线段最短问题专题复习

1、最值问题的解决方法通常有两种： （1） 应用几何性质： 三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 两点间线段最短； 连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短； 定圆中的所有弦中，直径最长。（2） 应用函数的性质 二次函数（a、b、c为常数且）其性质中有若当时，y有最小值。；若当时，y有最大值。 一次函数的自变量x的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因而没有最大（小）值；但当时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大（小）值。 通常最短路线问题是以“平面内连结两点的线中，直线段最短”为原则引申出来的人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件

2、的最近路线即最短路线问题在本讲所举的例中，如果研究问题的限制条件允许已知的两点在同一平面内，那么所求的最短路线是线段；如果它们位于凸多面体的不同平面上，而允许走的路程限于凸多面体表面，那么所求的最短路线是折线段；如果它们位于圆柱和圆锥面上，那么所求的最短路线是曲线段；但允许上述哪种情况，它们都有一个共同点：当研究曲面仅限于可展开为平面的曲面时，例如圆柱面、圆锥面和棱柱面等，将它们展开在一个平面上，两点间的最短路线则是连结两点的直线段在求最短路线时，一般我们先用“对称、平移、旋转”的方法化成两点之间的最短距离问题，而两点之间直线段最短，从而找到所需的最短路线像这样将一个问题转变为一个和它等价的问

3、题，再设法解决，是数学中一种常用的重要思想方法一、点关于一条直线的对称问题问题超市：一天，天气很热，小明想回家，但小狗想到河边去喝水。有什么办法能让小狗到河边喝上水，同是回家又最近？问题数学化：设小明与小狗在A处，家在B处，小河为L，小明要在直线L上找一个点C（小狗在C处饮水），使得AC+BC最短。（如图所示）知识介绍：两条线段之和最短，往往利用对称的思想，把两条线段的和变为一条线段来研究，利用两点之间的线段最短，可以得出结果。轴对称有两个基本特征：垂直与相等。构造点M关于直线PQ的轴对称点N的方法是：过M作MO垂直于PQ于点O，并延长MO到点N，使NO=MO，则点N就是点M关于直线PQ的对称

4、点。问题分析：过A作AO垂直于直线L于点O，延长AO到点A，使AO=AO，连接AB，交直线L于点C，则小明沿着ACB的路径就可以满足小狗喝上水，同时又使回家的路程最短。问题的证明方法：三角形两边之和大于第三边及对称的性质。问题的延伸1：已知直线L外有一个定点P，在直线L上找两点A、B，使AB=m，且PA+PB最短。（其中m为定值）提示：作PC平行于AB，且PC=AB，则问题变为：在直线L上找一个点B，使它到P、C两点的距离之和最短。问题的延伸2：在两条相交线之外有一个定点P，分别在两条直线上找点B、C使得PB+BC+CP最短，如何确定B、C的位置？提示：分别作点P关于直线L1和直线L2的对称点

5、P1和P2，连接P1P2分别与两直线交于B、C点，则PB+BC+PC最短。证明方法同上。 1、如图，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上任意一点（可与B点或C点重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是B、C、D，则BB+CC+DD的最大值为 ，最小值为 2、如图，AOB=45°，角内有一点P，PO=10，在角的两边上有两点Q，R(均不同于点O)，则PQR的周长的最小值为 3如图，两点A、B在直线MN外的同侧，A到MN的距离AC=8，B到MN的距离BD=5，CD=4，P在直线MN上运动，则的最大值等于 4如图，A点是半圆上一个三等分点，B点是弧AN的中点，P点是直径MN

6、上一动点，O的半径为1，则AP+BP的最小值为( ) A1 B C D5如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形，动点P从A点出发，沿看圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短距离是( ) A B C D6、如图、已知矩形ABCD，R，P户分别是DC、BC上的点，E，F分别是AP、RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是( ) A线段EF的长逐渐增大 B线段EF的长逐渐减小C线段EF的长不改变 D线段EF的长不能确定 7、如图（7）所示，已知A（，y1），B（2，y2）为反比例函数y图象上的两点，动点P（x，0）在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，

7、点P的坐标是 A.（，0） B.（1,0） C.（，0） D.（，0） 8、 如图，平原上有A、B、C、D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池，不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H点的位置，使它与四个村庄的距离之和最小 PMMMMQllllPQPQPQPQABCD11111安装0、(第20题图)l 9、 如图，直线l是一条河，P、Q两地相距8千米，P、Q两地到l的距离分别为2千米、5千米，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（ ） 10、在一平直河岸同侧有两个村庄，到的距离分别是3km和2km

8、，现计划在河岸上建一抽水站，用输水管向两个村庄供水方案设计某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图13-1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为，且（其中于点）；图13-2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为，且（其中点与点关于对称，与交于点）ABPllABPC图13-1图13-2lABPC图13-3K观察计算（1）在方案一中， km（用含的式子表示）；（2）在方案二中，组长小宇为了计算的长，作了如图13-3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算， km（用含的式子表示）探索归纳（1）当时，比较大小：（填“”、“”或“”）；当时，比较大小：（填“”、“”或“”）；方法指导当不易直接比较两个

9、正数与的大小时，可以对它们的平方进行比较：，与的符号相同当时，即；当时，即；当时，即；（2）请你参考右边方框中的方法指导，就（当时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？11、 点A的坐标为(1，0)，点B在直线上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为A（0，0）B（，）第4题图C（，）D（，）12、 如图，有一木质圆柱形笔筒的高为h，底面半径为r，现要围绕笔筒的表面由A至A1（A，A1在圆柱的同一轴截面上）镶入一条银色金属线作为装饰，这条金属线的最短长度是 13、问题超市：农场里有一条小河，里面养了很多鱼。在河的两岸有两个加工厂，农场主经常要在这两个工厂之间来

10、回奔波。农场新买了一辆汽车，想在农场内建造一条马路，同时在河上修建一座桥。要求桥与河岸垂直，可是桥应该建在何处，才能使两个加工厂之间的路程最短？14、长方体ABCDABCD中，AB=4，AA=2，AD=1，有一只小虫从顶点D出发，沿长方体表面爬到B点，问这只小虫怎样爬距离最短？（见图（1）15、已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A（0.3），与X轴交于点B（1.0）c（5.0）两点（1）求抛物线的解析式（2）若点D为线段的一个三等分点，求直线DC的解析式（3）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达X轴的某点（设为点E），在到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A，并使P运动

11、的总路径最短，求出这个最短总路径的长。16、已知：抛物线y=ax2+4ax+t与x轴交点于A、B两点，A（-1，0）。 （1）求抛物线的对称轴及点B的坐标； （2）设C是抛物线与y轴的交点，ABC的面积为3，求此抛物线的表达方式；（3）若D是第二象限内到x轴、y轴距离的比为52的点，且点D在（2）中的抛物线上，在抛物线的对称轴上是否存在点E，使DE与EA的差最大？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由。17、 如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM. 求证：AMBENB；

12、 当M点在何处时，AMCM的值最小；当M点在何处时，AMBMCM的值最小，并说明理由；EA DB CNM 当AMBMCM的最小值为时，求正方形的边长.18、在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在轴、轴的正半轴上，D为边OB的中点.温馨提示：如图，可以作点D关于轴的对称点，连接与轴交于点E，此时的周长是最小的.这样，你只需求出的长，就可以确定点的坐标了.（）若为边上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标；第（25）题yBODCAxEyBODCAx（）若、为边上的两个动点，且，当四边形的周长最小时，求点、的坐标.19、某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出，已知生产x只玩具熊猫的成本为R（