构。5. 掌握二阶常系数线性齐次微分方程的解法,了解简单的二阶常系数线性非齐微分方程的解法。6. 会运用微分方程对一些简单的经济学问题进行分析。本章重点微分方程的概念,一阶可分离变量微分方程的解法,一阶线性微分方程的解法,二阶常系数线性微分方程的解法。内容提示与分析§8.1微分方程的一般概念1.微分方程:含有未知函数的导数(或微分的方程称为微分方程。常微分方程:微分方程中的未知函数是一元函数的,叫常微分方程,其一般形式为 。§8

3、.2一阶微分方程 一阶微分方程的一般形式是 则称此方程为可分离变量的一阶微分方程。 设 ,则 即可得微分方程通解。二、齐次方程 齐次微分方程的标准形式为 两边求导,有 代入 这是一个可分离变量的方程,求解后用 代回 ,得 (3 其中 为任,(4是(1 的解。由于 (5将(4和(5代入(1得 代入(4得 这就是(1的通解。 所以,一阶线性非齐方程式的通 。§8.3可降阶的高阶微分方程 一、 型 的右 再积分一次,得 依次进行n次积分,便得含有n个任意常数的通解。 二、 型 ,从为未知函数的一阶方程: 再由 可求得原方程的通解: 型. 方程右端不显含自变量 。由 方程就化为 ,即 利用分

4、离变量法,可以进一步求得原方程的通解为 ,其中a,b,c 是常数,a0。 定理1 如果函数 的两个特解,则 的解,其中 为 可以 的根而得。 若 为相异实根, 方程通解为: 为重 时,特征方程有一对共轭的复根 方程通解为:二、二阶常系数线性非齐次方程二阶常系数线性非齐次方程,其标准形式是 ,是线性非齐次方程的一个特解,而 是相应的线性齐次方程的通解,则其和 为线 是非齐次的一个特解, y2方程 是非 的个特解。这就是线性非齐次微分方程解的迭加原理。对于右端项具有特殊形式的线性非齐次方程,其通解可以根据右端项的形式与相对应的线性齐次方程,通过待定系数法求得。 下表为特殊的右端项 的特 是已是待定

5、的 n次多项式。 单元测试一、选择题 1、微分方程 的阶A、3B、5C、2D、42、下列函数中为微分方程 xdx+ydy=0通解的是 ( A、x+y=cB、 C 的通 A、 B、 C D 的通 A、 D、 A、 B C、 D 满足 A、 B、 C、 D 的解 A、 B、 C、 8、微分方程 满足 的特 A、 B C D、 A、 B C D 的通解为y= ( A、 B、c+x C、 DA、sinx+cosy=cB、cosx+siny=cC、cosx-siny=cD、cosy-sinx=c 12、微分方程 的通A、arctanx+arctany=cB、tanx+tany=cC、lnx+lny=cD

6、、cotx+coty=c 13、方程 的通 A、 B C、 D 的通解为 ( A、 B C D 15、微分方程 的 A、 B C、 D 的通解。 解:将微分方程分离变量得 故通解为 (C 满足的特解。 解:将原方程写为 , ,即 两端积分得 ,得 . 满足的 两端积分 以 于是所求特解为 解:原方程即 通解 5、 求微分方程 的通 由一 = = 的阶是 ( A.1B.2C.3D.4解:由于微分方程的阶是指微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数,这里最高是y"因此,所给方程是二阶微分方程,故应选(B 例2.方程 满足的特 D. 的 代入代入 是原的特解。故应选(B例3.已知微分方程

7、 。 (C 的特 解:(1由于 ,所,将 ,两端恒等,根据微分方程解的定义知 为原 中含 是原 代入是原方程满足初始条 件 的特 满足 两端积分得 记 ,注也是 。 。写为lnC,最终C是任意常数。 例5.求微分方程 的通解。 解:原方程可改写成 它是 即代入整理得 可分离变量的方程 两端 代入为原 将其变换为可分离变量的方程然后求解的。 例6.求微分方程 的 解法1:将原方程变形,得 为一 有 为所 相应 分离变量得 设原一阶线性非齐次方程的解为 代入 积分 u（x）=-cosx+c. 因此，一阶线性非齐次方程的通解为 解法 3：将原方程变形为 也就是 即有 xy=-cosx+C， 所以，原

8、方程的通解为 . 注意：这里给出了三种解法，建议考生熟练掌握第一种解法，比较简洁，操作 性强。 例 7求微分方程 解：将原方程变形为 ,用公式法， 满足初始条件 的特解. . 是一阶线性非齐方程， 因此 这是一阶线性非齐方程的通解。 将 代入，得 c=1-e，故所求特解为 注意，这里用直接代公式的方法解方程，有兴趣的考生可以参照上例，用 其他两种方法求解。 例 8求微分方程 解：将原方程变形为 令 分，得 满足 的特解。 它是一个右端不显含 x 的可降阶方程。 代入原方程得 先分离变量再两端积 。 将初始条件 所以， 得 ， 由 代入上式解得 。于是，原方程的特解为 。 注意：这是二阶微分方程

9、的问题，为使计算简化，在解题过程中及时利用 初始条件确定了任意常数 的值，考生在今后解题过程中也要注意应用这种 方法。 例 9求下列二阶常系数微分方程的解。 ， 结合条件 代入上式，有 可得 . ， 先分离变量再积分， 解：（1）该方程的特征方程为 所以，该方程的通解为 （2）该方程的特征方程为 所以，该方程的通解为 （3）该方程的特征方程为 所以，该方程的通解为 （4） 该方程的特征方程为 所以，该方程的通解是 （5）该方程的特征方程为 所以，该方程的通解为 例 10设有微分方程 应特解 的形式。 。 其特征根为 。 其特征根为 。 其特征根为 。 其特征根为一对共轭复根 。 有一对共轭复根

10、 。 。 。 。 。 ，试根据下列不同的 f(x，设出其相 解：方程对应的齐次方程的特征方程为 。 （1）由于=2 是特征方程的单根，n=1，故应设特解为 （2）由于=1 也是特征方程的单根，n=3，故应设特解为 （3）由于=3 不是特征方程的根，n=3，故应设特解为 （4）由于=0 不是特征方程的根，n=2，故应设特解为 例 11设有微分方程 应特解 的形式。 其特征根为 ，试根据下列不同的 f(x，设出其相 解：方程对应的齐次方程的特征方程为 有两个相同的实根 。 (1由于=3 也是特征方程的重根，n=1，故应设特解为 而由于=2、5、0 均不是特征方程的根，类似于上例，应设特解为 例 12设有微分方程 应特解 的形式。 ，试根据下列不同的 f(x，设