基于信噪比经验值的奇异值分解滤波门限确定

1、基于信噪比经验值的奇异值分解滤波门限确定    摘 要:针对奇异值分解滤波器(SVDF)现有的奇异值截断准则之不足,提出了一种基于信噪比经验值的SVDF滤波门限确定新方法。推导了门限值与信噪比之间的数学关系。实验结果证实了该滤波消噪算法的有效性和合理性。与现有方法相比,消噪效果得以明显改进;而且原理清晰,实现简单。 关键词:奇异值分解滤波器; 信噪比; 滤波门限; 噪声消除 Decision of threshold for singular value decomposition filterbased on SNRs empirical value

2、Abstract:Aiming at shortcomings of the existing singular value truncation criterion of singular value decomposition filter (SVDF), this paper put forward a new method to decide the threshold for SVDF, based on the empirical value of signal to noise ratio(SNR). It deduced the mathematical relation be

3、tween the threshold and SNR. Finally, approved the rationality and validity of the promoted noise-elimination algorithm with SVDF by the experiment results. Compared to the existing methods, the effect of noise elimination is obviously improved, with clear principle and easy implement. Key words:sin

4、gular value decomposition filter(SVDF); signal to noise ratio; filtering threshold; noise elimination 自从Tufts等人1提出可用奇异值分解办法估计噪声污染信号中的有用成分以来,奇异值分解滤波器(SVDF)已经在语音、图像、移动通信、电力、生物医学、地震监测等领域获得了较好的应用24。 滤波门限的选取原则直接影响着SVDF的信号处理效果。文献5讨论了噪声对矩阵秩的影响,并总结了几种常用的奇异值截断准则。文献6采用Minka Bayesian准则确定滤波门限。文献7通过引入奇异熵谱来辨识信号奇异

5、值的分布域,为滤波门限选择提供参考。文献8将奇异值拟合曲线的拐点作为门限设置的依据。总的来说,这些门限确定方法实现过程复杂,且仅是从所构造矩阵特征值的分布特征出发,脱离了具体应用背景,滤波结果并不理想。 针对以上不足,本文提出了一种基于信噪比经验值的滤波门限确定方法;与前述方法相比,原理清晰,实现简单,且有着很强的实用价值。 1 时间序列与观测噪声 时间序列是按照时间顺序、常以等时间间隔取得的一系列观测值的集合;或是一串随时间变化且又相互关联的数据序列。客观世界中,这种数据序列经常见到,如股票价格、电力负荷、机械振动、河流水位、气温变化等观测值序列。由于各自的物理背景不同,它们所包含的信息和呈

6、现的规律又是千变万化的;人们往往希望通过分析这些数据,达到认识和掌握事物的目的。 工程应用中,若不考虑噪声因素,对象系统的前后时刻观测值间往往存在某种相依性。根据Box等人9的观点,这种相依性常能被一类称做自回归模型(auto regressive model,AR)的统计模型加以描述: Xt=1Xt-1+2Xt-2+NA1AD+pXt-p(1) 其中:1,2,NA1AD,pR;pN视具体应用情况而定。 事实上,受外界环境干扰、传感器与测量仪器电噪声等诸多不确定因素影响,实际观测所得时间序列1,2,NA1AD,n往往包含噪声。噪声的特点是随机性,不可预测;它常使观测值序列偏离系统真实的变化规律

7、。因此,消除或减少数据中的有害噪声,提高信息利用准确性非常必要。 通常将测量噪声当做白噪声处理,并记 t=St+m=St+wt+m;t=1,NA1AD,n(2) 其中:S1,S2,NA1AD,Sn是零均值化后的序列;m是时间序列均值;w1,w2,NA1AD,wn是均值为0方差为2w的白噪声序列;S1,S2,NA1AD,Sn对应序列S1,S2,NA1AD,Sn中的真值成分;w1,w2,NA1AD,wn与S1,S2,NA1AD,Sn相互独立。 2 SVD滤波 对于零均值化序列S1,S2,NA1AD,Sn,奇异值分解(SVD)滤波步骤如下: a)构造矩阵。构造N×h维矩阵 =S1S2NA1

8、ADShS2S3NA1ADSh+1SNSN+1NA1ADSnN×h(3) 其中:h=(n+1)/2,表示取整数,N=n-h+1。 b)奇异值分解。对进行奇异值分解: =U V T(4) 其中:URN×N,VRh×h,均为正交矩阵。 =q×qOq×(h-q)O(N-q)×qO(N-q)×(h-q)N×h(5) 其中:q×q=diag(1,2,NA1AD,q),i(i=1,NA1AD,q)称为矩阵的奇异值,且12NA1ADq>0;qmin(N,h),是的秩。若列满秩,则q=h。 c)门限控制。设定滤波门

9、限(0<<1),解关于r的方程: ri=12i/qi=12i=(6) 可得正整数r。将取值较小的q-r个奇异值置0,得到 =r×rOr×(h-r)O(N-r)×rO(N-r)×(h-r)N×h(7) 其中:r×r=diag(1,2,NA1AD,r)。 d)滤波输出。重构矩阵: =U VT=S1S2NA1ADShS2S3NA1ADSh+1SNSN+1NA1ADSnN×h(8) 对中时刻对应的元素求平均,得到SVDF输出值序列。 对于均值不为零的时间序列,须先进行零均值化处理,最后针对滤波输出序列还原均值。 3 滤波

10、门限与信噪比间的数学关系 设S1,S2,NA1AD,Sn服从AR(p)模型,即 St=1St-1+2St-2+NA1AD+pSt-p(9) 另根据式(2)和(3)得到 =+W=S1S2NA1ADShS2S3NA1ADSh+1SNSN+1NA1ADSn+w1w2NA1ADwhw2w3NA1ADwh+1wNwN+1NA1ADwn(10) 由式(9)可推出的秩p,W列满秩。证明如下: 反证法证明W列满秩 记Wi=(wi,wi+1,NA1AD,wi+N-1)T,WiRN(i=1,2,NA1AD,h)。假设W不是列满秩,则必存在一组不全为0的实数1,2,NA1AD,h-1,使得 Wh=1W1+2W2+N

11、A1AD+h-1Wh-1(A1) 成立。于是对于w1,w1,NA1AD,wn存在如下关系式: wt=h-1wt-1+h-2wt-2+NA1AD+1wt-h+1;t=h,NA1AD,n(A2) 这与w1,w1,NA1AD,wn是白噪声矛盾。因此W列满秩。 通常也列满秩,于是q=h。记 1NA1AD>0,w1NA1ADwh>0(11) 分别是和W的奇异值,且有 n+:w1=w2=NA1AD=wh=Nw(12) 引理110 设A、B都是N×h维实矩阵,记E=B-A,q=minN,h。如果12NA1ADq是A的奇异值,12NA1ADq是B的奇异值,则 qi=1(i-i)21/2E

12、 2(13) 根据引理1,有 i=1(i-i)2+hi=+1(i)2hi=1(wi)2(14) 由T=VTVT得 Tr(T)=Tr(T)(15) 其中Tr()表示矩阵求迹。于是,序列S1,S2,NA1AD,Sn的功率: PS=1NhNi=1hj=1S2i+j-1=1NhTr(T)=1NhTr(T)=1Nhhi=1(i)2(16) 同理: PS=1Nhi=1(i)2(17) Pw=1Nhhi=1(wi)2(18) 若定义信噪比 SNR=PS/Pw=i=1(i)2/hi=1(wi)2(19) 则在高信噪比下,由式(14)得出结论:S1,S2,NA1AD,Sn对奇异值的贡献几乎全部集中在1,2,NA

13、1AD,中;w1,w1,NA1AD,wn对各奇异值有着相同贡献,且有 wii;i=+1,NA1AD,h(20) 此时,SVD滤波算法的c)中,欲保留奇异值数目r=。考虑到w1,w1,NA1AD,wn与S1,S2,NA1AD,Sn相互独立,有 hi=1(i)2=hi=1(wi)2+i=1(i)2(21) 于是,滤波门限 =ri=1(i)2/hi=1(i)2= i=1(i)2/hi=1(i)2= 1-hi=+1(i)2/hi=1(i)2 1-hi=+1(wi)2/hi=1(i)2= 1-h-hhi=1(wi)2/hi=1(i)2= 1-h-h 1SNR+1(22) 实际应用中,通常满足h>&

14、gt;,此时有 SNR/SNR+1(23) 综合上述推导过程,可以得出结论:在高信噪比下,SVDF的滤波门限取决于信噪比SNR。若事先获知SNR的经验值,则门限值可由式(23)确定。 考虑到算法步骤d)对数据中残留噪声的平滑抑制作用,SVDF产生的增益G应满足 G>G0=10log(h/r)(dB)(24) 4 基于SNR的SVD滤波消噪算法 a)输入待消噪序列及其零均值化后的信噪比经验值SNR。 b)由式(3)构造矩阵;调用Golub算法对矩阵进行奇异值分解;让q(通常q=h)个奇异值依大小次序排列。 c)按照式(23)计算滤波门限,并由式(6)确定欲保留奇异值数目r。 d)将编号在r

15、之后的奇异值置0,重构矩阵()。 e)计算中时刻对应元素的均值,得到滤波输出值序列。 f)由式(24)计算并输出滤波增益下界G0。 5 实验分析 为验证所提出基于SNR经验值SVD滤波消噪算法(简称SNR_SVDF算法)的有效性,用两组实验来分析说明:第一组采用仿真数据,验证式(23)所确定门限值的合理性,并与其他方法作比较;第二组结合真实序列数据说明SNR_SVDF算法的实用性。 5.1 实验1 给定初值S-1=0.05,S0=0.1,由模型 St=1.9996St-1-St-2(25) 仿真产生长度为600的真值序列S1,S2,NA1AD,S600;设其受到正态白噪声wt污染(视做观测噪声

16、),wtN(0,1);观测值序列标记为S1,S2,NA1AD,S600,St=St+wt,如图1(a)所示。真值序列的均方值为12.26,于是SNR=12.26/1=12.26。 根据SNR_SVDF算法,h=300;由式(23)求得滤波门限=0.925;欲保留奇异值数目r=3。真值序列与SVD滤波输出值序列几乎重合,如图1(b)所示,它们之间的均方偏差为0.0052;滤波产生增益: G=10 lg(1/0.0052)=22.84(dB)(26) 容易验证: G>G0=20(dB)(27) 表明所提出的SVD滤波消噪算法是有效和合理的。 表1同时给出SNR_SVDF与文献68所提出方法的

17、滤波性能(用滤波输出序列与真值序列的MSE评价)。对比发现,SNR_SVDF能够获得最佳消噪处理效果。 表1 不同滤波门限选取方法比较 门限选取方法保留奇异值数目rMSE SNR_SVDF30.005 2 拐点法50.029 0 奇异熵法100.059 6 Minka Bayesian80.044 3 仿真序列的阵奇异值分布(部分)如图2所示。 5.2 实验2 以某航空公司A319飞机装配的发动机高压转子转速(N1,相对于最大转速的百分比)监测值序列为例,进行实例验证。 N1监测值序列的均值为76.58;零均值化后,采用数据平滑办法估得SNR经验值为3.42。调用SNR_SVDF算法,对实际监

18、测值序列进行滤波消噪,结果如图3所示。 6 结束语 滤波门限的选取原则直接影响奇异值分解滤波器的信号处理效果。针对观测值序列中的加性白噪声消除问题,研究立足于应用对象的信噪比经验值,提出一种门限确定新方法。推导了门限值与信噪比之间的数学关系。通过仿真分析和实例验证,证实了依据信噪比确定滤波门限方法的有效性和合理性。与现有方法相比,消噪效果得以明显改进;而且原理清晰,实现简单。 参考文献: 1TUFTS D W, KURNARESAN R, KIRSTEINS I. Data adaptive signal estimation by singular value decomposition o

19、f a data matrixC/Proc of IEEE. S.l.:IEEE Press,1982:684-685. 2张丽艳,殷福亮.一种改进的奇异值分解语音增强方法J.电子与信息学报,2008,30(2): 357-361. 3BAE S N, UDOMHUNSAKUL S. Noise suppression using block based singular value decomposition filteringC/Proc of IEEE APCC2007. 2007:491-494. 4RICE B. Using singular value decomposition

20、to recover periodic waveforms in noise and with residual carrier:SVD and signalC/Proc of II. S.l.: Elsevier Science Publishers,1991:419-428. 5KONSTANTINIDES K, YAO K. Statistical analysis of effective singular values in matrix rank determinationJ. IEEE Trans on Acoustics, Speech, and Signal Processi

21、ng, 1988, 36(5): 757-763. 6康春玉,章新华.一种基于奇异值分解的自适应降噪方法J.声学技术,2008,27(3): 456-458. 7王太勇,王正英,胥永刚,等.基于SVD降噪的经验模式分解及其工程应用J.振动与冲击,2005,24(4): 96-98. 8胡谋法,董文娟,王书宏,等.奇异值分解带通滤波背景抑制和去噪J.电子学报,2008,36(1): 111-116. 9BOX P E G, JENKINS M G, REINSEL C G.Time series analysis: forecasting and controlM.3rd ed. S.l.:Pe

22、arson Education Asia Ltd, 2005. 10GOLUB H G, VAN LOAN C F. Matrix computationsM.3rd ed. S.l.:The Johns Hopkins University Press,1996.奇异熵法100.059 6 Minka Bayesian80.044 3 仿真序列的阵奇异值分布(部分)如图2所示。 5.2 实验2 以某航空公司A319飞机装配的发动机高压转子转速(N1,相对于最大转速的百分比)监测值序列为例,进行实例验证。 N1监测值序列的均值为76.58;零均值化后,采用数据平滑办法估得SNR经验值为3.42

23、。调用SNR_SVDF算法,对实际监测值序列进行滤波消噪,结果如图3所示。 6 结束语 滤波门限的选取原则直接影响奇异值分解滤波器的信号处理效果。针对观测值序列中的加性白噪声消除问题,研究立足于应用对象的信噪比经验值,提出一种门限确定新方法。推导了门限值与信噪比之间的数学关系。通过仿真分析和实例验证,证实了依据信噪比确定滤波门限方法的有效性和合理性。与现有方法相比,消噪效果得以明显改进;而且原理清晰,实现简单。 参考文献: 1TUFTS D W, KURNARESAN R, KIRSTEINS I. Data adaptive signal estimation by singular val

24、ue decomposition of a data matrixC/Proc of IEEE. S.l.:IEEE Press,1982:684-685. 2张丽艳,殷福亮.一种改进的奇异值分解语音增强方法J.电子与信息学报,2008,30(2): 357-361. 3BAE S N, UDOMHUNSAKUL S. Noise suppression using block based singular value decomposition filteringC/Proc of IEEE APCC2007. 2007:491-494. 4RICE B. Using singular va

25、lue decomposition to recover periodic waveforms in noise and with residual carrier:SVD and signalC/Proc of II. S.l.: Elsevier Science Publishers,1991:419-428. 5KONSTANTINIDES K, YAO K. Statistical analysis of effective singular values in matrix rank determinationJ. IEEE Trans on Acoustics, Speech, a

26、nd Signal Processing, 1988, 36(5): 757-763. 6康春玉,章新华.一种基于奇异值分解的自适应降噪方法J.声学技术,2008,27(3): 456-458. 7王太勇,王正英,胥永刚,等.基于SVD降噪的经验模式分解及其工程应用J.振动与冲击,2005,24(4): 96-98. 8胡谋法,董文娟,王书宏,等.奇异值分解带通滤波背景抑制和去噪J.电子学报,2008,36(1): 111-116. 9BOX P E G, JENKINS M G, REINSEL C G.Time series analysis: forecasting and contro

27、lM.3rd ed. S.l.:Pearson Education Asia Ltd, 2005. 10GOLUB H G, VAN LOAN C F. Matrix computationsM.3rd ed. S.l.:The Johns Hopkins University Press,1996.奇异熵法100.059 6 Minka Bayesian80.044 3 仿真序列的阵奇异值分布(部分)如图2所示。 5.2 实验2 以某航空公司A319飞机装配的发动机高压转子转速(N1,相对于最大转速的百分比)监测值序列为例,进行实例验证。 N1监测值序列的均值为76.58;零均值化后,采用数

28、据平滑办法估得SNR经验值为3.42。调用SNR_SVDF算法,对实际监测值序列进行滤波消噪,结果如图3所示。 6 结束语 滤波门限的选取原则直接影响奇异值分解滤波器的信号处理效果。针对观测值序列中的加性白噪声消除问题,研究立足于应用对象的信噪比经验值,提出一种门限确定新方法。推导了门限值与信噪比之间的数学关系。通过仿真分析和实例验证,证实了依据信噪比确定滤波门限方法的有效性和合理性。与现有方法相比,消噪效果得以明显改进;而且原理清晰,实现简单。 参考文献: 1TUFTS D W, KURNARESAN R, KIRSTEINS I. Data adaptive signal estimati

29、on by singular value decomposition of a data matrixC/Proc of IEEE. S.l.:IEEE Press,1982:684-685. 2张丽艳,殷福亮.一种改进的奇异值分解语音增强方法J.电子与信息学报,2008,30(2): 357-361. 3BAE S N, UDOMHUNSAKUL S. Noise suppression using block based singular value decomposition filteringC/Proc of IEEE APCC2007. 2007:491-494. 4RICE B.

30、 Using singular value decomposition to recover periodic waveforms in noise and with residual carrier:SVD and signalC/Proc of II. S.l.: Elsevier Science Publishers,1991:419-428. 5KONSTANTINIDES K, YAO K. Statistical analysis of effective singular values in matrix rank determinationJ. IEEE Trans on Ac

31、oustics, Speech, and Signal Processing, 1988, 36(5): 757-763. 6康春玉,章新华.一种基于奇异值分解的自适应降噪方法J.声学技术,2008,27(3): 456-458. 7王太勇,王正英,胥永刚,等.基于SVD降噪的经验模式分解及其工程应用J.振动与冲击,2005,24(4): 96-98. 8胡谋法,董文娟,王书宏,等.奇异值分解带通滤波背景抑制和去噪J.电子学报,2008,36(1): 111-116. 9BOX P E G, JENKINS M G, REINSEL C G.Time series analysis: fore

32、casting and controlM.3rd ed. S.l.:Pearson Education Asia Ltd, 2005. 10GOLUB H G, VAN LOAN C F. Matrix computationsM.3rd ed. S.l.:The Johns Hopkins University Press,1996.奇异熵法100.059 6 Minka Bayesian80.044 3 仿真序列的阵奇异值分布(部分)如图2所示。 5.2 实验2 以某航空公司A319飞机装配的发动机高压转子转速(N1,相对于最大转速的百分比)监测值序列为例,进行实例验证。 N1监测值序列的

33、均值为76.58;零均值化后,采用数据平滑办法估得SNR经验值为3.42。调用SNR_SVDF算法,对实际监测值序列进行滤波消噪,结果如图3所示。 6 结束语 滤波门限的选取原则直接影响奇异值分解滤波器的信号处理效果。针对观测值序列中的加性白噪声消除问题,研究立足于应用对象的信噪比经验值,提出一种门限确定新方法。推导了门限值与信噪比之间的数学关系。通过仿真分析和实例验证,证实了依据信噪比确定滤波门限方法的有效性和合理性。与现有方法相比,消噪效果得以明显改进;而且原理清晰,实现简单。 参考文献: 1TUFTS D W, KURNARESAN R, KIRSTEINS I. Data adapti

34、ve signal estimation by singular value decomposition of a data matrixC/Proc of IEEE. S.l.:IEEE Press,1982:684-685. 2张丽艳,殷福亮.一种改进的奇异值分解语音增强方法J.电子与信息学报,2008,30(2): 357-361. 3BAE S N, UDOMHUNSAKUL S. Noise suppression using block based singular value decomposition filteringC/Proc of IEEE APCC2007. 2007

35、:491-494. 4RICE B. Using singular value decomposition to recover periodic waveforms in noise and with residual carrier:SVD and signalC/Proc of II. S.l.: Elsevier Science Publishers,1991:419-428. 5KONSTANTINIDES K, YAO K. Statistical analysis of effective singular values in matrix rank determinationJ

36、. IEEE Trans on Acoustics, Speech, and Signal Processing, 1988, 36(5): 757-763. 6康春玉,章新华.一种基于奇异值分解的自适应降噪方法J.声学技术,2008,27(3): 456-458. 7王太勇,王正英,胥永刚,等.基于SVD降噪的经验模式分解及其工程应用J.振动与冲击,2005,24(4): 96-98. 8胡谋法,董文娟,王书宏,等.奇异值分解带通滤波背景抑制和去噪J.电子学报,2008,36(1): 111-116. 9BOX P E G, JENKINS M G, REINSEL C G.Time ser

37、ies analysis: forecasting and controlM.3rd ed. S.l.:Pearson Education Asia Ltd, 2005. 10GOLUB H G, VAN LOAN C F. Matrix computationsM.3rd ed. S.l.:The Johns Hopkins University Press,1996.奇异熵法100.059 6 Minka Bayesian80.044 3 仿真序列的阵奇异值分布(部分)如图2所示。 5.2 实验2 以某航空公司A319飞机装配的发动机高压转子转速(N1,相对于最大转速的百分比)监测值序列为

38、例,进行实例验证。 N1监测值序列的均值为76.58;零均值化后,采用数据平滑办法估得SNR经验值为3.42。调用SNR_SVDF算法,对实际监测值序列进行滤波消噪,结果如图3所示。 6 结束语 滤波门限的选取原则直接影响奇异值分解滤波器的信号处理效果。针对观测值序列中的加性白噪声消除问题,研究立足于应用对象的信噪比经验值,提出一种门限确定新方法。推导了门限值与信噪比之间的数学关系。通过仿真分析和实例验证,证实了依据信噪比确定滤波门限方法的有效性和合理性。与现有方法相比,消噪效果得以明显改进;而且原理清晰,实现简单。 参考文献: 1TUFTS D W, KURNARESAN R, KIRSTE

39、INS I. Data adaptive signal estimation by singular value decomposition of a data matrixC/Proc of IEEE. S.l.:IEEE Press,1982:684-685. 2张丽艳,殷福亮.一种改进的奇异值分解语音增强方法J.电子与信息学报,2008,30(2): 357-361. 3BAE S N, UDOMHUNSAKUL S. Noise suppression using block based singular value decomposition filteringC/Proc of I

40、EEE APCC2007. 2007:491-494. 4RICE B. Using singular value decomposition to recover periodic waveforms in noise and with residual carrier:SVD and signalC/Proc of II. S.l.: Elsevier Science Publishers,1991:419-428. 5KONSTANTINIDES K, YAO K. Statistical analysis of effective singular values in matrix r

41、ank determinationJ. IEEE Trans on Acoustics, Speech, and Signal Processing, 1988, 36(5): 757-763. 6康春玉,章新华.一种基于奇异值分解的自适应降噪方法J.声学技术,2008,27(3): 456-458. 7王太勇,王正英,胥永刚,等.基于SVD降噪的经验模式分解及其工程应用J.振动与冲击,2005,24(4): 96-98. 8胡谋法,董文娟,王书宏,等.奇异值分解带通滤波背景抑制和去噪J.电子学报,2008,36(1): 111-116. 9BOX P E G, JENKINS M G, RE

42、INSEL C G.Time series analysis: forecasting and controlM.3rd ed. S.l.:Pearson Education Asia Ltd, 2005. 10GOLUB H G, VAN LOAN C F. Matrix computationsM.3rd ed. S.l.:The Johns Hopkins University Press,1996.奇异熵法100.059 6 Minka Bayesian80.044 3 仿真序列的阵奇异值分布(部分)如图2所示。 5.2 实验2 以某航空公司A319飞机装配的发动机高压转子转速(N1,

43、相对于最大转速的百分比)监测值序列为例,进行实例验证。 N1监测值序列的均值为76.58;零均值化后,采用数据平滑办法估得SNR经验值为3.42。调用SNR_SVDF算法,对实际监测值序列进行滤波消噪,结果如图3所示。 6 结束语 滤波门限的选取原则直接影响奇异值分解滤波器的信号处理效果。针对观测值序列中的加性白噪声消除问题,研究立足于应用对象的信噪比经验值,提出一种门限确定新方法。推导了门限值与信噪比之间的数学关系。通过仿真分析和实例验证,证实了依据信噪比确定滤波门限方法的有效性和合理性。与现有方法相比,消噪效果得以明显改进;而且原理清晰,实现简单。 参考文献: 1TUFTS D W, KU

44、RNARESAN R, KIRSTEINS I. Data adaptive signal estimation by singular value decomposition of a data matrixC/Proc of IEEE. S.l.:IEEE Press,1982:684-685. 2张丽艳,殷福亮.一种改进的奇异值分解语音增强方法J.电子与信息学报,2008,30(2): 357-361. 3BAE S N, UDOMHUNSAKUL S. Noise suppression using block based singular value decomposition fi

45、lteringC/Proc of IEEE APCC2007. 2007:491-494. 4RICE B. Using singular value decomposition to recover periodic waveforms in noise and with residual carrier:SVD and signalC/Proc of II. S.l.: Elsevier Science Publishers,1991:419-428. 5KONSTANTINIDES K, YAO K. Statistical analysis of effective singular

46、values in matrix rank determinationJ. IEEE Trans on Acoustics, Speech, and Signal Processing, 1988, 36(5): 757-763. 6康春玉,章新华.一种基于奇异值分解的自适应降噪方法J.声学技术,2008,27(3): 456-458. 7王太勇,王正英,胥永刚,等.基于SVD降噪的经验模式分解及其工程应用J.振动与冲击,2005,24(4): 96-98. 8胡谋法,董文娟,王书宏,等.奇异值分解带通滤波背景抑制和去噪J.电子学报,2008,36(1): 111-116. 9BOX P E G, JENKINS M G, REINSEL C G.Time series analysis: forecasting and controlM.3rd ed. S.l.:Pearson Education Asia Ltd, 2005. 10GOLUB H G, VAN LOAN C F. Matrix computationsM.3rd ed. S.l.:The